数学一轮8.2直线与圆精品学案新人教

在2013年的高考中，数学将在第一轮被复习。第八章：平面解析几何第二节直线和圆高考新趋势首先，圆的方程式(一)点击考试大纲1.掌握确定圆的几何特征，掌握确定圆的标准方程和一般方程；2.初步理解用代数方法处理几何问题的思想。(2)热点1.圆的方程的解和圆的几何性质是高考的重点。2.结合常数和圆的几何性质，重点考察了待定系数法、方程曲线和曲线方程的概念。3.选择题和填空题是试题的主要类型，属于中低年级。二、直线和圆的位置关系(一)点击考试大纲1、可以根据给定的直线、圆方程来判断直线和圆之间的位置关系；可以根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系；2.一些简单的问题可以用线性和圆形方程来解决。3.初步理解用代数方法处理几何问题的思想。(2)热点1.直线与圆的位置关系，尤其是直线与圆的切线，是高考的重点。2.它往往与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质相结合，并侧重于待定系数法和直线与圆的位置关系。3.这些问题主要是选择题和填空题，属于中低年级问题。有时他们会遇到其他知识点并出现在答案中。考试大纲全景分析一、圆的定义和方程1.圆的定义(1)在平面上，一组点到固定点的距离等于固定长度的点称为圆。(2)确定圆的元素是圆的中心和半径。2.圆的方程式圆的标准方程圆形一般方程等式中心坐标(a，b)半径r注：方程表示圆的充要条件是3.点和圆之间的位置关系已知圆的方程式是，点。然后：(1)圆上的点；(2)该点在圆之外；(3)点在圆内。4.确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法。一般步骤如下：(1)根据问题的含义选择标准方程或一般方程；(2)根据条件在a、b、r或d、e、f上列出方程；(3)将a、b、r或d、e、f求解成标准方程或一般方程。注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？(当条件给定圆上的一些坐标时，更适合使用一般方程，通过求解三元方程来找到相应的系数；当条件给出圆心的坐标或圆心在一条直线上的条件时，圆的切线方程，圆的弦长等。标准方程是合适的。对于某些问题，两种形式都可以接受，这需要基于特定条件和问题的特定分析。)二、直线和圆的位置关系1.直线和圆的位置关系位置关系分离正切交集共同点数量012.几何特征(从圆心到直线的距离，半径)代数特征(由线性和圆形方程组成的方程)没有实数解有两组相同的实际解有两种不同的实数解注：当求圆通过某一点的切线方程时，首先要确定该点与圆的位置关系。如果该点在截锥上，那么该点就是切点，并且只有一条切线。如果点在圆的外面，应该有两条切线来防止泄漏。2.圆和圆的位置关系位置关系向外分离外部切口4.确定圆心的方法(1)圆心在一条垂直于切线并穿过切点的直线上；(2)圆心在任何弦的垂直平分线上；(3)当两个圆相切时，切点与两个圆的中心共线。注意：圆的下列必要性质通常用于求解圆的方程：(1)圆心在一条垂直于切线并穿过切点的直线上；(2)圆心垂直于任何弦；(3)当两个圆相切或外切时，切点与两个圆的三个点共线。实例分析(1)弦长等于6的圆的方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _穿过点A(-2，4)和点B(3，-1)，并在X轴上切割；(2)用直线l:x 3y-26=0，求出通过点A(-2，-4)并与点B(8，6)相切的圆的方程。方法解释 (1)可以设置圆的方程的一般形式，圆上两点A(-2，4)和B(3，-1)与X轴上的圆的弦长等于6，从而得到三个方程，圆的方程可以通过求解方程来确定。(2)圆心的坐标可以设置为C(a，B)，关于A和B的两个方程可以通过连接圆心和垂直于切线的切线得到，圆心和圆上的点之间的距离相等。