2016年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1直线 x=1 的倾斜角是（ ） A 0 B C D不存在 2过圆（ x 1） 2+ 的圆心，且与直线 x 2y 2=0 垂直的直线方程是（ ） A x 2y 1=0 B x 2y+1=0 C 2x+y 2=0 D x+2y 1=0 3设集合 A=x|3x 0， B=x|x| 2，则 AB=（ ） A x|2 x 3 B x| 2 x 0 C x|0 x 2 D x| 2 x 3 4设 f（ x） =3x+3x 8，用二分法求方程 3x+3x 8=0 在 x （ 1， 2）内近似解的过程中得 f（ 1） 0， f（ 0， f（ 0，则方程的根落在区间（ ） A（ 1， B（ C（ 2） D不能确定 5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B C D 6直线 y+1=3k，当 k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A（ 0， 0） B（ 0， 1） C（ 3， 1） D（ 2， 1） 7将函数 f（ x） =图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x），则 g（ x）具 有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递增，为奇函数 C在（ ， ）上单调递增，为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 8已知 A， B 分别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 是双曲线 斜率分别为 k1+取值范围为（ ） 第 2 页（共 20 页） A（ ， +） B（ ， +） C ， +） D ， ） 9执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 15 B 21 C 24 D 35 10函数 y=x2+x 在 x=1 到 x=1+ x 之间的平均变化率为（ ） A x+2 B 2 x+（ x） 2 C x+3 D 3 x+（ x） 2 11已知 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 l ， m ，则 l m B若 l m， m ，则 l C若 l ， m ，则 l m D若 l m， l ，则 m 12已知函数 y=f（ x）（ x R）满足 f（ x+2） =2f（ x），且 x 1， 1时， f（ x） = |x|+1，则当 x 10， 10时， y=f（ x）与 g（ x） =x|的图象的交点个数为（ ） A 13 B 12 C 11 D 10 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13 m= 1 是直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直的 _（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件） 14已知正数 x、 y，满足 + =1，则 x+2y 的最小值 _ 15若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 _ 16已知函数 ，给出下列结论： 函数 f（ x）的值域为 ； 函数 g（ x）在 0， 1上是增函数； 对任意 a 0，方程 f（ x） =g（ x）在 0， 1内恒有解； 第 3 页（共 20 页） 若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分其中 17必考题， 22选做题；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17在数列 ， ， ， an+1=0（ n 2，且 n N*） （ 1）若数列 +等比数列，求实数 ； （ 2）求数列 前 n 项和 18现对某市工薪阶层关于 “楼市限购令 ”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入的频数分布及对楼市 “楼市限购令 ”赞成人数如下表 月收入（单位百元） 15，25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65） 65，75） 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 5 2 1 （ ）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为 “月收入以 5500 为分界点对 “楼市限购令 ”的态度有差异； 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 赞成 a=_ c=_ _ 不赞成 b=_ d=_ _ 合计 _ _ _ （ ）若对在 15， 25）， 25， 35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4人中不赞成 “楼市限购令 ”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 19如图，在四棱锥 P ， E 在棱 ，且 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证： 平面 20已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其长轴的左右两个端点分别为 A， B，直线 l： y= x+m 交椭圆于两点 C， D （ ）求椭圆的标准方程； （ ）设直线 斜率分别为 ： 1，求 m 的值 21已知函数 f（ x） =x x+1） 第 4 页（共 20 页） （ 1）试探究函数 f（ x）在（ 0， +）上的极值； （ 2）若对任意的 x 1， 2， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 四 生在 22、 23、 24 三大题中任选一大题作答，满分 10 分 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 做 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ 1）求证： （ 2）求 F 的值 选修 4标系与参数方程 23以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 ，且点 A 在直线 l 上 （ 1）求曲线 极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设 