数学三角问题的题型与方法人教

高考数学复习三角题的题型与方法1 .复习目标：1 .熟练掌握三角变换的所有公式，了解各公式的含义，了解应用特点、常规使用方法等2 .熟悉三角变换常用方法化弦法、降幂法、角变换法等，应用这些方法能够进行三角函数式的评价、简化、证明3 .了解三角变换式在三角形中的应用特点，结合三角变换式可以解决一些实际问题4 .熟悉正弦函数、馀弦函数、正切函数、馀弦函数的性质，并用其研究复合函数的性质5 .熟悉正弦函数、馀弦函数、正切函数、馀切函数的图像形状，6 .了解图像平移变换、伸缩变换的意义，利用这两种变换研究函数图像的变化2 .试验要求：1 .能够理解任意角的概念、弧的意思，正确地进行弧和角度的换算。2 .掌握任意角的正弦、馀弦、正切的定义，理解馀弦、正割、馀割的定义，掌握和解三角函数的基本关系式，掌握正弦、馀弦的诱导式，理解周期函数和最小正周期的意义。3 .掌握两角和两角之差的正弦、馀弦、正切式，掌握两倍角的正弦、馀弦、正切式。4 .正确运用三角公式，可以简化三角函数公式，进行评价和常数公式的证明。5 .为了知道正弦函数、馀弦函数、正切函数的图像和性质，用“五点法”描绘正弦函数、馀弦函数和函数y=Asin(x )的概略图，理解a、的物理意义。6 .根据已知的三角函数值求出三角形，用符号arcsin x、arcos x、arctan x表示。7 .把握正弦定理、馀弦定理，用它们可以解斜三角形，用计算机可以解决三角形的计算问题。3 .教育过程：(I )基础知识详情(1)三角变换式的使用特征1 .等角三角函数关系式(1)理解式中“同角”的含义明确(2)式成立的条件。例如，tan 1=sec，其中k掌握(3)式变形，特别应该指出的是sin=tancoscos=cotsin.这是可以用“断弦”表示的东西。(4)在使用该方程式进行变形的情况下，多用“弦”来表现“切”、“切”，即弦化法是三角变换的非常重要的方法(5)若干常用关系式sin cos、sin-cos、sincos； (三式之间可以相互表示)同样，可以从sin-cos或sin-cos导出其馀二式.当时有2 .感应式(1)诱导式中的角是使式成立的任意角(2)正确使用诱导式的关键是式中符号的确定(3)sin(k )=(-1)ksin； cos(k )=(-1)kcos(kZ )记住关系式3 .两角和差的三角函数(1)式不仅可以修正，还可以反用。 (2)式的变形应用应熟悉记得： tan tan=tan( )(1-tantan)表示两个角正切之和与积的关系(3)角度变换可以灵活地应用=( )-、=-(-)、2=( ) (-)等.4 .倍方式、半角式(2)使用二倍角正弦馀弦公式时，公式的选择必须正确如sin、cos和tan已知那样计算cos2时，应当分别选择cos2=1(3)馀弦的二倍方式的变形幂式、幂式必须熟练地把握。 显然，下降法是三角变换中非常重要的变形方法sin3、cos3的公式应该记住(4)使用正弦馀弦的半角式时，要注意式中的符号的确定方法如果使用不合理的表达式，则需要确定符号。如果使用两个有理表达式，则不需要确定符号，因为这与选择不合理的表达式最大的区别在于简化，证明问题5 .差异积、积和差异式，这两组式子现在不要求记忆，但必须使用(1)很明显，这2组式是解决正、馀弦的加法、减法、乘法的运算关系式(三)应记住下列关系式：6 .三角转换：用三角函数式的恒等变形或三角式置换代数式称为三角变换三角恒等变形基于等角三角式、导航式、和、差、倍、半角式、差化积和积化和差式、万能式三角置换是根据三角函数的值域，进行适当的置换，把代数式变换为三角式，然后用上述公式进行恒等变形，解决了问题7 .三角形下的三角转换三角形中的三角变换除了应用上述公式和上述变换方法以外，还必须注意三角形自身的特征(1)角的变换ABC中A B C=，因此sin(A B)=sinC； cos(A B)=-cosC； tan(A B)=-tanC .