2008年湖北高考理科数学试题(解析版)

武汉教育资源网 免费下载2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理科）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设,则A.B. C. D.解：，选C2. 若非空集合满足，且不是的子集，则A. “”是“”的充分条件但不是必要条件B. “”是“”的必要条件但不是充分条件C. “”是“”的充要条件D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件解：,但是, 所以B正确。另外画出韦恩图，也能判断B选项正确3. 用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为A. B. C. D. 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，所以根据球的体积公式知，故B为正确答案 4. 函数的定义域为A. B. C. D. 解：函数的定义域必须满足条件：5. 将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是A. B. C. D. 解： 平移得到图象的解析式为,对称轴方程，把带入得，令，6. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150解：将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有 种方案，故正确7. 若上是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 解：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故为正确答案8 .已知,，若,则A B C D解：另外易知由洛必达法则，所以9. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条解：圆的标准方程是：，圆心，半径过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。10. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：; ; ; .其中正确式子的序号是A. B. C. D. 解：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .解：设，由复数相等12在中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .解：由余弦定理，原式13.已知函数,其中,为常数，则方程的解集为 .解：由题意知所以，所以解集为。14.已知函数,等差数列的公差为.若,则 .解：依题意，所以15.观察下列等式：可以推测，当2（）时， .解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数（）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.解：（）（）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为17.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,试求a,b的值.解：（）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.或即为所求.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.解：（）证明：如右图，过点在平面内作于，则由平面侧面,且平面侧面，得平面. 又平面,所以.因为三棱柱是直三棱柱,则底面，所以.又，从而侧面，又侧面，故.（）解法1：连接，则由()知就是直线与平面所成的角，就是二面角的平面角，即，.于是在中，, 在，由，得又所以解法2：由()知，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则 ，于是设平面的一个法向量为则由得可取于是与的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由，得 即又所以19.（本小题满分13分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.解：（）解法1：以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，依题意得曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则，曲线的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得.曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由 解得, 曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线C的方程并整理得.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 设，则由式得，,于是而原点O到直线l的距离，若面积不小于2,即，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为 解法2：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线的方程并整理，得 直线l与双曲线C相交于不同的两点. 设则由式得 当E、F在同一支上时（如上左图所示），当E、F在不同支上时（如上右图所示）.综上得于是由及式，得若OEF面积不小于2 综合、知，直线l的斜率的取值范围为20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.解：（）当时，化简得,解得，或，又，故.当时，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.() 由()知：的最大值只能在（4，10）内达到.由 令，解得(舍去).当变化时，与的变化情况如下表：(4,8)8(8,10)+0-极大值由上表，在t8时取得最大值(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.(本小题满分14分)已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解：（）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即 矛盾.所以an不是等比数列.() 解：因为又 所以当，此时不是等比数列；当时，由上可知，(nN