2017-2018学年广东省广州市荔湾、广雅联考九年级（上）期中数学试卷

2017-2018学年广东省广州市荔湾、广雅联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个2（3分）若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为1，则a的值为（）A4B2C2D43（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）Ay=5（x+2）2+3By=5（x2）2+3Cy=5（x2）23Dy=5（x+2）234（3分）抛物线y=2x23的顶点在（）A第一象限B第二象限Cx轴上Dy轴上5（3分）如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则ADB的度数为（）A60B45C30D22.56（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A1000（1+x）2=1000+440B1000（1+x）2=440C440（1+x）2=1000D1000（1+2x）=1000+4407（3分）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）AM（1，3），N（1，3）BM（1，3），N（1，3）CM（1，3），N（1，3）DM（1，3），N（1，3）8（3分）如图，ABC的顶点均在O上，若A=36，则OBC的度数为（）A18B36C60D549（3分）如图，直线AB、CD、BC分别与O相切于E、F、G，且ABCD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A13B12C11D1010（3分）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D下列结论：2a+b=0；2c3b；当m1时，a+bam2+bm；当ABD是等腰直角三角形时，则a=；当ABC是等腰三角形时，a的值有3个其中正确的有（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）如图，将RtABC（B=25）绕点A顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于 12（3分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，O的半径为2，B=135，则的长 13（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分对应值如下表：x320135y708957则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y= 14（3分）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x22ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“”或“”号填空）15（3分）如图，是一个半径为6cm，面积为12cm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 cm16（3分）如图，在等边ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，CBE是由CAD旋转得到的以点C为圆心，以CN为半径作C与直线BE相交于P，Q两点，则PQ= cm三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）解下列方程：（1）2x25x+1=0（2）（x+4）2=2（x+4）18（10分）如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上一点，EAF=45将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，若AB=5，求ECF的周长19（12分）如图，在RtABC中，C=90（1）用直尺和圆规作图：作A的平分线交BC于D；作O，使得圆心O在AB上且圆经过点A、D（2）判断O与BC的位置关系，并证明你结论20（10分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是3750cm3，求原铁皮的边长21（10分）如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=6，BD=6（1）求AB的长（2）求弓形CBD的面积22（12分）已知关于x的一元二次方程x2（m3）xm=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x2=7，求m的值23（12分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？24（14分）在ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是BDC的内心，E、F分别为O与边BD、DC的切点，设BD=BC（1）求证：AEEF，AEDO；（2）若AC=6，O的半径为1，求AE的长25（14分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由2017-2018学年广东省广州市荔湾、广雅联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形则既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个故选：C2（3分）若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为1，则a的值为（）A4B2C2D4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+a=0得13+a=0，解得a=2故选：C3（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）Ay=5（x+2）2+3By=5（x2）2+3Cy=5（x2）23Dy=5（x+2）23【分析】先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3故选：A4（3分）抛物线y=2x23的顶点在（）A第一象限B第二象限Cx轴上Dy轴上【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点坐标的特点，直接写出顶点坐标，再判断顶点位置【解答】解：由y=2x23得：抛物线的顶点坐标为（0，3），抛物线y=2x23的顶点在y轴上，故选：D5（3分）如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则ADB的度数为（）A60B45C30D22.5【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到ADB的度数【解答】解：正六边形ABCDEF内接于圆O的度数等于3606=60ADB=30故选：C6（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A1000（1+x）2=1000+