拉普拉斯变换的数学方法.ppt

2020/6/2,1,控制工程理论基础,第二章拉普拉斯变换的数学方法,2020/6/2,2,提纲,2.1复数和复变函数2.2拉氏变换与反拉氏变换的定义2.3典型时间函数的拉氏变换2.4拉氏变换的性质2.5拉氏反变换的数学方法2.6用拉氏变换解常微分方程,2020/6/2,3,拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。,时域的微分方程复数域的代数方程系统分析大为简化直接在频域中研究系统的动态性能,拉氏变换,2020/6/2,4,引言复数和复变函数,（1）复数的概念其中，均为实数。为虚单位。（2）复数的表示法点表示法向量表示法三角函数表示法指数表示法,2020/6/2,5,引言复数和复变函数,（3）复变函数的概念为自变量。,2020/6/2,6,例：,2020/6/2,7,当sz1,zm时，G(s)=0，则称z1,zm为G(s)的零点；当sp1,pm时，G(s)=，则称p1,pm为G(s)的极点。,2020/6/2,8,2.2拉氏变换与拉氏反变换的定义,1、拉氏变换,有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作：Lf(t)或F(s)，并定义为：,(21),f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：,该条件使得积分绝对值收敛。,2020/6/2,9,2.2拉氏变换与拉氏反变换的定义,2、拉氏反变换,已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t)的过程称作拉氏反变换，记作：,定义为如下积分：,其中：s为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。,(22),2020/6/2,10,2.3典型时间函数的拉氏变换,1单位阶跃函数定义为：,单位阶跃函数的拉氏变换为：,2020/6/2,11,2.3典型时间函数的拉氏变换,2单位脉冲函数定义为：,单位脉冲函数的重要性质：,单位脉冲函数的拉氏变换为：,2020/6/2,12,2.3典型时间函数的拉氏变换,3单位斜坡函数定义为：,单位斜坡函数的拉氏变换为：,2020/6/2,13,2.3典型时间函数的拉氏变换,4指数函数定义为：,指数函数的拉氏变换为：,2020/6/2,14,2.3典型时间函数的拉氏变换,5正弦函数用欧拉公式表示为：,其拉氏变换为：,6余弦函数用欧拉公式表示为：,其拉氏变换为：,2020/6/2,15,2.3典型时间函数的拉氏变换,7幂函数（作业）,其拉氏变换为：,例：,常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。,2020/6/2,16,2.4拉氏变换的性质,1.线性性质线性变换,(2-3),2020/6/2,17,2.4拉氏变换的性质,2.实数域的位移定理延时定理,(2-4),其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：,2020/6/2,18,例2.3图210所示方波的拉氏变换。,图示方波函数表达为：,利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：,2020/6/2,19,例2.4求图211所示三角波的拉氏变换。,图示三角波函数表达为：,利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：,2020/6/2,20,2.4拉氏变换的性质,3.周期函数的拉氏变换,设f(t)是以T为周期的周期函数，即：,则f(t)的拉氏变换为：,2020/6/2,21,2.4拉氏变换的性质,4.复数域位移定理(也称衰减定理),2020/6/2,22,2.4拉氏变换的性质,5.相似定理（也称尺度定理）,2020/6/2,23,2.4拉氏变换的性质,6.微分定理,7.积分定理,2020/6/2,24,Back,8终值定理,2020/6/2,25,Back,9初值定理,2020/6/2,26,2.4拉氏变换的性质,10.tf(t)的拉氏变换,11.f(t)/t的拉氏变换,2020/6/2,27,2.4拉氏变换的性质,12.卷积定理,函数f(t)和g(t)的卷积定义为：,拉氏变换的卷积定理：若函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：,其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时，f(t)=g(t)=0,2020/6/2,28,1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。,2.5拉氏反变换的数学方法,2020/6/2,29,2.5拉氏反变换的数学方法,拉氏反变换的数学方法有：(1)查表法简单象函数；(2)有理函数法需要复变函数的留数定理；(3)部分分式法复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数；(4)利用MATLAB求解。,2020/6/2,30,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：,2020/6/2,31,1.部分分式法求原函数,2020/6/2,32,2020/6/2,33,2020/6/2,34,2020/6/2,35,2020/6/2,36,2020/6/2,37,2020/6/2,38,2020/6/2,39,2.使用MATLAB函数求解原函数,利用MATLAB中的函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数格式：r,p,k=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部分分式展开项中的残差、极点和直接项。b,a=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式,2020/6/2,40,Forexample:,Num=10*12;%定义分子多项式Den=poly(-1;-3;-4)；%定义分母多项式res,poles,k=residue(num,den)；展开num/den残差、极点和直接项分别为：Res=-6.6667;5.0000;1.6667Poles=-4;-3;-1K=;Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x3+8x2+19x+12,2020/6