2018年高中数学联赛(四川预赛)试题和参考答案及评分细则

2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 1 页 (共 4 页) 学校： 年级： 姓名： 性别： 准考证号： 密封线 2012018 8 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛（四川四川预赛预赛） （5 5 月月 2020 日日下下午午 1414：3 30 01 16 6：3 30 0） 考生注意考生注意：1 1本试卷共本试卷共有有三大题三大题（1616 个小题个小题） ，） ，全卷满分全卷满分 140140 分分. . 2 2用用黑黑（蓝蓝）色色圆珠笔或钢笔作答圆珠笔或钢笔作答. . 3 3计算器计算器、通讯工具不准带入考场通讯工具不准带入考场. . 4 4解题书写不要超过密封线解题书写不要超过密封线. . 一一、单项单项选择题选择题（本大题本大题共共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3030 分分） 1. 设 n S、 n T分别是等差数列 n a与 n b的前n项和，对任意的正整数n，都有 26 1 n n Sn Tn . 若 m m a b 为质数，则正整数m的值为 【 】 A、2 B、3 C、5 D、7 2. 设 1 F、 2 F分别是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左、 右焦点，P为该椭圆上一点， 满足 12 90F PF . 若 12 PF F的面积为 2， 则b的值为【 】 A、1 B、2 C、3 D、2 3. 函数 (sin1)(cos1) ) 2sin2 xx yx x R（的最大值为 【 】 A、 2 2 B、1 C、 12 22 D、2 4. 设多项式 126 ( )1f xxx除以 2 1x的商式为( )q x，余式( )r xaxb，其 中a，b为实数，则b的值为【 】 A、0 B、1 C、2 D、3 题题 目目 一一 二二 三三 总成绩总成绩 1313 1414 1515 1616 得得 分分 评卷人评卷人 复核人复核人 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 2 页 (共 4 页) 5. 已知方程 2342018 10 2342018 xxxx x的所有实数根都在区间 , a b内 （其中a，bZ，且ab） ，则ba的最小值为 【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 6. 对任意正整数 n，定义 Z(n)为使得12m是n的倍数的最小的正整数m关 于下列三个命题： 若p为奇质数，则( )1Z pp； 对任意正整数a，都有(2 )2 aa Z； 对任意正整数a，都有(3 )31 aa Z. 其中所有真命题的序号为 【 】 A、 B、 C、 D、 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3 30 0 分分） 7. 设函数 9 ( )f xx x 在1, 4的最大值为M，最小值为m，则Mm的值 为 . 8. 在ABC中， 1 cos 4 B ，则 11 tantanAC 的最小值为 . 9. 61015 6101015156 12log 5 log 3 log2 log 5 log 3log3 log2log2 log 5 的值为 . 10. 在三棱锥PABC中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且1PA，2PB ， 2PC ，若点Q为三棱锥PABC外接球的球面上任一点，则 Q 到面 ABC 距离的最大 值为 . 11. 设直线ykxb与曲线 3 yxx有三个不同的交点A、B、C， 且| |2ABBC，则k的值为 . 12. 设集合1,2,3,4,5,6,7,8I， 若I的非空子集A、B满足AB,就称有 序集合对( ,)A B为I的“隔离集合对” ，则集合I的“隔离集合对”的个数为 . （用具体数字作答） 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 3 页 (共 4 页) 三三、解答题解答题（本本大题大题共共 4 4 个小题个小题，每小题每小题 2020 分分，共共 8080 分分） 13. 已知双曲线 22 1 43 xy ，设其实轴端点为 1 A、 2 A，点P是双曲线上不同于 1 A、 2 A的一个动点，直线 1 PA、 2 PA分别与直线1x 交于 1 M、 2 M两点. 证明：以线段 12 M M为直径的圆必经过定点. 14. 设x，y，z为正实数，求 111 (2)(2)(2)xyz yzx 的最小值. 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 4 页 (共 4 页) 15. 已知数列 n a满足： 1 1a ， 2* 1 1 () 8 nn aam n N，若对任意正整数n，都 有4 n a，求实数m的最大值. 16. 设函数( )2ln p f xpxx x . （1）若( )f x在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围； （2）设 2 ( ) e g x x ，且0p，若在1, e上至少存在一点 0 x，使得 00 ()()f xg x成 立， 求实数p的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n，都有 2 1 2 ln (1)3 n k k 成立. 参考答案及评分标准 （第 1 页 共 5 页） 2018 年年全国全国高中数学联赛高中数学联赛（四川四川预预赛赛）试题试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明说明： 1、评阅试卷时评阅试卷时，请依据评分标准请依据评分标准. .选择题和填空题只设选择题和填空题只设 5 分和分和 0 分两档分两档；其它各题的其它各题的 评阅评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次不要再增加其它中间档次. . 2、如果考生的解答题方法和本解答不同如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理只要思路合理，步骤正确步骤正确，在评阅时可参在评阅时可参 考本评分标准适当划分档次评分考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次分一个档次，不要再增加其它中间档次不要再增加其它中间档次. . 