简单计数问题.pptx

排列组合的综合应用,梧州一中左惠名,解决排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,回目录,【分析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.,一、分类加法和分步乘法,二、重排问题求幂策略-“住店法”,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例1.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）,A.B.C.AD.C,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？,用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,回目录,A,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）,练习,回目录,三、多排问-“直排策略”,例2.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,回目录,10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为()A.C2755B.C27A22C.C2725D.C27A35,练习,回目录,解析：从后排7人选2人有C种方法，把这两人的一个插入前排有4种方法把另一人再插入前排有5种方法，根据分步乘法计算原理，共有C45C种调整方案答案：C,四、分组分配问题,例3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）一人得一本，一人得两本，一本得三本；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）平均分成三堆.,（1）先从六本书中任取一本作为一堆，有C16种取法，再从剩下的五本书中任取两本作为一堆，有C25种取法，最后从剩下的三本书中取出三本作为一堆，有C33种方法。所以，共有C16C25C33=60种。,（3）三个人一个一个地取书，甲从六本不同的书中任取出两本的方法C26，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的四本书中取两本书后，有C24种方法，丙从余下的两本书中取两本，有C22种方法，所以一共有C26C24C22=90,（2）在（1）中，分成三堆的方法有C16C25C33=60种，但每一种分组方法又有A33种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一本得三本的方法有C16C25C33A33=360种.,平均分组问题“除法策略”,（4）解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。,回目录,五、排列组合的综合应用-先选后排原则的应用,例4：现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（1）恰有1个空盒，有几种放法？（2）恰有2个空盒，有几种放法？,（1）第一步，先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法。再把取出的2个小球与另外两个小球看作三堆；第二步，把这三堆小球分别放入3个盒子中，有A34种放法。根据分步乘法计数原理，共有C24A34=144种放法,（2）恰有两个空盒，也就是把4个不同的小球只放入两个盒子中，有两类放法,第一类：1个盒子放3个小球，1个盒子放1个.先把小球分组，有C34种，再放入2个盒子中有A24，共有C34A24放法。,第二类：2个盒子分别放2个小球。先把小球分组，有C24种，再放入2个盒子中有C24，共有C24C24C22种放法