2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|y=2x，集合 ，则 AB=（ ） A（ 0， +） B（ 1， +） C 0， +） D（ ， +） 2为了得到函数 y=32x+ ）， x R 的图象，只需把函数 y=3x+ ）， x R 的图象上所有的点的（ ） A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 3双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程是 y= x，则该双曲线的离心率是（ ） A B C D 4在复平面内，复数 z=（ |a| 1） +（ a+1） i（ a R， i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ） A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 5已知 直线 2x+y 3=0 的倾斜角为 ，则 的值是（ ） A 3 B 2 C D 3 6在闭区间 4， 6上随机取出个数 x，执行如右图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 39 的概率为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 7已知点 M 是边长为 2 的正方形 内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 1， 3 D 1， 4 8已知正项等比数列 足 a5+，则 a6+最小值为（ ） A 4 B 16 C 24 D 32 9已 知 f（ x） = +c（ b， c 为常数）和 g（ x） = x+ 是定义在 M=x|1 x 4上的函数，对任意的 x M，存在 M 使得 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 则 f（ x）在集合 M 上的最大值为（ ） A B 5 C 6 D 8 10已知抛物线 p 0）的焦点 F，直线 y=x+2 与该抛物线交于 A， B 两点， M 是线段 中点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 +（ + ） = 1 5 p 的值为（ ） A B C 1 D 2 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 _ 12在 x（ x 1） 5 展开式中含 的系数是 _（用数字作答） 13从数字 0、 1、 2、 3、 4、 5 这 6 个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 _个（用数字作答 ） 第 3 页（共 19 页） 14已知点 P 在单位圆 x2+ 上运动， P 到直线 3x 4y 10=0 与 x=3 的距离分为 d1+最小值是 _ 15现定义一种运算 “ ”：对任意实数 a， b， a b= ，设 f（ x） =（ 2x） （ x+3），若函数 g（ x） =f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 k 的取值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16某市在 “国际禁毒日 ”期间，连续若干 天发布了 “珍爱生命，原理毒品 ”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段性在 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示 （ ）求随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数； （ ）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求 50， 60）年龄段抽取的人数； （ ）从（ ）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，记 X 为年龄 在 50，60）年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望 17已知函数 f（ x） =2 （ 1）若 x 是某三角形的一个内角，且 f（ x） = ，求角 x 的大小； （ 2）当 x 0， 时，求 f（ x）的最小值及取得最小值时 x 的集合 18已知二次函数 f（ x） =x+m（ m R， m 为常数）的图象与坐标轴有三个交 点，记过这三个交点的圆为圆 C （ I）求 m 的取值范围； （ ）试证明圆 C 过定点（与 m 的取值无关），并求出该定点的坐标 19已知等差数列 前 n 项和 足： 0， 10，数列 前 n 项和 足：， 2 （ 1）求 （ 2）比较 2大小，并说明理由 20在平面直角坐标系中，动点 M 到定点 F（ 1， 0）的距离和它到直线 l： x= 2 的距离之比是常数 ，记动点 M 的轨迹为 T 第 4 页（共 19 页） （ 1）求轨迹 T 的方程； （ 2）过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m，与轨迹 T 交于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，与轨迹 T 是否存在点 Q，使得四边形 菱形？