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分） 1、A 2、B 3、B 4、D 5、C 6、D 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分） 7、4 8、 2 15 5 9、1 10、 36 26 11、1 12、6050 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 4 个小题个小题，每小题每小题 20 分分，共共 80 分分） 13. 已知双曲线 22 1 43 xy ，设其实轴端点为 1 A、 2 A，点P是双曲线上不同于 1 A、 2 A的一个动点，直线 1 PA、 2 PA分别与直线1x 交于 1 M、 2 M两点. 证明：以线段 12 M M为直径的圆必经过定点. 证明：由已知可设 1( 2,0) A， 2(2,0) A，双曲线上动点P的坐标为 00 (,)xy且 y00， 则 22 00 1 43 xy . 因为直线 PA1的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ，直线 2 PA的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 所以 M1(1, 0 0 3 2 y x )， 0 2 0 (1,) 2 y M x )， 5 分 设以线段 12 M M为直径的圆C上任意一点 Q(x,y)， 则由 12 0M Q M Q 得圆 C 的方程为 00 00 3 (1)(1)()()0 22 yy xxyy xx .10 分 令 y0，代入上述圆方程，得 2 20 2 0 3 (1)0 4 y x x ， 15 分 由 22 00 1 43 xy 可得 2 0 2 0 3 44 y x ， 参考答案及评分标准 （第 2 页 共 5 页） 因此有 2 9 (1)0 4 x，解得 5 2 x 或 1 2 x . 所以，以线段 12 M M为直径的圆必经过两定点 1 (, 0) 2 ， 5 ( , 0) 2 . 20 分 14. 设x，y，z为正实数，求 111 (2)(2)(2)xyz yzx 的最小值. 解：记 111 (2)(2)(2)Txyz yzx , 当1xyz时，T有最小值 3 (22)2014 2. 5 分 下证：2014 2T. 解法一： 1111 ()2()Txyzxyyzzx xyzxyyzzx 111 3()2()5 2 xyz xyz xyzzxy 10 分 6 111 226 xy yz zx xyyz zx 63 1 1 1 36235 2 xyz x y z xy zzxy 15 分 26 236235 22014 2 . 20 分 当1xyz时，可取到等号. 所以，T的最小值为2014 2. 解法二：(22)(22)(22) xyz T yzx 10 分 84 2()4()2 2 xzyxyz zyxyzx 33 84 23432 2 xzyxyz zyxyzx 15 分 84 23432 22014 2 . 20 分 参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页） 当1xyz时，可取到等号. 所以，T的最小值为2014 2. 解法三：注意到： 1 2 22 x y 1112 1 222222 x y 10 分 112 222222 1 ( )1x y . 15 分 于是， 3 111 (2)(2 (2) (22) xyz yzx ） 1 11 2 22 222222 x zy y xz 112112112 222222222222222222 111 ( )1) ( )1) ( )1)xyz yzx 1 . 故 3 111 (2)(2)(2)(22)xyz yzx . 20 分 当1xyz时，可取到等号. 所以，T的最小值为 3 (22)2014 2. 15. 已知数列 n a满足： 1 1a ， 2* 1 1 () 8 nn aam n N，若对任意正整数n，都有 4 n a，求实数m的最大值. 解：因为 22 1 11 (4)22 88 nnnnn aaaamamm ， 5 分 故 1 11 1 ()1(2)(1) n nkk k aaaamn . 若2m，注意到n 时，(2)(1)mn ， 因此，存在充分大的n，使得1(2)(1)4mn，即4 n a，矛盾！ 参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） 所以，2m. 10 分 又当2m 时，可证：对任意的正整数n，都有04 n a. 当1n， 1 14a ，结论成立； 假设(1)nk k时，结论成立，即04 k a， 则 22 1 11 02244 88 kk aa ， 即结论对1nk也成立. 由归纳原理知，对任意的正整数n，都有04 n a. 综上可知，所求实数m的最大值为 2. 20 分 16. 设函数( )2ln p f xpxx x . （1）若( )f x在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围； （2）设 2 ( ) e g x x ，且0p，若在1, e上至少存在一点 0 x，使得 00 ()()f xg x成立， 求实数p的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n，都有 2 1 2 ln (1)3 n k k 成立. 解： （1）函数( )f x的定义域为( |0x x. 由( )2ln p f xpxx x 知 2 2 ( ) p fxp xx , 要使( )f x在其定义域(0,)内为单调递增函数，只须( )0fx， 即 2 20pxxp在(0,)内恒成立. 于是 2 2 1 x p x ，注意到： 2 22 1 21 xx xx ，等号在1x 时成立， 即 2 2 1 x x 在1x 时有最大值 1. 从而1p . 5 分 （2）解法一：注意到 2 ( ) e g x x 在1,e上是减函数， 所以 min ( )( )2g xg e， max ( )(1)2g xge，即( )2, 2 g xe. 参考答案及评分标准 （第 5 页 共 5 页） 当 0p1 时，由 x1,e，得 1 x x 0， 故 f(x)p(x 1 x )2lnxx 1 x 2lnx2，不合题意. 当 p1 时，由（1）知 f(x)在1,e上是增函数，f(1)02， 又 g(x)在1,e上是减函数，所以原命题等价于 f(x)maxg(x)min2，x1,e， 由 f(x)max f(e) p(e 1 e )2lne2，解得 p 2 4 1 e e . 综上，p 的取值范围是( 2 4 1 e e ,). 10 分 解法二：原命题等价于 f(x)g(x)0 在1,e上有解， 设 F(x)f(x)g(x) px p x 2lnx 2e x . 因为 F(x) p 2 p x 2 x 2 2e x 2 2 2()pxpex x ， 所以 F(x)是增函数， 所以 F(x) max F(e)0，解得