数学32模拟第3章不等式

用心 爱心 专心1 第七章第七章不等式第一部分不等式第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20201111 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（重庆理（重庆理 7 7）已知 a0，b0，a+b=2，则 y= 14 ab 的最小值是 A 7 2 B4 C 9 2 D5 【答案答案】C 2.2.（浙江理（浙江理 5 5）设实数 , x y满足不等式组 250 270, 0 xy xy x ，y0， 若 , x y为整数，则34xy 的最 小值是 A14 B16 C17 D19 【答案答案】B 3.3.（全国大纲理（全国大纲理 3 3）下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab B 1ab C 22 ab D 33 ab 【答案答案】A 4.4.（江西理（江西理 2 2）若集合 , x AxxBx x ，则AB A xx B xx C xx D xx 【答案答案】B 5.5.（辽宁理（辽宁理 9 9）设函数 1,log1 1,2 )( 2 1 xx x xf x ，则满足 2)(xf 的x的取值范围是 （A） 1 ，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+） 【答案答案】D 6.6.（湖南理（湖南理 7 7）设 m1，在约束条件 1 yx ymx xy 下，目标函数z=x+my的最大值小于 2，则 m 的取值范围为 A （1，1 2 ） B （1 2 ，） C （1,3 ） D （3，） 【答案答案】A 7.7.（湖北理（湖北理 8 8）已知向量 a=（x+z,3）,b=（2,y-z） ，且 a b若x,y满足不等式 1xy ，则 z 的取值范围为 A-2，2 B-2，3 C-3，2 D-3，3 【答案答案】D 8.8.（广东理（广东理 5 5） 。已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定。若 用心 爱心 专心2 ( , )M x y 为D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z OM OA 的最大值为 A4 2 B3 2 C4 D3 【答案答案】C 9.9.（四川理（四川理 9 9）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需运往A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车 虚满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元； 派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元该公司合理计划当天 派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z= A4650 元 B4700 元 C4900 元 D5000 元 【答案答案】C 【解析】由题意设派甲，乙 , x y辆，则利润450350zxy ，得约束条件 08 07 12 10672 219 x y xy xy xy 画出可行域在 12 219 xy xy 的点 7 5 x y 代入目标函数 4900z 10.10.（福建理（福建理 8 8）已知 O 是坐标原点，点 A（-1,1）若点 M（x,y）为平面区域 2 1 y2 xy x ， 上的一个动点，则OA OM 的取值范围是 A-10 B01 C02 D-12 【答案答案】C 11.11.（安徽理（安徽理 4 4）设变量 yxyxyx2, 1|,则满足 的最大值和最小值分别为 （A）1，1 （B）2，2 （C） 1，2 （D） 2，1 【答案答案】B 12.12.（上海理（上海理 1515）若 , a bR ，且 0ab ，则下列不等式中，恒成立的是 A 22 2abab B 2abab CD 112 abab D 2 ba ab 【答案答案】 二、填空题二、填空题 13.13.（陕西理（陕西理 1414）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵 树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发 前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米） 。 【答案答案】2000 14.14.（浙江理（浙江理 1616）设 , x y为实数，若 22 41,xyxy 则2x y 的最大值是 。 【答案答案】 2 10 5 15.15.（全国新课标理（全国新课标理 1313）若变量 x，y 满足约束条件 329 69 xy xy ，则 2zxy 的最小 用心 爱心 专心3 值是_ 【答案答案】-6 16.16.（上海理（上海理 4 4）不等式 1 3 x x 的解为 。 【答案答案】 0 x 或 1 2 x 17.17.（广东理（广东理 9 9）不等式 130 xx 的解集是 【答案答案】1, ) 18.18.（江苏（江苏 1414）设集合 ,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA , , 122| ),(RyxmyxmyxB , 若 , BA 则实数 m 的取值范围是 _ 【答案答案】 22 , 2 1 三、解答题三、解答题 19.19.（安徽理（安徽理 1919） （）设 1,1,xy 证明 ; 111 xy yxxy yx ， （） cba1 ，证明log logloglogloglog abcbca bcaabc . 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查 代数式的恒等变形能力和推理论证能力. 证明：（I）由于 1, 1yx ，所以 ,)(1)( 111 2 xyxyyxxyxy yxxy yx 将上式中的右式减左式，得 , 0) 1)(1)(1(, 1, 1 ).1)(1)(1( ) 1)(1( ) 1)() 1)(1( )()() 1)( ) 1)()( 2 2 yxxyyx yxxy yxxyxy xyyxxyxy yxyxxyxy yxxyxyxy 所以即然 从而所要证明的不等式成立. （II）设 ,log,logycxb ba 由对数的换底公式得 .log, 1 log, 1 log, 1 logxyc y b x a xy a acbc 于是，所要证明的不等式即为 , 111 xy yxxy yx 其中 . 1 log, 1logcybx ba 故由（I）立知所要证明的不等式成立. 20.20.（湖北理（湖北理 1717） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥 用心 爱心 专心4 上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上 的的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当20 200 x 时，车流速度 v 是车流密度x的一次函数 （）当0 200 x 时，求函数 v x 的表达式; （）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位： 辆/每小时） .f xxv x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 （满分 12 分） 解：（）由题意：当0 20, ( )60 xv x时 ；当20 200,( )xv xaxb时设 再由已知得 1 , 2000, 3 2060,200 . 3 a ab ab b 解得 故函数 ( )v x 的表达式为 60,020, ( ) 1 (200),20200 3 x v x xx （）依题意并由（）可得 60 ,020, ( ) 1 (200),20200 3 xx f x xxx 当0 20,( )xf x时 为增函数，故当 20 x 时，其最大值为 6020=1200； 当20 200 x 时， 2 11(200)10000 ( )(200) 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx ，即 100 x 时，等号成立。 所以，当 100,( )xf x时 在区间20，200上取得最大值 10000 . 3 综上，当 100 x 时， ( )f x 在区间0，200上取得最大值 10000 3333 3 。 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。 21.