通过求解方程可以得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；你也可以直接找到圆心的坐标，然后找到半径，得到圆的方程。分析：(1)让圆的方程是x2 y2 Dx Ey F=0，替换点a和b的坐标，然后让y=0，得到x2dxey f=0，让x1和x2是方程的两个，从|x1-x2|=6，D2-4F=36，从、到或因此，圆的方程是x2 y2-2x-4y-8=0或x2 y2-6x-8y=0。答案：x2 y2-2x-4y-8=0或x2 y2-6x-8y=0(2)方法1:将圆心坐标设为C(a，b)，根据问题的含义：解决方案如下：半径因此，圆的方程式是：方法二：根据问题的含义，圆心在AB的垂直平分线上，而AB是垂直的、平坦的。平分线方程是：x y-4=0；因为圆心也在b上，并且垂直于直线l在一条直线上，这条直线方程是：3x-y-18=0。对于解方程，下面与方法1相同。例2求与X轴相切的圆的方程，以直线3x-y=0为中心，其弦长被直线x-y=0所截。思维分析：可以用标准方程求解，其条件可以是圆或圆的一般方程，但计算复杂。解决方法：(方法1)假设圆的方程是，那么从圆心(a，b)到直线x-y=0的距离是，即.(1)因为期望的圆与x轴相切，所以(2)因为圆心在3x-y=0的直线上，3a-b=0同时 ，解为a=1，b=3，=9或a=-1，b=-3，=9。因此，圆的方程式是：(方法2)假设圆的方程是x2 y2 Dx Ey F=0，圆的中心是，半径是y=0，得到x2 Dx F=0，圆与x轴相切，得到=0，即D2-4f.从圆心到直线x-y=0的距离是，众所周知，那就是= 圆心在直线3x-y=0， 3d-e=0.联立方程 可以求解D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。因此，圆的方程是=0或(2)与圆相关的最大值问题相关链接1.几何方法主要用于解决与圆相关的最大值问题，即转换某些代数表达式的几何意义。例如，(1)最大问题的形状可以转化为最大问题的直线斜率的点(a，b)和点(x，y)；(2)t=ax by形式的最大值问题可以转化为y轴上直线截距的最大值问题；(3)m=(x-a)2(y-b)2形式的最大值问题可以转化为o的最大值问题解：(1)原始方程可以简化为以(2，0)为圆心和半径的圆。它的几何意义是连接圆上的一点和原点的直线的斜率，所以set=即。当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值。此时，解决方案是=。所以最大值是，最小值是(2)-可视为直线y=x b在y轴上的截距。当直线y=x b与圆相切时，纵向截距b获得最大值或最小值。这时，溶液就获得了。所以-的最大值是，最小值是。(3)方法1:用平面几何知识表示圆上一点与原点之间距离的平方，在圆与圆的原点和圆心连线的两个交点处得到最大值和最小值。从圆心到原点的距离是，所以最大值是，最小值是。方法2:从x2 y2-4x 1=0: y2=-x24x1和-x24x1 0，即：x2 y2=x2 (-x2 4x-1)=4x-1，(3)与圆相关的轨迹问题相关链接1.要解决轨迹问题，应注意以下几点：(1)在求解方程之前，必须建立一个平面直角坐标系(如果不需要题目中各点的坐标，则不需要建立该坐标系)，否则曲线不能转化为方程。(2)一般来说，设置一个点时，移动点的坐标设置为(x，y)，其他相关点的坐标设置为等。(3)寻找轨迹不同于寻找轨迹方程。找到轨迹方程就可以得到方程，找到轨迹还应该指出方程的曲线在得到方程后是什么图形。2.寻找轨迹方程的一般步骤：第一步是建立一个合适的平面直角坐标系，并将曲线上任意点的坐标设为m (x，y)；第二步：写出适合已知条件的点m的集合p= m | p(m)；步骤3:用坐标表示P(M)并列出方程f (x，y)=0；步骤4:将方程f(x，y)=0简化成最简单的形式。