三角函数的周期性PPT精选文档

三角函数的周期性,2,今天是星期几？今年的平安夜是星期几?2007年的元旦是星期几?如果有一个函数称为h(x)week(x)，你认为这个函数有怎样的特征？前面我们还研究了三角函数f(x)sinx和g(x)cosx，正弦函数和余弦函数也有类似的特征吗？,由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加（或减少）2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sinx，cos(2x)cosx正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性,若记f(x)sinx，则对于任意xR，都有f(x+2)=f(x)思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？,一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期,周期函数的定义,思考1：周期函数的图象具有什么特征？,思考,思考2：正弦函数、余弦函数除了2以外还有其它的周期吗？,易知2是正弦函数和余弦函数的周期，且4，6，以及2，都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2k(k且k)都是这两个函数的周期,思考,思考3：一个周期函数的周期有多少个？,1.若T为函数f(x)的一个周期，则kT（k0）也为f(x)的周期.2.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期3.如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期,思考,思考4：观察单位圆中正弦线的变化，你能看出正弦函数的最小正周期吗？,动画,正弦函数的最小正周期是2；余弦函数的最小正周期是2,思考,证明：假设T是正弦函数的周期,且0T2,则对任意实数x都有:,令x=0,得,即,从而对任意实数x都应有,这与,矛盾.,因此,正弦函数没有比小的正周期.,又0T2,故T=,探究1:证明正弦函数没有比2小的正周期.,探究,探究2：函数f(x)=3是周期函数吗？有最小正周期吗？注意：周期函数不一定有最小正周期.,探究,探究3：观察正切线并回答：正切函数是否为周期函数？若是周期函数，其周期为多少？,动画,注：正切函数是最小正周期为的周期函数.,探究,例1.若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期；(2)求t=10s时钟摆的高度解(1)由图象可知,该函数的周期为1.5(2)设h=f(t)，由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)=f(1+61.5)=f(1)=20,故t=10s时钟摆的高度为20mm,图象法求周期.,运用,例2.求下列函数的周期.(1)f(x)=cos2x；(2).,运用,1.一般地，函数y=Asin(x)及y=Acos(x)（其中A，为常数，且，）的周期为.,心得,2.已知，为常数，且A0，0，若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(x)的周期为.,心得,1.一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?参考答案：无数个，重复性,练习,2.已知函数,使f(x)的周期在(2/3,4/3)内,则正整数k的最小值和最大值分别是多少?解：函数f(x)的最小正周期为，故，得，又k为正整数，故k的最小值为15，最大值为28.,练习,3.判断下列说法是否正确,并简述理由：(1)时，,则一定不是函数y=sinx的周期；,正确,(2)时，,则一定是函数y=sinx的周期,不正确，因为在x=7/6时成立,并不能保证对任意的x都有成立,如x=0时，就不成立.,练习,4.求下列函数的周期：(1)y=2cos3x；(2),5若函数的最小正周期为，则正数k=,练习,6.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：（）求该函数的周期；（）求t10.5时