(2)三角形边、角关系定理及面积式、正弦定理、馀弦定理r是三角形的内切圆半径，p是周长的一半在非直角ABC中，tanA tanB tanC=tanAtanBtanC .(4)在4)ABC中，记住并证明a，b，c成为等差数列的充分条件是B=60ABC的正三角形的充分要件是A、B、C为等差数列，且a、b、c为等比数列8 .三角形面积式：(1)=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上高度.(2)=absinC=bcsinA=acsinB。(3)=(4)=2R2sinAsinBsinC. (R为外接圆半径)(5)=。(6)=； 是(7)=rs。9 .直角三角形中各要素之间的关系：如图所示，在ABC中，C=90、AB=c、AC=b、BC=a .(1)三边间的关系： a2 b2=c2.(勾结定理)(2)锐角的关系： A B=90(3)角点间的关系：(锐角三角函数定义)sinA=cosB=、cosA=sinB=、tgA=ctgB=，ctgA=tgB=10 .斜三角形中各元素之间的关系：如图6-29所示，在ABC中，a、b、c是其内角，a、b、c分别表示a、b、c对边.(1)三角形内角和： A B C=(2)正弦定理：在一个三角形中，各边与其对角正弦之比相等。(r为外接圆半径)(3)馀弦定理：三角形的任意一边的平方，从其他两边的平方之和，等于该两边与它们所成的角的馀弦之积的二倍a2=b2 c2-2bccosAb2=c2 a2-2cacosBc2=a2 b2-2abcosC。(4)射影定理： a=bcosC ccosBb=acosC ccosAc=acosB ccosA。11 .解三角形：从三角形六个元素(即，三个边和三个内角)中的三个元素(其中至少一个边)获得其他未知元素的问题称为解三角形求解斜三角形的主要依据如下：令ABC的三条边为a、b、c，对应的三个角为a、b、c(1)角与角的关系： A B C=(2)边与边的关系： a b c、b c a、cb、a-b c、b-c a、c-a b(3)边与角的关系：正弦定理(r为外接圆半径)馀弦定理c2=a2 b2-2bccosC，b2=a2 c2-2accosB，a2=b2 c2-2bccosA这些变形形式包括a=2R sinA，(4)面积式：是求解斜三角形的一般思路(1)知道二角和一边(例如a、b、c )，根据A B C=求出c，根据正弦定理求出a、b .(2)已知的两边和角度(例如a、b、c )应用利用馀弦定理求出c边的正弦定理，首先求出短边的对角，然后利用A B C=求出另一个角(3)已知两边及其一边的对角(例如，a、b、a )应用正弦定理求出b，根据A B C=求出c，根据正弦定理或馀弦定理求出c边，但理解可能有各种情况。(4)知道三边a、b、c，用馀弦定理求出a、b，进而用A B C=求出角c .(2)三角函数性质的分析1 .三角函数的定义域两种表现都要把握。 即，角度x不能取y轴上的端部的角度函数y=cotx的定义区域是x或(k，k )(kZ )，需要把握这两个表示，即，角x不能取终端的x轴上的角.(2)函数y=secx、y=cscx定义区域分别与y=tanx、y=cotx相同.2 .三角函数的值域(1)通过sinx |1、|cosx|1得到函数y=cscx，y=secx的值域是|cscx|1、|secx|1 .(2)复合三角函数的值域问题很复杂，不仅要注意代数评价域的方法，还要注意三角函数本身的特征，特别是大多需要进行三角变换来评价域常用的几个函数的值域必须记住y=tanx cotx(-2)22222222222222222223 .三角函数的周期性(1)周期函数的定义抓住两个要点由于周期性是函数的整体性质，因此如果f(x T)=f(x )必须相对于某个定义域中的x成立，则非零常数t是f(x )的周期周期是重复函数值的参数x的相加值。由于sin(2k x)=sinx对定义域某一个成立，所以2k(kZ，k0 )是y=sinx的周期，最小正周期是2.