高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 新人教A选修21

1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30B150C30或150 D以上均错答案：A2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错答案：C3平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_解析：设u(1,0，1)，v(0，1,1)，则cos|cosu，v|.或.答案：或4如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角FDEC的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)(1)(1,0,2)易得平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设与n的夹角为，则cos，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1,0,2)，(0,2,2)设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1,1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A60 B45C30 D90解析：选B.以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)设正方体的棱长为1，则E(，1)，F(，0，)，(0，)，(0,1,0)所以cos，所以，135，所以异面直线EF和CD所成的角是45，故选B.2正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选C.以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令AB2，则A(2,0,0)，O(1,2,1)，(1,2,1)又(0,0,2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所成角为.则sin |cos，|.3设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A45 B30C90 D60解析：选D.以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)cos，.，120.AC与BF所成的角为60.4如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点则BD与平面ADMN所成的角为()A30 B60C120 D150解析：选A.如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得，取x1，则z1，n(1,0，1)cos，n，又090，sin|cos，n|.30.5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选D.建系如图，设正方体棱长为1，则(0,0,1)B1D面ACD1，取(1,1,1)为面ACD1的法向量设BB1与面ACD1所成的角为，则sin，cos.6在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()A B.C. D.解析：选B.如图建系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)、A1(1,0,1)、E(1,1，)(1,0,1)，(1,1，)设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)则.令x1，则z1，y，n(1，1)又平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)cosn，.平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为.二、填空题7已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点则直线AC与DE所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，(a，a，a)，cos，.答案：8正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_解析：不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，则(1,0,2)，(1，1,2)，|，|.1043.又|cos，cos，cos，所求值为.答案：9正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连结AO，DO，建立如图所示的坐标系：设BC1，则A，B，D.所以，.由于为平面BCD的法向量，设平面ABD的法向量n(x，y，z), 则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，sinn，.答案：三、解答题10如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz，则(1,0,0)，(0,0,1)，连结BD、BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，又由|cos，可得2m，解得m.所以(，1)(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，.所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.11若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，故(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则，令x1，则y，故m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则z1，故n(0，1，1)，cosm，n.二面角APBC的余弦值为.12(2010年高考重庆卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点(1)证明：AE平面PBC；(2)若AD1，求二面角BECD的平面角的余弦值解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E.于是，(0，a,0)，(，a，)，则0，0.又因为BCPCC，所以AE平面PBC.(2)设平面BEC的法向量为n