重庆第一中学高二数学上学期期中

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3. 考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于( )A. B.C.D.2. 在中，角所对的边分别为，则等于( )A.B.C.D.93. 双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）A.B.C.D.24. 已知直线与直线平行，则与的距离为（ ）A.B.C.D.5已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）A.B.C.D.6椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）A. 8B. 4C.3D.27.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 8. 若圆与圆有公共点，则的范围（ ）A. B. C. D. 9. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.10. 过抛物线的焦点，作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与抛物线的准线交于点，若，则（ ）A.B.C.D.11. 设是双曲线的一个焦点，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）A.B.C. D. 12设分别是双曲线的左右顶点，设过的直线与双曲线分别交于点,直线交轴于点，过的直线交双曲线的于两点，且，则的面积（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13已知，且，则_.14已知定点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程为_15如图，正方体中，E为线段的中点，则直线AE与直线所成角的余弦值为 16设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18（12分）如图，在三棱柱中，底面，点，分别为与的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19（12分）已知过点的圆的圆心为，且圆与直线相切.（1）求圆的标准方程；（2）若过点且斜率为的直线交圆于两点，若的面积为，求直线的方程.20（12分）如图，在四棱锥中，底面， ,点为棱的中点（1）证明:；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值21（12分）设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.22（12分）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离为，离心率为.求椭圆的方程；如图，过点的动直线交椭圆于两点，直线的斜率为，为椭圆上的一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且.过原点作以为圆心，以为半径的圆的切线，切点为.令，求取值范围.2019年重庆一中高2021级高二上期期中考试数学参考答案一选择题BCBDD BACCA DA二填空题13 14 15. 16三解答题17.（1）因为，由正弦定理可得：，所以，即，由，则，由于，故.（2）由余弦定理得，所以，故.18（1）证明：如图，连接，. 在三棱柱中，为的中点.又因为为的中点， 所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，则， 令，得.记与平面所成角为，则.19. （1）设圆的标准方程为：，则圆心到直线的距离为，由题意得，解得或（舍去），所以，所以圆的方程为.（2）设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，又点到直线的距离为，解得，则直线的方程为.20. （1）底面，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，向量，故，所以（2）向量由点在棱上，设故由，得，因此，解得即设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则，易知，二面角是锐角，所以其余弦值为21 (1)由题意得，圆的半径，解得：故抛物线的方程为.(2)设点，由直线过抛物线的焦点，联立得，故，所以由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离，由，故 当且仅当，即时，取等号，所以，故面积的最