同样，2k(kZ，k0 )是y=cosx的周期，最小正周期是2.由于tan(k x)=tanx对定义域中任一个x成立，因此k(kZ，k0 )是y=tanx的周期，最小正周期是.同样地，k(kZ，k0 )是y=cotx的周期，最小正周期是.(3)三角函数在三角函数性质中的周期性作用函数的增加或减少区间的周期性出现，对于每个三角函数有无数个增加或减少区间，这些增加区间彼此不连接，减少区间也彼此不连接使函数的最大、最小点或函数无意义的点周期性变化由于三角函数是周期函数，所以在描绘三角函数图像时，只描绘一个周期的图像即可.4 .三角函数的奇偶校验、单调性研究函数的单调性，求函数的单调区间很重要5 .三角函数的图像(1)描绘三角函数的图像，首先求出函数的周期，用5点法描绘函数的1个周期的图像(2)函数y=sinx、y=cosx、y=tanx和y=cotx图像的对称中心分别为Z )的直线(三)思想方法1 .三角函数恒等变形的基本策略。(1)文字置换：特别是用“1”置换，例如1=cos2 sin2=tanxcotx=tan45等。第(2)款的分解和角的结合。 例如，分割项： sin2x2cosx=(sin2cosx2x ) cosx2x=1cosx2x； 配合角：=( )-，=-等.(3)降级和升级。 也就是说，倍方式的降级和半角式的升级。(4)化弦法。 利用等角三角函数的基本关系把三角函数变成弦(切线)。(5)引入辅助角。 由于asin bcos=sin()，所以这里有辅助角的象限由a、b的符号决定，角的值由tan=决定。(6)万能置换法。 巧用万能公式使三角函数成为tan的有理公式。2 .证明三角方程的思路和方法。(1)构想：利用三角式改变变名、角，改变演算结构，使方程式成为相同的形状。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、置换法、相消法、数学归纳法。3 .证明三角不等式的方法：利用比较法、配比法、反证法、分析法、函数的单调性，利用正、馀弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线和判别法等。4 .解三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系方式：使用关系式，找出差异间的内在联系方式。(3)合理转变：选择合适的公式，促进差异转变。(4)注意事项对三角函数进行恒等变换是三角知识的综合应用，为了解决这种问题，主题类型可能是多样的，变化可能很复杂1 .三角函数式化简化的目标：项目数尽量少，三角函数名尽可能少，角尽可能小，次数尽可能低，分母尽可能不包含三角式，尽可能没有根号，求值方法2 .三角变换的一般思路和常用方法注意角关系的研究，关注和、差、倍、半的相对性还必须注意主题中给出的各角之间的关系注意到函数关系，尽量是异名化同名、异角化同角，例如切断弦、互馀化、常数置换等熟悉常数“1”的各种三角置换：等等注意万能式的优缺点：每个三角函数都可以变成代数式，三角式也可以变成代数式。 但是，代数演算很多熟悉公式的各种变形和公式范围sin =tan cos 等.利用倍角式或半角式，可对三角式中的几项进行应升降的处理。 例如，应该从右向左升降，该变形可以利用根式的简化、通分、约分等；从左向右是幂，有利于加、减、积和(差)相互化3 .若干重要的三角转换：sin cos 可以制作倍方式，1cos 可以使用升次式1sin 可以使用下式这个公式应用广泛，熟练掌握4 .单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，4种三角函数y=sin x、y=cos x、y=tan x、y=cot x的图像都是由“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此能够很好地把握三角函数线，并应用它们解决几个问题。5 .三角函数的图像的把握必须熟悉用“五点法”作图的基本原理和迅