大学物理(上册—第三版—修订版)课后习题答案

大学物理(上册第三版修订版)课后习题答案 习题9 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷 1q212cos30?4?0a24?0 qq?(2 a)3 解得q? 3q 3 (2)与三角形边长无关 题9.3图题9.4图 9.4 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题9.4图所示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不 解: 如题9.4图示 Tcos?mg? ? q2 ?Tsin?F?1 e ?4?0(2lsin?)2? 解得 q?2lsin?4?0mgtan? 9.5 根据点电荷场强公式E? q4?0r2 ，当被考察的场点距源点电荷很近(r0)时， 则场强，这是没有物理意义的，对此应如何理解 ? ? 解: E? q4?0r2 ? r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再 用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大 1 9.6 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q则这两板之间有相互作用力f，有人说f= q24?0d 2 ,又有人说，因为 qq2 ，所以f=试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于f=qE,E?0S?0S 多少? 解: 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E? q 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对?0S q2?0S 的正确解答应为一个板的电场为E?，另一板受它的作用力 q2 ，这是两板间相互作用的电场力 f?q? 2?0S2?0S q 9.7 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9Cm-1 荷试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处 Q 解： 如题9.7图所示 (1) 在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为dEP? 1?dx 2 4?0(a?x) ? EP?dEP? 4?0 ? l2l?2 dx 题9.7图 2 (a?x) ? ?1? ll4?0 a?a? 2 2 1 ? ? l ?0(4a2?l2) 2 用l?15cm，?5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得 EP?6.74?102N?C?1方向水平向右 (2) dEQ? 1?dx 方向如题9.7图所示 22 4?0x?d2 ? 由于对称性?dEQx?0，即EQ只有y分量， l dEQy 1?dx? 4?0x2?d22 d2x?d 2 2 2 EQy?dEQy l d?24?2 ? l2l?2 dx(x2?d22) 3 2 ? ?l 2?0l?4d 2 22 以?5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得 EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向 9.8 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强 解: 如9.8图在圆上取dl? Rd? 题9.8图 dq?dl?R?d?，它在O点产生场强大小为 dE? ?Rd? 方向沿半径向外 4?0R2 则 dEx?dEsin? ? sin?d? 4?0R ? cos?d? 4?0R 3 dEy?dEcos(?)? 积分Ex? ? ? sin?d? 4?0R2?0R Ey? ? ? cos?d?0 4?0R E?Ex? ? ，方向沿x轴正向 2?0R 9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r?l处，它相当于点电荷q产生的场强 E 解: 如9.9图示，正方形一条边上电荷 ?q 在P点产生物强dEP方向如图，大小为 4 dEP? ?cos?1?cos?2? 4?0r2? lr2? l2 2 l4 2 cos?1? cos?2?cos?1 dEP? ? 4?0r2? l4 2 lr2? l2 2 ? dEP在垂直于平面上的分量dE?dEPcos? dE? ?l 4?0r2? l4 2 r r2? l2 2 r2? l4 2 4 题9.9图 由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为 EP?4?dE? 4?lr 4?0(r2? ll)r2?42 2 2 ? EP? q 4l qr 4?0(r2? ll)r2?42 2 2 方向沿OP 9.10(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上， 这时穿过立方体各面的电通量是多少? ?q 解: (1)由高斯定理E?dS? s ?0 立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 各面电通量?e? q 6?0 (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e? q 6?0 q ， 24?0 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0 如题9.10图所示 题9.10 图 9.11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为210?5Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强 5 第一章 运动的描述 与 有无不同? 1-1 和有无不同? 和有无不同?其不同 在哪里?试举例说明 解：（1） 是位移的模，是位矢的模的增量， 即，（2） 是速度的模，即. 只是速度在径向上的分量. 有（式中叫做单位矢），则 式中就是速度径向上的分量， 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量. 有 表轨道节线方向单位矢），所以 式中就是加速度的切向分量. ( 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) ； 1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r，然后根据 =，及计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 而求得结果；又有人先 =及 = 你认为两种方法哪一 种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确. 因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ， 故它们的模即为 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速 度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加 速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在 平面上运动，运动方程为 =3+5, = 2 +3-4. 