（湖北理（湖北理 2121） （）已知函数 ( )1f xInxx ， (0,)x ，求函数 ( )f x 的最大值； （）设 , kk a b(1,2k ， )n 均为正数，证明： （1）若 1 122 aba b nn a b 12 bb n b ，则 12 12 1 n kkk n a aa ； （2）若 12 bb n b =1，则 1 n 12 1 222 212 . n kkk nn b bbbbb 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力，以及化归与转化的思想。 （满分 14 分） 解：（I） ( )f x 的定义域为(0, ) ，令 1 ( )10,1.fxx x 解得 当0 1,( )0,( )xfxf x时 在（0，1）内是增函数； 当 1x 时， ( )0,( )(1,)fxf x在 内是减函数； 用心 爱心 专心5 故函数 ( )1f xx 在 处取得最大值 (1)0.f （II） （1）由（I）知，当 (0,)x 时， 有 ( )(1)0,ln1.f xfxx即 ,0 kk a b ，从而有ln 1 kk aa ， 得 ln(1,2, ) kkkkk baa bb kn ， 求和得 1 111 ln. nnn k kkkk kkk aa bb 2 111 ,ln0, nnn k kkkk kkk a bba 即 12 12 ln()0, n kkk n a aa 12 12 1. n kkk n a aa （2）先证 12 12 1 . n kkk n b bb n 令 1 (1,2, ), k k akn nb 则 111 1 1, nnn kkk kkk a bb n 于是 由（1）得 12 12 111 () ()()1 n kkk n nbnbnb ，即 12 12 12 1 , n n kkk kkk n nn b bb 12 12 1 . n kkk n b bb n 再证 12 222 1212 . n kkk nn b bbbbb 记 2 1 ,(1,2, ) n k kk k b Sbakn S 令 ， 则 2 1 111 1 1 nnn kkk kkk a bbb S ， 于是由（1）得 12 12 () ()()1. n kkk n bbb SSS 即 1212 12 , nn kkkkkk n b bbSS 12 222 1212 . n kkk nn b bbbbb 综合， （2）得证。 20102010 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（20102010 上海文）上海文）15.满足线性约束条件 23, 23, 0, 0 xy xy x y 的目标函数zxy的最大值是 用心 爱心 专心6 （ ） （A）1. （B） 3 2 . （C）2. （D）3. 答案 C 解析：当直线zxy过点 B(1,1)时，z 最大值为 2 2.2.（20102010 浙江理）浙江理） （7）若实数x，y满足不等式组 330, 230, 10, xy xy xmy 且xy的最大值为 9，则实数m （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 答案 C 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C， 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （5）不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 （A）2,3x xx或 （B）213x xx，或 （C） 213xxx ，或 （D）2113xxx ，或 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】利用数轴穿根 法解得-2x1 或 x3，故选 C 4.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）(5)若变量 x,y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z=2x+y 的最大值 为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 用心 爱心 专心7 【解析】C：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 yx 与3 25xy 的交点为最优解点， 即为（1，1） ，当 1,1xy 时 max 3z 5.5.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （2）不等式 3 2 x x 0 的解集为 （A）23xx （B）2x x （C）23x xx 或 （D）3x x 【解析】A ：本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x ， 23x ，故选 A 6.6.（20102010 江西理）江西理）3.不等式 22xx xx 的解集是（ ） A. (0 2)， B. (0)， C. (2)， D. (0)（-，0）， 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. 2 0 x x ，解得 A。 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 7.7.（20102010 安徽文）安徽文） （8）设 x,y 满足约束条件 260, 260, 0, xy xy y 则目标函数 z=x+y 的最大值 是 （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 答案 C 【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3 个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数 zxy在(6,0)取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最 大值. 用心 爱心 专心8 8.8.（20102010 重庆文）重庆文） （7）设变量, x y满足约束条件 0, 0, 220, x xy xy 则32zxy的最大值为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线32zxy过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大 由 B（2,2）知 max z4 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，可知答案选 A，本题主要考察了用平面区域二元一 次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 10.10.（20102010 重庆理数）重庆理数） （7）已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 A.3 B.4 C. D. 11 2 答案 B 解析：考察均值不等式 2 2 2 8)2(82 yx yxyx，整理得032242 2 yxyx 即08242yxyx，又02yx，42yx 9 2 用心 爱心 专心9 11.11.（20102010 重庆理数）重庆理数） （4）设变量 x，y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy ，则 z=2x+y 的最大值 为 A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6 12.12.（20102010 北京理）北京理） （7）设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D，若指数函数 y= x a的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案：A 13.13.（20102010 四川理）四川理） （12）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最 小值是 （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5 解析： 22 11 21025 () aacc aba ab 22 11 (5 ) () acaabab aba ab 2 11 (5 )() () acaba ab aba ab 0224 当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 ,c 2 5 满足条件. 答案：B 用心 爱心 专心10 y 0 x70 48 80 70 (15,55) 14.14.（20102010 四川理）四川理） （7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不 得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案：B 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 15.15.