若存在，请求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =m R） （ ）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 m 时，设 g（ x） =2f（ x） +两个极值点 为 h（ x）=零点，求 y=（ h（ ）的最小值 第 5 页（共 19 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|y=2x，集合 ，则 AB=（ ） A（ 0， +） B（ 1， +） C 0， +） D（ ， +） 【考点】 函数的定义域及其求法；交集及其运算 【分析】 求出集合 A 中函数 的定义域确定出 A，求出集合 B 中函数的定义域确定出 B，求出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：集合 A 中的函数 y=2x， x R，即 A=R， 集合 B 中的函数 y= ， x 0，即 B=0， +）， 则 AB=0， +） 故选 C 2为了得到函数 y=32x+ ）， x R 的图象，只需把函数 y=3x+ ）， x R 的图象上所有的点的（ ） A 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点横坐标变为原来的一半 【解答】 解：由 函数图象变换的规则函数 的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到 故选 B 3双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程是 y= x，则该双曲 线的离心率是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 第 6 页（共 19 页） 【分析】 根据双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线的方程，得出 = ，再利用离心率 e= = 计算 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线的方程为： y= x， 双曲线的一条渐近线方程是 y= x， = ， 则离心率 e= = = = = 故选： B 4在复平面内，复数 z=（ |a| 1） +（ a+1） i（ a R， i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ） A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 由复数 z 的实部大于 0，且虚部小于 0 联立不等式组求得答案 【解答】 解：由 z=（ |a| 1） +（ a+1） i 对应的点位于第四象限， 得 ，即 a 1 复数 z=（ |a| 1） +（ a+1） i 对应的点位于第四象限的充要条件是 a 1 故选： D 5已知直线 2x+y 3=0 的倾斜角为 ，则 的值是（ ） A 3 B 2 C D 3 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角 【分析】 由直线的倾斜角和斜率的关系可得 2，要求的式子可化为 ，代入计算可得 【解答】 解： 直线 2x+y 3=0 的倾斜角为 ， 2， = = = 故选： C 第 7 页（共 19 页） 6在闭区间 4， 6上随机取出个数 x，执行如右图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 39 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型；程序框图 【分析】 根据程序框图求出 x 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：由程序框图知，第一次循环， n=1，满足条件 n 3， y=2x+1， n=2， 第二次循环， n=2，满足条件 n 3， y=2（ 2x+1） +1=4x+3， n=3， 第三次循环， n=3，满足条件 n 3， y=2（ 4x+3） +1=8x+7， n=4，此时不满足条件 n 3 输出y=8x+7， 由 8x+7 39 得 x 4， 即 4 x 6， 则对应的概率 P= = ， 故选： A 7已知点 M 是边长为 2 的正方形 内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 1， 3 D 1， 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 如图所示，由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（ x 1） 2+（ y 1） 2 1（ 0 x 2， 0 y 2）可设点 M（ x， y）可得 =（ x 1） 2+1，由 0，2，即可得出 【解答】 解：如图所示， 由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（ x 1） 2+（ y 1） 2 1（ 0 x 2， 0 y 2） 可设点 M（ x， y） A（ 0， 0）， B（ 2， 0） =（ x， y） （ 2 x， y） = x（ 2 x） + x 1） 2+1， 由 0， 2， 第 8 页（共 19 页） 1， 3， 故选： C 8已知正项等比数列 足 a5+，则 a6+最小值为（ ） A 4 B 16 C 24 D 32 【考点】 导数在最大值、最小值问 题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合 【分析】 可判数列 an+也是各项均为正的等比数列，设数列 an+的公比为 x， a2+a3=a，则 x （ 1， +）， a4+a5=合已知可得 a= ，代入可得 y=a6+表达式， x （ 1，+），由导数求函数的最值即可 【解答】 解： 数列 各项均为正的等比数列， 数列 an+也是各项均为正的等比数列， 设数列 an+的公比为 x， a2+a3=a， 则 x （ 1， +）， a5+a4= 有 a5+a2=a=8，即 a= ， y=a6+a7=， x （ 1， +）， 求导数可得 y= = ，令 y 0 可得 x 2， 故函数在（ 1， 2）单调递减，（ 2， +）单调递增， 当 x=2 时， y=a6+最小值： 32 故选： D 9已知 f（ x） = +c（ b， c 为常数）和 g（ x） = x+ 是定义在 M=x|1 x 4上的函数，对任意的 x M，存在 M 使得 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 则 f（ x）在集合 M 上的最大值为（ ） A B 5 C 6 D 8 【考点】 函数的最值及其几何意义 第 9 页（共 19 页） 【分析】 由基本不等式可得 g（ x） 1（当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立），从而可得 c= 1 ，求导 f（ x） =x = ，从而可得 b=8， c= 5，从而解得 【解答】 解： g（ x） = x+ 2 =1， （当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立）， f（ 2） =2+ +c=g（ 2） =1， c= 1 ， f（ x） = = 1 ， f（ x） =x = ， f（ x）在 x=2 处有最小值， f（ 2） =0， 即 b=8，故 c= 5， 故 f（ x） = 5， f（ x） = ， 故 f（ x）在 1， 2上是减函数，在 2， 4上是增函数， 而 f（ 1） = +8 5= ， f（ 4） =8+2 5=5， 故 f（ x）的最大值为 5， 故选： B 10已知抛物线 p 0）的焦点 F，直线 y=x+2 与该抛物线交于 A， B 两点， M 是线段 中点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 +（ + ） = 1 5 p 的值为（ ） A B C 1 D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 A（ B（ 把 y=x+2 代入 48p=0利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论 【解答】 解：设 A（ B（ 把 y=x+2 代入 48p=0 由韦达定理得 x1+p， 8p，所以 M（ 2p， 2p+2），所以 N 点（ 2p， 0） 同理 y1+p+4， +（ + ） = 1 5 （ p （ p +（ 2p （ 2p， p） = 1 5 代入整理可得 4p 3=0， 第 10 页（共 19 页） p= 故选： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 127 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可 【解答】 解：根据茎叶图，得到 4 位同学的成绩为： 114， 126， 128， 132， 所以中位数是 =127 故答案为： 127 12 在 x（ x 1） 5 展开式中含 的系数是 10 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 把（ x 1） 5 按照二项式定理展开，可得 x（ x 1） 5 展开式中含 的系数 【解答】 解：在 x（ x 1） 5=x5010x 1的开式中， 含 的系数是 10， 故答案为： 10 13从数字 0、 1、 2、 3、 4、 5 这 6 个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 52 个（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 分两类，第一类，个位为 0，第二类，个位是 2 或 4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加 【解答】 解：分两类，第一类，个位为 0，有 0 个； 第二类，个位是 2 或 4，有 2 个， 可组成没有重复数字的三位偶数有 20+32=52 个， 故答案为： 52 14已知点 P 在单位圆 x2+ 上运动， P 到直线 3x 4y 10=0 与 x=3 的距离分为 d1+最小值是 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设点 P（ 求出 P 到直线 3x 4y 10=0 与 x=3 的距离分为 可求出 d1+最小值 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解：设点 P（ P 到直线 3x 4y 的距离为 |340|= （ 10 3 d1+（ 10 3+3 + （ 48=5+ u t）， 它的最小值 =5 故答案为： 5 15现定义一种运算 “ ”：对任意实数 a， b， a b= ，设 f（ x） =（ 2x） （ x+3），若函数 g（ x） =f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 实数 k 的取值范围是 （ 3， 2） （ 8， 7 1 【考点】 函数的图象；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 由条件根据新定义求得 f（ x）的解析式，由题意可得 f（ x）的图象和直线 y= 个交点，数形结合求得 k 的范围 【解答】 解：令（ 2x）（ x+3） =1， 求得 x= 1，或 x=4， 故当 x 1 或 x 4 时， （ 2x）（ x+3） 1， f（ x） =x+3； 当 x （ 1， 4）时， （ 2x）（ x+3） 1， f（ x） =2x 函数 g（ x） =f（ x） +k 的图象与 x 轴恰有两个 公共点， 则 f（ x）的图象和直线 y= k 有 2 个交点， 如图所示： 故有 k= 1，或 2 k 3，或 7 k 8， 求得实数 k 的取值范围为：（ 3， 2） （ 8， 7 1 第 12 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16某市在 “国际禁毒日 ”期间，连续若干天发布了 “珍爱生命，原理毒品 ”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段性 在 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示 （ ）求随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数； （ ）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求 50， 60）年龄段抽取的人数； （ ）从（ ）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，记 X 为年龄在 50，60）年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方 差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数 （ 