式中以 s计，,以m计(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算0 s时刻到4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算4 s 时质点的速度；(5)计算0s 到4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 解：（1） (2)将 , 代入上式即有 (3) (4) 则 (5) (6) 这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以 (m )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知 将上式对时间求导，得 题1-4图根据速度的定义，并注意到, 是随减少的， 即 或 将再对求导，即得船的加速度 1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 2+6的单位为 m. 质点在0处，速度为10值 ，的单位为， ,试求质点在任何坐标处的速度 解： 分离变量： 两边积分得 由题知， 时， , 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 5 m， =0，求该质点在10s 时的速度和位置 ，开始运动时， 解： 分离变量，得 积分，得 由题知， , , 故 又因为 分离变量， 积分得 习题一 drdrdvdv 1-1 ?r与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试 举例说明 ?r?r?r?r?r?r2?r1； 21，解：（1）是位移的模，?r是位矢的模的增量，即 drdrds ?v?dt （2）dt是速度的模，即dt. dr dt只是速度在径向上的分量. ?drdrdr?r?r ?（式中r?叫做单位矢）dt 有r?rr，则dtdtdr 式中dt就是速度径向上的分量， drdr与dtdt不同如题1-1图所示. 题1-1图 ?dv?dvdva? dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即 ?v?v?(?表轨道节线方向单位矢）有，所以 ?dvdv?d?vdtdtdt dv 式中dt就是加速度的切向分量. ?d?dr?与 dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt 1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 d2rdr 222x?y出r，然后根据v=dt，及adt而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 ?d2x?d2y?dx?dy?dt2?dt2? dtdt?va=及= 2 2 22 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ ? r?xi?yj，解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ? ?drdx?dy?v?i?j dtdtdt? ?d2rd2x?d2y?a?2?2i?2j dtdtdt 故它们的模即为 ?dx?dy?22 v?vx?vy? ?dt?dt? 2 22 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 ?d2x?d2y?22 a?ax?ay?dt2?dt2? ? dr v? dt d2ra?2 dt 2 drd2rdr与2 dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，其二，可能是将dt d2r2 而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中 2 ?d2r?d? ?a径?2?r? ?dtdt?。的一部分?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即 ? 量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为 式中t以 s计，x,y以m计(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t0 s时刻到t4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t4 s 时质点的速度；(5)计算t0s 到t4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 1 x=3t+5, y=2t2+3t-4. ?1? r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j 2m 解：（1） (2)将t?1,t?2代入上式即有 ? r1?8i?0.5j m ? r2?11j?4jm ? ?r?r2?r1?3j?4.5jm ? r?5j?4j,r4?17i?16j (3)0 ?r?r12i?20j?r ?40?3i?5jm?s?1 ?t4?04 ?drv?3i?(t?3)jm?s?1 dt(4) ?v?3i?7j m?s?1 则 4 ? v?3i?3j,v4?3i?7j (5) 0 ?vv4?v04?1jm?s?2 ?t44 ?dv a?1jm?s?2 dt(6) 这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以 v0(m2s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 222 l?h?s 将上式对时间t求导，得 dlds? 2s dt dt 根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， dldsv绳?v0,v船? dtdt 2l 题1-4图 vdsldll?v0?0dtsdtscos? 即 lv0(h2?s2)1/2v0 v船? ss或 v将船再对t求导，即得船的加速度 v船? dlds ?ldv?v0s?lv船 a?船?2v0?v0 2 dtss l22 (?s?)v02 h2v0s?3 s2s ?22 1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6x，a的单位为m?s，x的单位 s 为 m. 质点在x0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值 ?1 dvdvdxdv?vdtdxdtdx 解： 2 ?d?adx?(2?6x)dx 分离变量： a? 12 v?2x?2x3?c 两边积分得2 v?10,c?50 由题知，x?0时，0 3?1 v?2x?x?25m?s ?2 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3tm?s，开始运动时，x5 m，v=0，求该质点在t10s 时的速度和位置 dv ?4?3tdt 解： 分离变量，得dv?(4?3t)dt a? 3 v?4t?t2?c1 2积分，得 v?0,c1?0 由题知，t?0,0 32t2故 dx3v?4t?t2 dt2 又因为 3 dx?(4t?t2)dt 2分离变量， 1 x?2t2?t3?c2 2积分得 v?4t? x?5,c2?5 由题知 t?0,0 x?2t2? 故 所以t?10s时 13 t?52 3 ?102?190m?s?121 x10?2?102?103?5?705m 2 3 1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒 v10?4?10? 计，求：(1) t2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少? 解： ? d?d