（20102010 天津文）天津文）(2)设变量 x，y 满足约束条件 3, 1, 1, xy xy y 则目标函数 z=4x+2y 的最大 值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做 出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交 点（2，1）时 z 取得最大值 10. 16.16.（20102010 福建文）福建文） 用心 爱心 专心11 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0: 20lxy L0 2 2 A 17.17.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文） （10）设 1 2 3 log 2,ln2,5abc 则 （A）abc（B）bca (C) cab (D) cba 答案 C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大 小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5 = 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【解析 2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 loge , 3 22 1loglog2 e ， 3 22 111 1 2logloge ； c= 1 2 111 5 254 ，cab 18.18.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文）(3)若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大 值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 答案 B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图） ， 11 2 22 zxyyxz，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 max 1 2 ( 1)3z . 用心 爱心 专心12 19.19.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （8）设a= 3 log2,b=ln2,c= 1 2 5 ,则 （A） abc （B）bca （C） cab （D） cba 20.20.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） 21.21.（20102010 四川文）四川文） （11）设0ab，则 2 11 a aba ab 的最小值是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：D 解析： 2 11 a aba ab 2 11 () aabab aba ab 11 () () aba ab aba ab 用心 爱心 专心13 224 当且仅当ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 满足条件. 22.22.（20102010 四川文）四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲 车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40 元. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超 过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案：B 解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 23.23.（20102010 山东理）山东理） y 0 x70 48 80 70 (15,55) 用心 爱心 专心14 24.24.（20102010 福建理）福建理）8设不等式组 x1 x-2y+30 yx 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B, |AB的 最小值等于( ) A 28 5 B4 C 12 5 D2 【答案】B 【解析】由题意知，所求的|AB的最小值，即为区域 1 中的点到直线3490 xy的 距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 用心 爱心 专心15 可看出点（1，1）到直线3490 xy的距离最小，故|AB的最小值为 |3 1 4 1 9| 24 5 ，所以选 B。 二、填空题二、填空题 1.1.（20102010 上海文）上海文）2.不等式 2 0 4 x x 的解集是 。 【答案】24|xx 解析：考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于（x-2）(x+4)0,所以-40,称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数。 如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为 直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过 点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术 平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2 CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC=, , 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD可得 ab CEab ab 故 2 22 () 2() ab OEOCCE ab ，所以 ED=OD-OE= 2ab ab ，故 DE 的长度为a,b的调和平均数. 17.17.（20102010 江苏卷）江苏卷）12、设实数 x,y 满足 3 2 xy8，4 y x2 9，则 4 3 y x 的最大值是 。 【答案】 27 【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。 用心 爱心 专心19 2 2 ()16,81 x y ， 2 11 1 , 8 3xy ， 32 2 42 1 ()2,27 xx yyxy ， 4 3 y x 的最大值是 27。 三、解答题三、解答题 1.1.（20102010 广东理）广东理）19.（本小题满分 12 分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订 , x y个单位的午餐和晚餐， 共花费z元，则 2.54zxy。 可行域为 12 x+8 y 64 6 x+6 y 42 6 x+10 y 54 x0， xN y0， yN 即 3 x+2 y 16 x+ y 7 3 x+5 y 27 x0， xN y0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为2.54zxy=2.54+43=22 元 2.2.（20102010 广东文）广东文）19.（本题满分 12 分） 用心 爱心 专心20 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个 单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位 的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为 F，则 F yx45 . 2，由题意知： 64812 yx 4266yx 54106yx 0, 0yx 画出可行域： 变换目标函数： 48 5F xy 用心 爱心 专心21 3.3.（20102010 湖北理）湖北理）15.设 a0,b0,称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数。 如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为 直径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过 点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术 平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2 CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC=, , 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD可得 ab CEab ab 故 2 22 () 2() ab OEOCCE ab ，所以 ED=OD-OE= 2ab ab ，故 DE 的长度为a,b的调和平均数. 