2016--高二立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几何垂直证明问题的一般模型与方法垂直变换：直线垂直面垂直基础篇类型1 :线的垂直证明(同一面垂直，不同面垂直)(1)共面垂直：实际上是平面内两条直线的垂直(学生们只要把握以下几个模型即可)。等腰三角形中心线菱形(正方形)对角线相互垂直的定理中的三角形在1:1:2的直角梯形中，相似或联合证明了直角。例如：在立方体中，o是底面ABCD的中心，e是求证据(2)异面垂直(利用线面垂直，证明高考意图)例1在正四面体ABCD中，求出证明变形例1如图所示，在四角锥中，已知底面为矩形.证明：变形例2如图所示，在边长正方形中，分别沿着中点、点、中点、AED、DCF折叠，使两点重合.索赔证：类型2 :线面垂直证明方法利用线面垂直的判定定理例2 :在立方体中，o是底面ABCD的中心，e是求证据变式1 :在立方体中，求证：变形例2 :图：在直三角柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，ACB=90.E是BB1的中点，d点在AB上为DE=求证： CD平面A1ABB1；d.da.ac.co.o乙组联赛e变形例3 :如图所示，在四面体ABCD中，o、e分别是BD、BC中点求证：平面BCD；变形例4如图所示，在底面为直角梯形的四角锥中平面。寻求证据：平面利用面垂直性质定理例3 :在三角锥P-ABC中，方法：在这种情况下，条件包括面是垂直的。变式1、四角锥、底面ABCD为正方形，侧面PAB为等腰三角形，并求证备选方案2 :类型3 :面垂直证明。 (本质上证明线面是垂直的)a.a乙组联赛c.cd.def.f例1如图所示，平面、平面、为等边三角形的中点(一)寻求证据：平面(2)寻求证据：平面平面如图2所示，在四角锥中，底面为、(1)证明(2)证明平面已知变形例1中，直角四棱柱abcd-abcd 底面为菱形，e、f分别为棱cc 和bb 上的点，EC=BC=2FB=2.(1)求证：平面AEF平面aacc；举一反三1.m为平面，a、b为直线，给出以下4个命题 bM bM .其中正确的命题是()A. B. C. D.2 .以下命题正确的是()a .如果直线垂直于平面中的两条直线，则直线垂直于平面b .如果直线垂直于平面内的无数直线，则该直线垂直于该平面c .如果直线平行于平面，垂直于该平面的直线必定垂直于该直线d .如果一条直线垂直于平面，则垂直于该直线的另一条直线必须垂直于平面3 .如图所示，在正方形ABCD中，e、f分别是AB、BC的中点。 现在，如果沿着DE、DF、EF折叠ADE、CDF、BEF，使a、b、c这3点重合，将重合的点设为p .则在四面体PDEF中必定有()第三问题图A.DP平面pefc.dm平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4 .设a、b为异面直线，以下命题是正确的()不在a、a、b上的点p必须与直线a、b相交b .不在a、b上的点p必定与平面a、b垂直c .一过a平面和b必定垂直d .一过a，平面和b必定平行5 .如果直线l、m和平面、满足：l=、l、m和m，则必定成为()A.和lm B.和m C.m和lm D.和6 .如果AB是圆的直径，c是圆周上的一点，PC垂直于圆的平面，并且BC=1、AC=2和PC=1，则p和AB之间的距离为()A.1 B.2 C. D .7 .有三个命题垂直于同一平面的两条直线平行有超过平面的斜线l，只有一个平面垂直于异面直线a、b不垂直时，超过a的平面和b不垂直其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.38.d是异面直线a、b垂线，当平面、满足a、b时，下一个正确的结论是()A.和必须相交，交线md或m和d重叠B.和必定相交，虽然是交线md，但是m和d不重叠C.和必定相交，交线m和d不一定平行D.和不一定相交9 .设l、m为直线，为平面，且为l，给出以下命题m的话，就是ml； 如果是ml，就是m； m，ml； ml的话，m其中真命题的编号为()A. B. C. D.10 .已知的直线l平面、直线m平面提供以下4个命题的话lm； 的话就是lm； lm的话； lm的话就是。其中正确的命题是()A.和 B.和 C.和 D.和二、思维激活第十二问题图如图所示，ABC为直角三角形，AB为斜边，三个顶点位于平面同一侧，这些内的投影分别为a 、b 、c ，a b c 为正三角形，aa=3cm、bb=5cm、cc=4cm，a b c 的面积为第11问题图第13题图12 .如图所示，在直角四边形A1B1C1D1ABCD中，在底面四边形ABCD满足条件的情况下，存在A1CB1D1(注：只要记入认为正确的条件即可，不需要考虑所有的可能的状况)。13 .如图所示，在三角锥VABC中，若在三根侧棱VA、VB、VC之间满足条件，则有VCAB (注意：只要写入认为正确的条件即可)。三、能力提高14 .如图所示，在三角锥V-ABC中，AH侧面VBC、h是VBC垂直心，BE是VC边的高度.第14问题图(1)求证书：VCAB(2)如果二面角EABC的大小为30，则求出VC和平面ABC夹角的大小15 .如图所示，PA矩形ABCD所在平面，m、n分别是AB、PC的中点.第十五问题图(1)证书要求： MN平面PAD(2)求证： MNCD(3)如果PDA=45，则求证书： MN平面PCD .16 .