l 向左平移 6 个单位后得到 l， l与 交点为 M， N，求 l的极坐标方程及 |长 选修 4等式选讲 24已知关于 x 的不等式 |x |+|x 1| （ a 0） （ 1）当 a=1 时，求此不等式的解集； （ 2）若此不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1直线 x=1 的倾斜角是（ ） A 0 B C D不存在 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 由于直线 x=1 与 x 轴垂直，即可得出直线的倾斜角 【解答】 解： 直线 x=1 与 x 轴垂直，因此倾斜角是 故选： C 2过圆（ x 1） 2+ 的圆心，且与直线 x 2y 2=0 垂直的直线方程是（ ） A x 2y 1=0 B x 2y+1=0 C 2x+y 2=0 D x+2y 1=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程 【分析】 设与直线 x 2y 2=0 垂直的直线方程是 2x+y+m=0，把圆心（ 1， 0）代入解得 【解答】 解：设与直线 x 2y 2=0 垂直的直线方程是 2x+y+m=0， 把圆心（ 1， 0）代入可得 2+0+m=0， 解得 m= 2 要求的直线方程为： 2x+y 2=0 故选： C 3设集合 A=x|3x 0， B=x|x| 2，则 AB=（ ） A x|2 x 3 B x| 2 x 0 C x|0 x 2 D x| 2 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由题意可知 A=x|0 x 3， B=x| 2 x 2， AB=x|0 x 2 故选： C 4设 f（ x） =3x+3x 8，用二分 法求方程 3x+3x 8=0 在 x （ 1， 2）内近似解的过程中得 f（ 1） 0， f（ 0， f（ 0，则方程的根落在区间（ ） A（ 1， B（ C（ 2） D不能确定 【考点】 二分法求方程的近似解 【分析】 由已知 “方程 3x+3x 8=0 在 x （ 1， 2）内近似解 ”，且具体的函数值的符号也已确定，由 f（ 0， f（ 0，它们异号 【解答】 解析： f（ f（ 0， 由零点存在定理，得， 方程的根落在区间（ 故选 B 第 6 页（共 20 页） 5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状，求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案 【解答】 解：由图可知 该几何体是一个四棱锥 其底面是一个对角线为 2 的正方形，面积 S= 2 2=2，高为 1 则 V= = 故选 C 6直线 y+1=3k，当 k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A（ 0， 0） B（ 0， 1） C（ 3， 1） D（ 2， 1） 【考点】 过两条直线交点的直线系方程 【分析】 将直线的方程变形为 k（ x 3） =y 1 对于任何 k R 都成立 ，从而有 ，解出定点的坐标 【解答】 解：由 y+1=3k 得 k（ x 3） =y 1 对于任何 k R 都成立，则 ， 解得 x=3， y=1， 故直线经过定点（ 3， 1），故选 C 7将函数 f（ x） =图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x），则 g（ x）具有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递增，为奇函数 第 7 页（共 20 页） C在（ ， ）上单调递增，为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据诱导公式、函数 y=x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式，再利用正 弦函数的图象性质得出结论 【解答】 解：将函数 f（ x） =图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x） =x ） =图象， 故当 x （ 0， ）时， 2x （ 0， ），故函数 g（ x）在（ 0， ）上单调递增，为奇函数， 故 选： B 8已知 A， B 分别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P 是双曲线 斜率分别为 k1+取值范围为（ ） A（ ， +） B（ ， +） C ， +） D ， ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 A（ a， 0）， B（ a， 0），设 P（ m， n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得 ， 0，再由基本不等式即可得到 k1+取值范围 【解答】 解：由题意可得 A（ a， 0）， B（ a， 0），设 P（ m， n）， 可得 =1，即有 = ， 可得 = = ， 0， 则 k1+2 = ， 由 A， B 为左右顶点，可得 则 k1+， 故选： A 9执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） 第 8 页（共 20 页） A 15 B 21 C 24 D 35 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1 T=3， S=3， i=2 不满足 i 4， T=5， S=8， i=3 不满足 i 4， T=7， S=15， i=4 不满足 i 4， T=9， S=24， i=5 满足 i 4，退出循环，输出 S 的值为 24 故选： C 10函数 y=x2+x 在 x=1 到 x=1+ x 之间的平均变化率为（ ） A x+2 B 2 x+（ x） 2 C x+3 D 3 x+（ x） 2 【考点】 变化的快慢与变化率 【分析】 直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解 【解答】 解： y=（ 1+ x） 2+1+ x 1 1= x， = x+3， 故选： C 11已知 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 l ， m ，则 l m B若 l m， m ，则 l C若 l ， m ，则 l m D若 l m， l ，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答 【解答】 解：对于 A，若 l ， m ，则 l 与 m 的位置关系可能为平行、相交或者异面；故 A 错误； 对于 B，若 l m， m ，则 l 与 平行或者相交；故 B 错误； 对于 C，若 l ， m ，利用线面创造的性质可得 