3.求与圆相关的轨迹方程的方法实例分析设定点m (-3，4)，移动点n在一个圆上移动，以OM和ON为两边做平行四边形MONP，并找到点p的轨迹思维分析：首先，设定p点和n点的坐标，根据平行四边形的对角线将其等分，用p点的坐标表示n点的坐标，代入圆的方程求出。答：如图所示，设P(x，y)，n，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。因为平行四边形的对角线是彼此平分的，所以。n(x 3，y-4)在一个圆上，所以。因此，期望的轨迹是一个圆：应该去除两个点：(当点p在直线上时，OM位于该直线上)。(4)圆的实际应用有一种大规模的商品。甲和乙的售价相同。当地居民从两个地方中的一个购买商品后退货的成本是：甲地每公里运费是乙地的3倍。据了解，甲地和乙地之间的距离为10公里，顾客选择甲地或乙地购买该商品的标准是：包括运费和价格在内的总成本较低。当住在p处的居民选择总购物费用相等的a处或b处时，找出p点所在的曲线形状，并指出曲线上、曲线内和曲线外的居民应如何选择购物地点。思维分析：根据条件，建立适当的坐标系，找出点P的轨迹方程，然后解决相关问题。答：如图所示，以直线建立直角坐标系，其中a和b作为x轴，线段AB的中点作为原点， AB =10， A (-5，0)，B (5，0)。假设p (x，y)，从p到a和b购物的运费分别是3a和a(元/公里)。当从p地到a地和b地的购物总成本相等时，有：a价运费=b价运费，3a=a.简化和整理，获得(1)当p点位于以(-，0)为中心和半径的圆上时，居民到a点或b点的总购物费用相等。(2)当点p在圆内时，当点p在圆之外时，注意：解决实际问题时，关键是要澄清(2)第二种方法是几何观点，即把从圆心到直线的距离d与半径r进行比较来判断，即博士直线与圆相切；D=r直线与圆分开。实例分析已知圆(1)验证：无论m值如何，圆心都在同一条直线上；(2)平行于圆的直线中的哪一条与圆相交、相切并分离；(3)验证：与每个圆切割的圆平行且相交的任何直线的弦长相等。思维分析：用匹配的方法将一个圆的一般方程匹配成一个标准方程，得到圆心的坐标，通过消去m得到圆心坐标之间的关系，m是圆心的轨迹方程；判断直线和圆的相交、相切和分离，只需比较从圆心到直线的距离d和圆的半径。当弦长相等时，可用几何方法计算弦长。回答：(1)公式：如果圆的中心是(x，y)，那么圆的中心在一条直线上是不变的，如果m被去掉。(2)将直线平行于：(3)对于与圆平行且相交的任何直线；由于从圆心到直线的距离(与m无关)。弦长=任何平行于和相交于每个圆的直线的弦长都是相等的。(2)圆和圆的位置关系相关链接1.几何方法通常用于判断两个圆之间的位置关系，即两个圆的中心距离与两个圆的半径之和和和之差之间的关系。通常不使用代数方法。2.如果两个圆相交，则两个圆的公式的弦所在的直线方程可以通过消除两个圆的方程之间的差而得到；3.两个圆的公共切线数(如下图所示)(1)当包含两个圆时，公共切线的数量为0；(2)当两个圆内接时，公共切线的数量为1；(3)当两个圆相交时，公共切线的数量为2；(4)当两个圆被外切时，公共切线的数目为3；(5)当两个圆分开时，公共切线的数量是4。因此，找到两个圆的公共切线的数量主要是为了判断两个圆的位置关系。反过来，知道两个圆的公共切线的数量也可以判断两个圆的位置关系。实例分析找到了一个圆通过两个圆之和的交点并以直线x-y-4=0为中心的方程。思维分析：据已知，圆上的两点可以通过解方程得到，圆的方程可以在圆心在直线x-y-4=0的三个独立条件下用待定系数法得到；根据已知，圆的方程被设置为，然后从直线x-y-4上的圆的中心确定参数=0，以获得圆方程答：因为有问题的圆穿过两个圆(x 3)2 y2=13和x2 (y 3)2=37的交点，假设圆的方程式是展开，公式，组织，获取=圆心被代入方程x-y-4=0，得到=-7因此，圆的方程式是注意：圆圈C