440B1000（1+x）2=440C440（1+x）2=1000D1000（1+2x）=1000+440【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，1000（1+x）2=1000+440，故选：A7（3分）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）AM（1，3），N（1，3）BM（1，3），N（1，3）CM（1，3），N（1，3）DM（1，3），N（1，3）【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答【解答】解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），M（1，3）；A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），N（1，3）故选：C8（3分）如图，ABC的顶点均在O上，若A=36，则OBC的度数为（）A18B36C60D54【分析】先利用圆周角定理得到BOC=2A=72，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算OBC的度数【解答】解：A=36，BOC=2A=72，OB=OC，OBC=OCB，OBC=（18072）=54故选：D9（3分）如图，直线AB、CD、BC分别与O相切于E、F、G，且ABCD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A13B12C11D10【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明BOC=90，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解【解答】解：ABCD，ABC+BCD=180，CD、BC，AB分别与O相切于G、F、E，OBC=ABC，OCB=BCD，BE=BF，CG=CF，OBC+OCB=90，BOC=90，BC=10，BE+CG=10（cm）故选：D10（3分）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D下列结论：2a+b=0；2c3b；当m1时，a+bam2+bm；当ABD是等腰直角三角形时，则a=；当ABC是等腰三角形时，a的值有3个其中正确的有（）ABCD【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为x=1，即，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m1，可判断；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断；由图象知BCAC，从而可以判断【解答】解：二次函数与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）二次函数的对称轴为x=1，即b=2a2a+b=0（故正确）二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）ab+c=0，9a+3b+c=0又b=2a3b=6a，a（2a）+c=03b=6a，2c=6a2c=3b（故错误）抛物线开口向上，对称轴是x=1x=1时，二次函数有最小值m1时，a+b+cam2+bm+c即a+bam2+bm（故正确）AD=BD，AB=4，ABD是等腰直角三角形AD2+BD2=42解得，AD2=8设点D坐标为（1，y）则1（1）2+y2=AD2解得y=2点D在x轴下方点D为（1，2）二次函数的顶点D为（1，2），过点A（1，0）设二次函数解析式为y=a（x1）220=a（11）22解得a=（故正确）由图象可得，ACBC故ABC是等腰三角形时，a的值有2个（故错误）故正确，错误故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）如图，将RtABC（B=25）绕点A顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115【分析】由三角形的外角性质得出BAB1=C+B=115，即可得出结论【解答】解：C，A，B1在同一条直线上，C=90，B=25，BAB1=C+B=115，即旋转角等于115故答案为：11512（3分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，O的半径为2，B=135，则的长【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得AOC的度数，最后根据弧长公式求解【解答】解：连接OA、OC，B=135，D=180135=45，AOC=90，则的长=故答案为：13（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分对应值如下表：x320135y708957则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=8【分析】观察表中的对应值得到x=3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【解答】解：x=3时，y=7；x=5时，y=7，二次函数图象的对称轴为直线x=1，x=0和x=2时的函数值相等，x=2时，y=8故答案为814（3分）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x22ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc（用“”或“”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可【解答】解：二次函数y=x22ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数10，抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，a+1a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x22ax+3的图象上，bc，故答案为：15（3分）如图，是一个半径为6cm，面积为12cm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于2cm【分析】能组合成圆锥体，那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长应先利用扇形的面积=圆锥的弧长母线长2，得到圆锥的弧长=2扇形的面积母线长，进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长2求解【解答】解：圆锥的弧长=2126=4，圆锥的底面半径=42=2cm，故答案为216（3分）如图，在等边ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，CBE是由CAD旋转得到的以点C为圆心，以CN为半径作C与直线BE相交于P，Q两点，则PQ=6cm【分析】利用等边三角形的三线合一的性质得出CBE=CAD=30，再用垂径定理得出PQ=2HQ，再用含30度角的直角三角形的性质得出CH，最后用勾股定理即可得出HQ【