如图所示，在四角锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，873bad=60、AB=4、AD=2、侧棱PB=、PD=。(1)寻求证据： BD平面PAD(2)当PD和底面ABCD成为60度角时，求出二面角PBCA的大小。第16题图17 .在直三角柱ABC-A1B1C1中，已知ACB=90、BAC=30、BC=1、AA1=、m是CC1中点，要求证据： AB1A1M18 .如图所示，立方体abcd-abcd 草图长度为a，m为AD的中点，n为bd 上的点，dn:nb=1:2，MC与bd相交.(1)求证： NP平面ABCD第18题图(2)求出平面PNC与平面ccdd所成角度.(3)求出从点c到平面dmb距离.第4课线面垂直练习题解答1.A若两平行面中的一方垂直于平面，则另一方垂直于该平面，垂直于同一平面的两直线平行2 .由c线面的垂直性质定理可知3.A折叠后DPPE、DPPF、PEPF4 .设d任意点为直线bb，则a、b 所确定的平面与直线b平行.5.a根据题意，m且m必须是，另外，l=则是l，m则是lm，所以选择a如果PDAB将d过p连接到d，CD连接到d，则CDAB、AB=，PD=7 .从d定理和性质知道的三个命题都是正确的8.A显然和不平行9.D垂直于同一平面的两条直线平行，两条平行线中的一条垂直于平面，另一条垂直于同一平面10.B 、l、lm11 .设cm 2为正三角形abc 边的长度为a .AC2=a21，BC2=a2 1，AB2=a2 4另外，AC2 BC2=AB2、 a2=2。sabc=cm212 .在直角四边形A1B1C1D1ABCD的底面四边形ABCD满足条件ACBD (或者导出该条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等)的情况下，有A1CB1D1(注意到：只要填入认为正确的条件，不需要考虑所有可能的条件)。本问题是一个探索性问题，从这个问题中开拓了一个在填空问题中存在探索性问题的新问题类型，本质上考察了三垂线定理，但答案并非唯一，要求思维灵活性。13 .从vcva、VCAB.VCva、vcab知道VC平面VAB .14.(1)证明：h为VBC的垂心VCBE，还有AH平面VBCbe是斜线AB向平面VBC的投影，ABVC .(2)解：从(1)可以看出VCAB、VCBE在VC平面ABE、平面ABE上，设为EDAB、还有ABVCab面DEC .ab22222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653EDC=30，ab平面VCDVC在底面ABC上的投影是CDvcd是VC与底面ABC所成角，另外VCAB、VCBEVC面ABE、VCDE因为CED=90所以ECD=60VC与面ABC所成角度为60 .15 .证明： (1)如图所示，取PD的中点e连接AE，EN如果有en CD ab am，则由于EN=CD=AB=AM，因此AMNE为平行四边形.MNAE .第15题图解ae平面PAD、MN平面PAD、MN平面PAD .(2)PA平面ABCDPAAB .ADAB，8756； ab平面PAD。ABAE，即ABMN .另外，CDAB，8756； mncd(3)PA平面abcd； paad另外PDA=45，e为PD中点AEPD，即MNPD .又是MNCDMn平面PCD .16 .如图(1)所示，AB=4、AD=2、873bad=60第16题图解bd2=ad2ab2- 2ad ABC s60=416-224=12。另外，AB2=AD2 BD2ABD是直角三角形，ADB=90即，在adbd.pdb中，PD=、PB=、BD=，因为PB2=PD2 BD2，所以PDBD .又PDAD=DBD平面PAD .(2)从bd平面PAD、BD平面ABCD把平面PAD平面abcd.pead变成ePE平面PADPE平面ABCD、卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡PDE=60，8756； pe=pdin60=把EFBC连接到f，把PF连接到一起的话PFBFpfe是二面角PBCA平面角另外，在EF=BD=、RtPEF中tanPFE=二面角PBCA的大小为arctan17 .连接ac1222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡653ac1c=ma1c 1a1mc1ac1c=a1mc1ma1c1=90A1MAC1和ABC-A1B1C1是直三角柱CC1B1C1，另外B1C1A1C1、8756； b1c1平面AC1M .由三垂线定理知道AB1A1M评价：为了证明AB1A1M，因为B1C1平面AC1，所以能够从三垂线定理转化为证明AC1A1M，但是AC1A1M必定成立18.(1)证明：在正方形ABCD中222222222222222222222222226dp:pb=md:bc=1:2已知dn:nb=1:2从平行切割定理的逆定理中得到npdd 、dd平面ABCDNP平面ABCD .(2)NP- DD- 22222铿锵锵653NP、cc 在同一平面内，cc 是平面NPC与平面ccdd所成二面角的棱.另外，从cc、平面ABcd得到cc、CD、cc、cmMCD是该二面角的平面角从RtMCD可以看出MCD=arctan是求出二面角的大小.(3)若将已知的传感器长度设为a，则将等腰三角形的mbc面积S1=、等腰三角形的mbd 面积S2=、求出的距离设为h，则成为三角柱c-dmb的高度.-三角锥d- BCM体积为2220空间计算基础技能篇类型1 :到面的距离方法1 :直接法-调