l m；故 C 正确； 对于 D，若 l m， l ，则 m 或者 m；故 D 错误； 第 9 页（共 20 页） 故选 C 12已知函数 y=f（ x）（ x R）满足 f（ x+2） =2f（ x），且 x 1， 1时， f（ x） = |x|+1，则当 x 10， 10时， y=f（ x）与 g（ x） =x|的图象的交点个数为（ ） A 13 B 12 C 11 D 10 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用；函数的图象 【分析】 在同一坐标系中画 出函数 f（ x）与函数 y=x|的图象，结合图象容易解答本题 【解答】 解：由题意，函数 f（ x）满足： 定义域为 R，且 f（ x+2） =2f（ x），当 x 1， 1时， f（ x） = |x|+1； 在同一坐标系中画出满足条件的函数 f（ x）与函数 y=x|的图象，如图： 由图象知，两个函数的图象在区间 10， 10内共有 11 个交点； 故选： C 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13 m= 1 是直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直的 充分条件 （充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由题设条件，可分两步研究本题，先探究 m= 1 时直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 互相垂直是否成立，再探究直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 互相垂直时 m 的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案 【解答】 解：当 m= 1 时，两直线的方程 2m 1） y+1=0，与 3x+=0，化为 x 3y+1=0 和 3x y+3=0， 可得出此两直线是垂直的， 当两直线垂直时， 当 m=0 时，符合题意， 第 10 页（共 20 页） 当 m 0 时，两直线的斜率分别是 与 ，由两直线垂直得得 m= 1， 由上知， “m= 1”可得出直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直； 由直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直 ”可得出 m= 1 或 m=0， 所以 m=1 是直线 2m 1） y+1=0 和直线 3x+=0 垂直的充分不必要条件 故答案为：充分条件 14已知正数 x、 y，满足 + =1，则 x+2y 的最小值 18 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性质即可求出 【解答】 解： 正数 x、 y，满足 + =1， x+2y= =10+ =18当且仅当 x 0， y 0， ，解得 x=12， y=3 x+2y 的最小值是 18 故答案为 18 15若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可 【解答】 解：画出可行域，目标函数 表示可行域内的点（ x， y）与点 D（ 2， 0）连线的斜率， 当其经过点 A（ 1， 2）时， 取到最大值为 故答案为： 第 11 页（共 20 页） 16已知函数 ，给出下列结论： 函数 f（ x）的值域为 ； 函数 g（ x）在 0， 1上是增函数； 对任意 a 0，方程 f（ x） =g（ x）在 0， 1内恒有解； 若存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立， 则实数 a 的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 当 时，利用 f（ x） = 单调递增，可得 当 x 时，函数 f（ x） = ，利用一次 函数的单调性可得 即可得到函数 f（ x）的值域 利用诱导公式可得 g（ x） = a 2a+2，利用余弦函数的单调性，进而得出 g（ x）在 0， 1上单调性 由 可知： g（ 0） g（ x） g（ 1），若任意 a 0，方程 f（ x） =g（ x）在 0， 1内恒有解， 则必须满足 f（ x）的值域 g（ x） |x 0， 1解出判定即可 存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则 解出即可 【解答】 解： 当 时， f（ x） = 单调递增， ，即 当 x 时，由函数 f（ x） = 单调递减， ，即 函数 f（ x）的值域为 因此 正确 第 12 页（共 20 页） g（ x） = a 2a+2， x 0， 1， ，因此 在 0， 1上单调递减， 又 a 0， g（ x） 在 0， 1上单调递增，因此正确 由 可知： g（ 0） g（ x） g（ 1）， 若任意 a 0，方程 f（ x） =g（ x）在 0， 1内恒有解， 则必须满足 f（ x）的值域 g（ x） |x 0， 1 3a+2 0， ，解得 ，因此 不正确； 存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则 由 可知： ， g（ x） g（ 0） = 3a+2， 3a+2 ， ，解得 ， 实数 a 的取值范围是 正确 综上可知：只有 正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分其中 17必考题， 22选做题；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17在数列 ， ， ， an+1=0（ n 2，且 n N*） （ 1）若数列 +等比数列，求实数 ； （ 2）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （ 1）设 +（ 1）， n 2，由已知条件得 ，由此能求出实数 （ 2）由已知条件推导出 ，由此能求出数列 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）设 +（ 1）， n 2， +（ ） 1=0， an+1=0， ，解得 或 = 3 第 13 页（共 20 页） 验证当 时，首项 ， = 3 时，首项 ，符合题意， 或 = 3 （ 2）由（ 1）得 ， ， 二者相减，并化简得 ， = 18现对某市工薪阶层关于 “楼市限购令 ”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入的频数分布及对楼市 “楼市限购令 ”赞成人数如下表 月收入（单位百元） 15，25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65） 