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，AM为BC边上的中线，AMBC，CM=BC=4，ACB=60，CAD=30，在RtMCN中，MN=3，CM=4，根据勾股定理得，CN=5，由旋转可知：CBE=CAD=30，作CHBE于点H，则PQ=2HQ，连结CQ，则CQ=CN=5在RtCBH中，CBH=30，CH=BC=4，在RtCHQ中，由勾股定理得，HQ=3，PQ=2HQ=6，故答案为：6三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）解下列方程：（1）2x25x+1=0（2）（x+4）2=2（x+4）【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据因式分解法，可得方程的解【解答】解：（1）a=2，b=5，c=1，=b24ac=25421=170，x=，x1=，x2=；（2）因式分解，得（x+4）（x+42）=0于是，得x+4=0或x+2=0，解得x1=4，x2=218（10分）如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上一点，EAF=45将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，若AB=5，求ECF的周长【分析】把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，证得AFEAFG，由B+D=180时，得出EF=BE+DF，进而解答即可【解答】解：AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F、D、G共线，在AFE和AFG中，AFEAFG（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DFECF的周长=EC+EF+CF=EC+BE+CF+DF=BC+CD=2AB=1019（12分）如图，在RtABC中，C=90（1）用直尺和圆规作图：作A的平分线交BC于D；作O，使得圆心O在AB上且圆经过点A、D（2）判断O与BC的位置关系，并证明你结论【分析】（1）作出BAC的角平分线即可得到点D，再作出AD的垂直平分线与AB交于点O，以OA长为半径就可以作出符合要求的圆；（2）利用角平分线性质证得ODAC就可以证出BC与O相切【解答】解：（1）如图所示，射线AD与O即为所求；（2）连接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC，OAD=DAC，ODA=DAC，ODAC，C=90，ODB=C=90，O与BC相切20（10分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是3750cm3，求原铁皮的边长【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x62）厘米，高为6厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x62）厘米，高为6厘米，根据题意列方程得，（x62）（x62）6=3750，解得x1=37，x2=13（不合题意，舍去）答：正方形铁皮的边长应是37厘米21（10分）如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=6，BD=6（1）求AB的长（2）求弓形CBD的面积【分析】（1）连接OD，利用垂径定理求得HD的长，在直角BDH中，利用勾股定理求得BH的长，然后设半径是r，在直角OHD中利用勾股定理列方程求得半径，则直径即可求得（2）弓形CBD的面积可以利用扇形面积与三角形OCD面积的差计算【解答】解：（1）连接OD由垂径定理得HD=CD=3，由勾股定理得HB=3，设O的半径为r，在RtODH中，OH=r1，则r2=（3）2+（r1）2，由此得2r=12，所以AB=12；（2）连接OC，在RtODH中，OD=6，OH=3，ODH=30，DOH=60，COD=120，S弓形CBD=S扇形OCDSCOD=3=12922（12分）已知关于x的一元二次方程x2（m3）xm=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x2=7，求m的值【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值【解答】（1）证明：x2（m3）xm=0，=（m3）241（m）=m22m+9=（m1）2+80，方程有两个不相等的实数根；（2）x2（m3）xm=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22x1x2=7，（m3）23（m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或223（12分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案【解答】解：（1）当x=25时，y=2000（2515）=200（千克），设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，250），（25，200）代入得：，解得：，y与x的函数关系式为：y=10x+450；（2）设每天获利W元，W=（x15）（10x+450）=10x2+600x6750=10（x30）2+2250，a=100，开口向下，对称轴为x=30，在x28时，W随x的增大而增大，x=28时，W最大值=104+2250=2210（元），答：售价为28元时，每天获利最大为2210元24（14分）在ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是BDC的内心，E、F分别为O与边BD、DC的切点，设BD=BC（1）求证：AEEF，AEDO；（2）若AC=6，O的半径为1，求AE的长【分析】（1）连接BO、OF，由点O是BDC的内心，所以BO是BDC的平分线，又因为DC是O的切线，所以OFDC，又因为BD=BC，由三线合一可知，B、O、F三点共线，所以可得AD=DF，然后利用切线长定理可知AD=DE=DF，从而可知AEF=90；点O是BDC的内心可知，DO是BDC的平分线，所以EDO=DEA，从而可得AEDO；（2）由（1）可知DOEF，设DO与EF相交于点G，由勾股定理求出DO的长度，再由等面积可求得GF的长度，利用垂径定理可得EF的长度，最后用勾股定理即可求出AE的长度【解答】解（1）连接OB、OF，点O是BDC的内心，OB平分DBC，CD与O相切，OFCD，BD=BC，B、O、F三点共线，DF=CF，DC=2AD，AD=DF，BD与O相切，由切线长定理可知：DE=DF，AD=DE=DF，A、E、F三点共圆，且圆心为DAF是D的直径，AEF=90，AEEF，O是BDC的内心，DO平分BDC，EDF=2EDO，EDF=DAE+DEA，2EDO=2DEA，EDO=DEA，AEDO，（2）设DO与EF相交于点G，由（1）可知：DE=DF，DO平分EDF，DOEF，AD=DF=CF，AC=6，DF=2，OF=1，由勾股定理可求得：OD=，DFOF=ODFG，FG=，由垂径定理可知：EF=2FG=，AF=2DF=4，AEF=90，由勾股定理可求得：AE=25（14分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到