频率分布直方图得不小于 40 岁的人的频数是 25 人，由此能求出在 50， 60）年龄段抽取的人数 （ 已知 X=0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的频率为： 1 10 （ = 即随机抽取的市民中年龄段在 30， 40）的人数为 100 0 人 （ （ I）知，年龄段在 40， 50）， 50， 60）的人数分别为 100 5 人， 100 0人， 即不小于 40 岁的人的频数是 25 人， 在 50， 60）年龄段抽取的人数为 10 =2 人 （ 已知 X=0， 1， 2， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， 第 13 页（共 19 页） P（ X=2） = ， X 的分布列为 X 0 1 2 P +1 +2 = 17已知函数 f（ x） =2 （ 1）若 x 是某三角形的一个内角，且 f（ x） = ，求角 x 的大小； （ 2）当 x 0， 时，求 f（ x）的最小值及取得最小值时 x 的集合 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可 得 2x+ ） = ，根据 x （ 0， ），利用余弦函数的性质即可得解 （ 2）由 x 0， ，可得 2x+ ， ，利用余弦函数的图象和性质可得 f（ x）的最小值为 ，此时 2x+ =，即 x= 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2（ （ = 2x+ ）， f（ x） = 2x+ ） = ，可得： 2x+ ） = 由题意可得： x （ 0， ），可得： 2x+ （ ， ），可得： 2x+ = 或 ， x= 或 （ 2） x 0， ， 2x+ ， ， 2x+ ） 1， ， f（ x） = 2x+ ） ， 1 f（ x）的最小值为 ，此时 2x+ =，即 x= 第 14 页（共 19 页） 18已知二次函数 f（ x） =x+m（ m R， m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆 C （ I）求 m 的取值范围； （ ）试证明圆 C 过 定点（与 m 的取值无关），并求出该定点的坐标 【考点】 二次函数的性质 【分析】 （ ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令 y=0，得到关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，即可得到 m 的范围； （ ）设所求圆方程为 x2+x+=0，令 y=0 得到关于 x 的方程，与已知方程为同一方程，确定出 D 与 F，令 x=0 得到关于 y 的方程，将 y=m 代入表示出 E，将 D、 E、 F 代入即可确定出圆 C 的方程，进而可求圆 C 经过定点 【解答】 解：（ I）令 x=0，得抛物线与 y 轴交点 是（ 0， m）； 令 f（ x） =x+m=0， 由题意得： m 0 且 0，即 m 0 且 16 4m 0 解得： m 4 且 m 0； （ ）证明：设所求圆的一般方程为 x2+x+=0， 令 y=0 得： x+F=0 这与 x+m=0=是同一个方程，故 D=4， F=m； 令 x=0 得： y+F=0，此方程有一个根为 m，代入得出 E= m 1， 圆 C 的方程为 x2+x（ m+1） y+m=0 x2+x y+（ y+1） m=0 ， 或 ， 圆 C 经过定点（ 0， 1）和（ 4， 1） 19已知等差数列 前 n 项和 足： 0， 10，数列 前 n 项和 足：， 2 （ 1）求 （ 2）比较 2大小，并说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由等差数列前 n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出 ，能求出数列 通项公式 （ 2）推导出 n2+n） 3n 1， 2n（ 3n 1），由此利用作差法能比较 2 【解答】 解：（ 1）设等差数列 首项为 差为 d， 0， 10， 第 15 页（共 19 页） ，解得 +（ n 1） 2=2n， =n2+n 对数列 由已知有 2，即 =3， *） 又由已知 2，可得 21=1（ n 2， n N*）， 两式相减得 2（ 1） =0，即 2（ n 2， n N*）， 整理得 =3 n 2， n N*）， 结合（ *）得 （常数）， n N*， 数列 以 为首项 1， 3 为公比的等比数列， n 1 （ 2） 2Tn= 1=3n 1， n2+n） 3n 1， 2n（ 3n 1）， 于是 2 n2+n） 3n 1 2n（ 3n 1） =n3n 1（ n 5） +2， 当 n 4（ n N*）时， 20，即 2 当 n 5（ n N*）时， 20，即 2 当 n 4（ n N*）时， 2 n 5（ n N*）时， 2 20在平面直角坐标系中，动点 M 到定 点 F（ 1， 0）的距离和它到直线 l： x= 2 的距离之比是常数 ，记动点 M 的轨迹为 T （ 1）求轨迹 T 的方程； （ 2）过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m，与轨迹 T 交于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，与轨迹 T 是否存在点 Q，使得四边形 菱形？若存在，请求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）设动点 M（ x， y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹 T 的方程 （ 2）假设存在 Q（ 足条件设依题意设直线 m 为 x=1，联立 ，消去 x，得（ ） 21=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线 m 的方程 【解答】 解：（ 1）设动点 M（ x， y）， 动点 M 到定点 F（ 1， 0）的距离和它到直线 l： x= 2 的距离之比是常数 ， 由题意，得 ， 第 16 页（共 19 页） 化简整理得 C 的方程为 轨迹 T 的方程为 =1 （ 2）假设存在 Q（ 足条件设依题意设直线 m 为 x=1， 联立