用心 爱心 专心22 20092009 年高考题年高考题 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一、选择题 1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:acb+d , q:ab 且 cd B.p:a1,b1 q:( )(01) x f xab aa，且的图像不过第二象限 C.p: x=1, q: 2 xx D.p:a1, q: ( )log(01) a f xx aa，且在(0,)上为增函数 答案 A 解析 由ab 且 cdacb+d，而由acb+d ab 且 cd，可举反例。 选 A。 2.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 且 且时必有acbd .若acbd 时，则可能有adcb 且 且，选 A。 3.（2009 四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是 “acbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，则同向不等式相加 得ab 即由“acbd”“ab” 4.（2009 天津卷理）ab 10,若关于 x 的不等式 2 ()xb 2 ()ax的解集中的整数恰 有 3 个，则 用心 爱心 专心23 A.01 a B.10 a C.31 a D.63 a 答案 C 5.（2009 四川卷理）已知, , ,a b c d为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。 （同文 7） 答案 B 解析 ba 推不出acbd；但bdcbadbca ，故选择 B。 解析 2：令2,1,3,5abcd ，则13( 5)8acbd ；由 acbd可得，()abcd因为cd，则0cd，所以ab。故 “ab”是“acbd”的必要而不充分条件。 6.（2009 重庆卷理）不等式 2 313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取 值范围为（ ） A(, 14,) B(, 25,) C1,2 D(,12,) 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立，所以 22 343041aaaaaa 即，解得或 二、填空题 7.（2009 年上海卷理）若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中，元素 4 的代数余子式大于 0， 则 x 满足的条件是_ . 答案 8 3 x 解析 依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： 8 3 x 三、解答题 8.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 用心 爱心 专心24 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单 价为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度 为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1 h和 2 h，则他对这两种 交易的综合满意度为 1 2 hh. 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 A m元和 B m元，甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h且，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 (1)求h且和h且关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h且=h且； (2)设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？ 最 大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当 3 5 AB mm时， 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 , h且=h且 （2）当 3 5 AB mm时， 用心 爱心 专心25 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5,20, 20 5 B B m m 得， 故当 11 20 B m 即20,12 BA mm时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 。 （3） （方法一）由（2）知： 0 h= 10 5 由 0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 得： 1255 2 AB AB mm mm ， 令 35 , AB xy mm 则 1 ,1 4 xy、，即： 5 (14 )(1) 2 xy。 同理，由 0 10 5 hh 乙 得： 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy当且仅当 1 4 xy，即 A m= B m时，取等号。 所以不能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立，但等号不同时 成立。 用心 爱心 专心26 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一、选择题 1.（2009 天津卷理）设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与的等比中项，则的最小值为 A . 8 B . 4 C. 1 D. 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 答案 C 解析 因为333 ba ，所以1 ba， 4222) 11 )( 11 b a a b b a a b ba ba ba ，当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时“=”成立，故选择 C 2.（2009 重庆卷文）已知0,0ab，则 11 2 ab ab 的最小值是（ ） A2B2 2C4D5 答案 C 解析 因为 1111 2222()4ababab ababab 当且仅当 11 ab ， 且 ，即ab时，取“=”号。 二、填空题 3.（2009 湖南卷文）若0 x ，则 2 x x 的最小值为 . 答案 222 解析 0 x 2 2 2x x ，当且仅当 2 2xx x 时取等号. 三、解答题 4.（2009 湖北卷文） （本小题满分 12 分） 围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所 示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 用心 爱心 专心27 x(单位：元)。 （）将 y 表示为 x 的函数： （）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m 则 2 y-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a= x 360 , 所以 y=225x+)0(360 3602 x x (II)108003602252 360 225, 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy.当且仅当 225x= x 2 360 时，等号成立. 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. 第三节第三节 不等式组与简单的线性规划不等式组与简单的线性规划 一、选择题 1. (2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 0, 0 02 063 yx yx yx ， 若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的是最大值为 12， 则 23 ab 的最小值为( ). A. 6 25 B. 3 8 C. 3 11 D. 4 答案 A x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 用心 爱心 专心28 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23 ab