函数的最值与导数.ppt

3.3.3函数的最大（小）值与导数,2,f(x)0,f(x)0,一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有,则为常数函数.,设函数y=f(x)在某个区间（a,b)内可导，,f(x)在这个区间内单调递增,f(x)在这个区间内单调递减,复习,3,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,4,三、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f(x)（3）求方程f(x)=0的根（4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,左正右负极大值，左负右正极小值,5,但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上哪个值最大，哪个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值。,那么，函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新课引入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。,6,观察区间a.b上函数y=f(x)的图像,你能找出它的极大值、极小值吗？,观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。,7,探究你能找出函数y=f(x)在区间a,b上的最大值、最小值吗？,8,结论,一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,所以，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。,9,f（x）=,X（0x2）,0（x=2）,2,0,注意,1、给定函数的区间必须是闭区间。f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。,2、在闭区间上的每一点都必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值。,10,判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个；2、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；,真,假,真,11,“最值”与“极值”的区别和联系,（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性,（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；,（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,（4）若连续函数在区间（a,b)内只有一个极值，则极大值就是最大值，极小值就是最小值。,12,-,+,4,1,极小值-4/3,因此，函数f(x)在区间0,3内的最大值是4，最小值是-4/3,例题讲解,13,(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.,求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值（极大值或极小值）；,总结,14,练习1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间-1，4内的最大值和最小值,解:f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x4=0，,得x=2,-,+,8,3,故函数f(x)在区间-1，4内的最大值是8，最小值是-1,极小值-1,15,若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。,16,17,18,一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数,求函数最值的一般方法,小结：,19,知识要点：,函数的最大与最小值,设y=f(x)是定义在区间a,b上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间a,b上的最大最小值,可分两步进行:,求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;,将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为