2016上海市中考压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 平行四边形的存在性问题解题策略 2015 年 9 月 13 日星期日 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便 例题解析 例 如图 1在平面直角坐标系中，已知抛物线y 2x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 P，如果以点 P、 A、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标 图 1解析】 P、 A、 C 三点是确定的，过 三个顶点分别画对边的平行 线，三条直线两两相交，产生 3 个符合条件的点 D（如图 1 由 y 2x 3 (x 1)2 4，得 A( 3,0)， C(0, 3)， P( 1, 4) 由于 A( 3,0) 33 右 ， 上 C(0, 3)，所以 P( 1, 4) 33 右 ， 上 , 7) 由于 C(0, 3) 33 下 ， 左 A( 3,0)，所以 P( 1, 4) 33 下 ， 左 4, 1) 由于 P( 1, 4) 11 右 ， 下 C(0, 3)，所以 A( 3,0) 11 右 ， 下 2, 1) 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了 图 1 如图 2在平面直角坐标系中，已知抛物线 y x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，点 M 在这条抛物线上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、 M、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标 图 2解析】在 P、 M、 A、 B 四个点中， A、 B 是确定的，以 分类标准 由 y x 3 (x 1)(x 3)，得 A( 1， 0)， B(3， 0) 如图 2 平行四边形的对角线时， 相平分，因此点 M 与点 B 的中点（ 1,0）对称，所以点 M 的横坐标为 2此时 M(2， 3) 如图 2 2 平行四边形的边时， 4 所以点 M 的横坐标为 4 或 4所以 M (4, 5)或 ( 4, 21) 我们看到，因为点 P 的横坐标是确定的，在解图 2，根据对称性先确定了点 M 的横坐标；在解图 2图 2，根据 平移先确定了点 M 的横坐标 图 2 图 2 图 2 如图 3平面直角坐标系中，直线 y x 4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，点 C 在直线 ，在平面直角坐标系中求 一点 D，使得以 O、 A、 C、 D 为顶点的四边形是菱形 图 3解析】由 y x 4，得 A(4, 0)，直线 坐标轴的夹角为 45 在 O、 A、 C、 D 四个点中， O、 A 是确定的，以线段 分类标准 如图 3果 菱形的对角线，那么点 C 在 垂直平分线上，点 C(2,2)关于对称点 D 的坐标为 (2, 2) 如果 菱形的边，那么又存在两种情况： 如图 3 O 为圆心， 半径的圆与直线 交点恰好为点 B(0, 4)，那么正方形 顶点 D 的坐标为 (4, 4) 如图 3 A 为圆心， 半径的圆与直线 两个交点 C ( 4 2 2 , 2 2 ) 和C ( 4 2 2 , 2 2 )，点 C 和 C向左平移 4 个单位得到点 D ( 2 2 , 2 2 ) 和 D(2 2 , 2 2 ) 图 3 图 3 图 3 如图 4知抛物线 24 1 633y x x与 x 轴的负半轴交于点 C，点 E 的坐标为 (0, 3)，点 N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点 M、 N，使得以 M、 N、 C、 存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 4解析】 C( 4,0)、 E(0, 3)两点是确定的，点 N 的横坐标 2 也是确定的 以 分类标准，分两种情况讨论平行四边形： 如图 4 平行四边形的边时，由于 C、 E 两点间的水平距离为 4，所以 M、N 两点间的水平距离也为 4，因此点 M 的横坐标为 6 或 2 将 x 6 和 x 2 分别代入抛物线的解析式，得 M( 6,16)或 (2, 16) 如图 4 平行四边形的对角线时， M 为抛物线的顶点，所以 M 16( 2, )3 图 4 图 4 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y 23a（ a 0）与 x 轴交于 A、 A 在点 B 的左侧），点 D 是第四象限内抛物线上的一点，直线 y 轴负半轴交于点 C，且 4设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、 D、 P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 图 5解析】由 y 23a a(x 1)(x 3)，得 A( 1, 0) 由 4 4所以 D(4, 5a) 已知 A( 1, 0)、 D(4, 5a)， 1，以 分类标准，分两种情况讨论： 如图 5果 矩形的边，我们根据 两次平 移坐标 由于 A、 D 两点间的水平距离为 5，所以点 Q 的横坐标为 4所以 Q( 4,21a) 由于 A、 D 两点间的竖直距离为 5a，所以点 P 的纵坐标为 26a所以 P(1, 26a) 根据矩形的对角线相等，得 以 22 (26a)2 82 (16a)2 整理，得 71所以 77a 此时 P 26 7(1 )7， 如图 5果 矩形的对角线，我们根据 两次平移坐标 由于 A、 P 两点间的水平距离为 2，所以点 Q 的横坐标为 2所以 Q(2, 3a) 由于 Q、 D 两点间的竖直距离为 8a，所以点 P 的纵坐标为 8a所以 P(1, 8a) 再根据 52 (5a)2 12 (11a)2 整理，得 41所以 12a此时 P(1 4)， 我们 从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的 边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系 上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程 如图 5果 90，那么 P；如图 5果 90，那么P 图 5 图 5 如图 6将抛物线 233 沿 x 轴翻折，得到抛物线 现将抛物线 移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、 B；将抛物线 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、 E在平移过程中，是否存在以点 A、 N、 E、 存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 图 6解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将 A、 B、D、 E、 M、 N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图 6如果您看到了 边长为 2 的等边三角形，那么平移就简单了 如图 6两个等边三角形平移的过程中， 持平行且相等，所以四边形持平行四边形的形状，点 O 为对称中心 【解法一】如果 90，根据 30角所对的直角边等于斜边 的一半，可得 4而 2以 2已知 2，此时 B、 O 重合（如图 6所以 m 1 【解法二】如果对角线 么 时 等边三角形所以等边三角形 合因此 B、 O 重合， m 1 【解法三】在平移的过程中， ( 1 , 0) 、 (1 ,0)， M( , 3)m ，根据 列方程 (1 m)2 3解得 m 1 图 6 图 6 图 6 如图 7形 边长为 4， B 60， E、 H 分别是 中点， E、G 分别在 ，且 （ 1）求证四边形 平行四边形； （ 2）当四边形 矩形时，求 长； （ 3）当四边形 菱形时，求 长 图 7解析】（ 1）证明三角形全等得 家最熟练 了 （ 2）平行四边形 对角线 4 是确定的，当 4 时，四边形 以 直径画圆，你看看，这个圆与 几个交点，在哪里 ？如图 7 如图 7 E 为 中点时，四边形 四边形 是平行四边形 如图 7 E 与 A 重合时， 是等边三角形 （ 3）如果平行四边形 对角线 相垂直，那么 四边形 菱 形 过 中点 O 画 垂线， 产生了 在 ， 60， 2，此时 1 又一次说明了如果会画图，答案就在图形中 图 7- 2 图 7 图 7 图 7 如图 8平面直角坐标系中，直线 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4, 0)、 B(0, 3)，点 C 的坐标为 (0, m)，过点 C 作 点 E，点 D 为 x 轴正半轴的一动点，且满足 2结 边作平行四边形 （ 1）如果平行四边形 矩形，求 m 的值； （ 2）如果平行四边形 菱形，请直接写出 m 的值 图 8解析】这道题目我们着