等腰三角形判定定理及其应用.pptx

第15章,轴对称图形与等腰三角形,（单元复习）,授课班级：163,授课教师：周剑平,2018.1.11,专题一：轴对称与轴对称图形,轴对称图形：,如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.,轴对称：,平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称.,轴对称的性质：,如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.,轴对称的性质：,如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.,典型例题,例1：如图，ABC与DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是()A.AB/DFB.BEC.ABDED.AD的连线被MN垂直平分,A,例2：如图，对折长方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，将纸展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，折痕AM与EF交于点N，展平纸片后DAG的大小为()A.30B.45C.60D.75,C,专题二：线段的垂直平分线,性质定理：,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,性质定理的逆定理（判定定理）：,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,典型例题,例3：如图，ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，ADE的周长为6cm.(1)求BC的长；,解：,l1、l2相分别是线段AB、AC的垂直平分线,BDAD、AECE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）,BDDECE6,CADEADDEAE6,即：BC6(cm),(2)分别连接OA、OB、OC，若OBC的周长为16cm，求OA的长.,解：,l1、l2相分别是线段AB、AC的垂直平分线,OAOB、OAOC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）,BC6,COBCOBBCOC16,OBOC16610,OBOC5,OA5(cm),OAOBOC,例4：如图，ABC中，ABAC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BPCQ，BQCR.求证：点Q在PR的垂直平分线上.,分析：,要证得点Q在PR的垂直平分线上，只需证得PQRQ.由“ABAC”可知BC，结合条件“BPCQ，BQCR”可证得BPQCQR.,证明：,ABAC,BC（等边对等角）,在BPQ和CQR中：,BPCQ（已证）,BC（已证）,BQCR（已证）,BPQCQR（SAS）,PQRQ（全等三角形的对应边相等）,点Q在PR的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）,专题三：等腰三角形,性质定理：,(1)等腰三角形的两底角相等（等边对等角）.,(2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边（“三线合一”）.,判定定理：,(1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.,(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,典型例题,例5：已知：ABC中，ABAC.(1)如图，点O在BC边上，且OBOC，过O作ODAB于点D，作OEAC于点E.求证：ODOE.,分析：,由条件可知，ODAB，OEAC，只需证得点O在BAC的平分线上，即可利用角平分线的性质证得ODOE.故应先利用条件ABAC，OBOC，根据“三线合一”证得AO平分BAC.,证明：,ABAC，OBOC,AO平分BAC（“三线合一”）,（如图）连接OA.,ODAB，OEAC,ODOE（角平分线上的点到角两边的距离相等）,(2)如图，点O在ABC的内部，且OBOC，过O作ODAB于点D，作OEAC于点E.ODOE还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由.,分析：,同(1)，可利用角平分线的性质证得ODOE.只是该题应先利用条件ABAC，OBOC，根据“线段垂直平分线的性质”证得AO垂直平分BC，再根据“三线合一”证得AO平分BAC.,证明：,ABAC，OBOC,点A、点O都在BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）,（如图）连接OA.,ODAB，OEAC,ODOE（角平分线上的点到角两边的距离相等）,AO是BC的垂直平分线（两点确定一条直线）,ABAC,AO平分BAC（“三线合一”）,(3)如图，点O在ABC的外部，且OBOC，过O作ODAB于点D，作OEAC于点E.ODOE还成立吗？请直接回答是否成立，不需要说明理由.,分析：,同(2)，可利用角平分线的性质证得ODOE.只是该题应先利用条件ABAC，OBOC，根据“线段垂直平分线的性质”证得AO垂直平分BC，再根据“三线合一”证得AO平分BAC.因而结论ODOE还成立.,答：,ODOE还成立.,例6：已知：ABC中，ABAC如图，在ABC中，AD平分BAC，BDAD于点D，过点D作DE/AC，交AB于点E.求证：BDE是等腰三角形.,分析：,先证EADEDA，再证EBDBDE，利用等腰三角形的判定定理（等角对等边）即可解决问题.,证明：,AD平分BAC,EADCAD,DE/AC,EDACAD（两直线平行，同位角相等）,EADEDA（等量代换）,BDAD,ADB90,EBDEAD90（直角三角形两锐角互余）BDEEDA90,EBDBDE（等角的余角相等）,DEBE（等角对等边）,BDE是等腰三角形,专题四：等边三角形,性质定理：,等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60.,判定定理：,(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形.,(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.,(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,典型例题,例7：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AEBD.(1)当点E为AB的中点时，如图.求证：ECED.,分析：,证明：,EDBECB,AEBE，ABC60,在等边三角形ABC中，点E为AB的中点,AEEBBD,ECED,(2)当点E不是AB的中点时，如图，过点E作EF/BC.求证：AEF是等边三角形.,分析：,根据平行线的性质证得AEFABC60，AFEACB60，即可证得结论.,证明：,AEFABC60，AFEACB60,EF/BC,AEFAFE60,A60,AEFAFEA60,AEF为等边三角形,专题五：角平分线,性质定理：,角平分线上的点到角两边的距离相等.,判定定理：,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.,典型例题,例8：如图，已知AD是BAC的角平分线，DFAB于F，DEAC于E.求证：AEAF，AD平分EDF.,分析：,由AD是BAC的角平分线，DFAB，DEAC易得ADEADF，即AD平分EDF，然后由角平分线的性质，可证得AEAF.,证明：,DFAB，DEAC,AFDAED90,AEAF（角平分线上的点到角两边的距离相等）,FADFDA90EADEDA90（直角三角形的两个锐角互余）,AD平分BAC,EADFAD,FDAEDA（等角的余角相等）,AD平分EDF,专题六：含30角的直角三角形,含30角的直角三角形的性质揭示了直角三角形中30角所对的边与斜边之间的关系，常用来求线段的长度或证明线段之间的倍分关系.,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,典型例题,例9：如图，在ABC中，ABAC，BAC120，P为BC的中点，PDAC于D.求证：CD3AD.,分析：,连接AP，根据等腰三角形“三线合一”.的性质可得APBC，根据等腰三角形两底角相等求出C30，再求出APDC30，然后根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得AP2AD，AC2AP，即可得出结论.,证明：,ABAC，P为BC的中点,PDAC,BAC120,APBC（“三线合一”）,（如图），连接AP.,CPDC90,APDCPD90,APDC30,APDC30,AP2AD，AC2AP,AC4AD,CDACAD4ADAD3AD,CD3AD,典型例题,例9：如图，在ABC中，ABAC，BAC1