数学第三章第五节数列的综合应用

同步检测训练一、选择题1数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a6b7，则()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与b4b10的大小不确定答案：B解析：由数列的性质易得a3a922a62b7b4b10.故选B.2(2008桂林模拟)数列1，的前n项和为()A.B.C. D.答案：B解析：an，Sn()()()()2(1).故选B.3已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为()A4 B6C8 D10答案：C解析：设项数为2n，公比为q.由已知S奇a1a3a2n1.S偶a2a4a2n得，q2，S2nS奇S偶2552n8.故选C.4如果数列an满足：首项a11，an1那么下列说法中正确的是()A该数列的奇数项a1，a3，a5，成等比数列，偶数项a2，a4，a6，成等差数列B该数列的奇数项a1，a3，a5，成等差数列，偶数项a2，a4，a6，成等比数列C该数列的奇数项a1，a3，a5，分别加4后构成一个公比为2的等比数列D该数列的偶数项a2，a4，a6，分别加4后构成一个公比为2的等比数列答案：D解析：列出数列的项如下：1,2,4,8,10,20,22,44，观察可得，答案为D.5已知等比数列an的各项均为正数，数列bn满足bnlnan，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值等于()A126 B130C132 D134答案：C解析：an是各项不为0的正项等比数列，bnlnan是等差数列又b318，b612，b122，d2，Sn22n(2)n223n，(Sn)max1122311132.故选C.6(2008衡水调研)设yf(x)是一次函数，f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(n4) Bn(2n3)C2n(2n3) D2n(n4)答案：B解析：f(x)是一次函数，且f(0)1，设f(x)kx1，f(1)k1，f(4)4k1，f(13)13k1.f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，(4k1)2(k1)(13k1),3k26k.k0，k2，即f(x)2x1.f(2)，f(4)，f(6)，f(2n)构成以5为首项，4为公差的等差数列f(2)f(4)f(2n)n(2n3)故选B.7(2009北京海淀4月)对于数列an，若存在常数M，使得对任意nN*，an与an1中至少有一个不小于M，则记：anM，那么下列命题正确的是()A若anM，则数列an的各项均大于等于MB若anM，bnM，则anbn2MC若anM，则aM2D若anM，则2an12M1答案：D解析：对于A，即若anM，an与an1中至少有一个不小于M，则数列an的各项不一定都大于M，错误；对于B，若anM，an与an1中至少有一个不小于M，bnM，bn与bn1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n值，则anbn2M不成立；对于C，若anM，数列各项的正负及M的正负不确定，则aM2不成立；则只有D成立，故选D.8(2009河南调研)数列an5()2n24()n1，(nN*)，若ap和aq分别为数列中的最大项和最小项，则pq()A3 B4C5 D6答案：A解析：an5()2n24()n1，它是以()n1(0,1为元的一元二次函数，对称轴为，则a1和a2分别为数列中的最大项和最小项，则pq3，故选A.二、填空题9(2009湖北五市联考)已知数列an的通项公式为an2n11，则a1Ca2Can1C_.答案：2n3n解析：an2n11，a1Ca2Can1CC(201)C(211)C(2n1)(C20C21C2n)(CCC)(21)n2n3n2n.10(2009苏锡常镇调考一13)已知数列an(nN*)满足an1且ta12，若ankan(kN*)，则实数k的最小值为_答案：4解析：数列an(nN*)满足an1且ta12，则a2a1t(0,1)，a2t，a4a3tt2a1t，a5t2a4a1，t2a10，所以()bn1bn()d是定值，从而数列an是等比数列(2)当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1()n，当n1时也适合此式，即数列an的通项公式是an()n.由bnlogan，数列bn的通项公式是bnn.所以Pn(，n)，Pn1(，n1)，过这两点的直线方程是yn2n1(x)，该直线与坐标轴的交点是An(，0)和Bn(0，n2)cn|OAn|OBn|.因为cncn10.即数列cn的各项依次单调递减，所以要使cnt对nN*恒成立，只需c1t，又c1，可得t的取值范围是，)故实数t的取值范围是，)13(2009北京市东城区)等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为等比数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求和：.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有，解得，或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2)，(1)(1).14(2009湖北省部分重点中学联考文)已知数列an满足a11，an1，且bna2n2(nN*)(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列bn是等比数列，并求其通项公式；(3)若cnnbn，Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn2.解：(1)a2，a3，a4.(2).又b1a22，数列bn是公比为的等比数列，且bn()()n1()n.(3)由(2)知cnn()n，Sn2()23()3n()n，Sn()22()3(n1)()nn()n1，得Sn()2()3()nn()n11()nn()n1，Sn21()nn()n12.15(2009湖北省重点中学联考理)已知正项数列an、bn，对任意nN*，有an，bbnbn1，数列an的前n项和为Sn.求证：(1)bnan；(2)b1b2b3b2n12()解：(1)因为0bn1bnbbn(1bn)，所以0bn1，所以(