65，75） 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 5 2 1 （ ）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为 “月收入以 5500 为分界点对 “楼市限购令 ”的态度有差异； 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 赞成 a= 3 c= 29 32 不赞成 b= 7 d= 11 18 合计 10 40 50 （ ）若对在 15， 25）， 25， 35）的被调查中各随机选取两 人进行追踪调查，记选中的 4人中不赞成 “楼市限购令 ”人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ I）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算 值，根据临界值表，即可得到结论； （ 题意随机变量 的可能取值是 0， 1， 2， 3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率分布列和期望值的公式进行求解即可 【解答】 解：（ ） 2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 月收入低于 55 百元人数 合计 赞成 a=3 c=29 32 不赞成 b=7 d=11 18 合计 10 40 50 所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对 “楼市限购令 ”的态度有差异 第 14 页（共 20 页） （ ） 所有可能取值有 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = + = ， P（ =2） = + = ， P（ =3） = = ， 所以 的分布列是 0 1 2 3 P 所以 的期望值是 +1 +2 +3 = 19如图，在四棱锥 P ， E 在棱 ，且 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证： 平面 【考点】 平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 出 平面 而平面 平面 （ 2）连结 O，连结 用三角形相似得出 = ，从而得到 出结论 【解答】 证明：（ 1） 面 面 B=B， 平面 又 面 平面 平面 （ 2）连结 O，连结 第 15 页（共 20 页） ， 又 ， 面 面 平面 20已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其长轴的左右两个端 点分别为 A， B，直线 l： y= x+m 交椭圆于两点 C， D （ ）求椭圆的标准方程； （ ）设直线 斜率分别为 ： 1，求 m 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆的离心率为 ，且过点 ，列出方程组，求出 a， b， c，由此能求出椭圆方程 （ 立方程 ，得 3mx+3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出 m 的值 【解答】 解：（ ）由题意得： ， 解得 ， 椭圆方程为 （ C（ D（ 第 16 页（共 20 页） 联立方程 ，得 3mx+3=0， 判别式 =（ 3m） 2 12（ 3） = 36 0，解得 12， 式的根， ， 由题意知 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， ： 1，即 ，得 ， 又 ， ，同理 ， 代入 式，解得 =4，即 10（ x1+32=0， 10（ m） +3+12=0，解得 m=1 或 m=9， 又 12， m=9（舍去）， m=1 21已知函数 f（ x） =x x+1） （ 1）试探究函数 f（ x）在（ 0， +）上的极值； （ 2）若对任意的 x 1， 2， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题 【分析 】 （ 1）求导得到 f（ x） = ，分类讨论，确定函数的单调性，即可探究函数 f（ x）在（ 0， +）上的极值； （ 2）设 g（ x） =f（ x） x=x+x 1）（ 1 x 2），求函数 g（ x）的导数 g（ x），根据 g（ x）在 1， 2单调递增、单调递减、在区间 1， 2存在极值三种情况进行讨论可得 g（ x）的最大值，令其小于等于 0 可得 a 的范围 【解答】 解：（ 1）求导得到 f（ x） = 若 a 1， f（ x） 0， f（ x）无极值； 若 a 1，则 0 x a 1， f（ x） 0， x a 1 f（ x） 0 则 x=a 1 时，得到极小值为 f（ a 1） =a 1 极大值； （ 2）设 g（ x） =f（ x） x=x+x 1）（ 1 x 2），则 g（ x） = ， 设 h（ x） =2x2+x+a 1则 h（ x）在 1， 2上单调递增， x 1， 2， a+2 h（ x） a+9 当 a 2 时， h（ x） 0， g（ x） 0，即 g（ x）在 1， 2上单调递增， 第 17 页（共 20 页） 要使不等式 g（ x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，即 g（ x） g（ 2） =2+0， a 又 a 2， 2 a 当 a 9 时， h（ x） 0， g（ x） 0，即 g（ x）在 1， 2上单调递减， 要使不等式 g（ x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，即 g（ x） g（ 1） =0， a 0 又 a 9， a 9 当 9 a 2 时，由 h（ x） =0，得 （ 1， 2） 当 1 x ， h（ x） 0， g（ x） 0； 当 x 2 时， h（ x） 0， g（ x） 0，即 g（ x）在 1， 单调递减，在（ 2上单调递增，要 使不等式 g（ x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，即 g（ x） g（ 1）， g（ 2） 0 又 g（ 1） =g（ 2） =2+ 9 a 2， 0 1， 1 g（ 1） =0， g（ 2） =2+2 20，即 g（ x） g（ 1）， g（ 2） 0， 9 a 2 时符合条件 综上所述，满足条件的 a 的取值范围是（ ， 四 生在 22、 23、 24 三大题中任选一大题作答，满分 10 分 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 做 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ 1）求证： （ 2）求 F 的值