立体几何练习题与答案

立体几何练习题与答案 【模拟】 一. 选择题（每小题5分，共60分）1. 给出四个命题： 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； 各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； 有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； 长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 02. 下列四个命题： B. 1 C. 2 D. 3 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； 底面是正多边形的棱锥是正棱锥； 棱锥的所有面可能都是直角三角形； 四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有_个 A. 1B. 2C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12 B. 24 C. 2 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ） 1?2? 1?4? 1?2? 1?4? A. 2? B. 4? C. ? D. 2? 6. 已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题： ?/?l?m；?l/m；l/m?；l?m?/?。 其中正确的两个命题是（ ） A. B. C. D. 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2 2 3 D. 312 8. 设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） 32 A. 6?cm 3 B. 3 ?cm 3 8 C. 3 ?cm 3 4 D. 3 ?cm 3 9. 对于直线m、n和平面?、?能得出?的一个条件是（ ） A. m?n，m/?，n/? C. m/n，n?，m? B. m?n，?m，n? D. m/n，m?，n? 10. 如果直线l、m与平面?、?、?满足：l?，l/?，m?，m?，那么必有（ ） A. ?和l?m B. ?/?，和m/? D. ?且? C. m/?，且l?m 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 1：3 B. 1：2 C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是_。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为_。 15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为_。 16. 已知?、?是两个不同的平面，m、n是平面?及?之外的两条不同的直线，给出四个论断： mn，?，n?，m?。 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_。 三. 解答题（共74分） 17. （12分）正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是 5?cm和8?cm 2 2 ，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。 19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。 3 20. （12分）直角梯形的一个内角为45，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5?2）?，求这个旋转体的体积。 21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，AOB=60，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 （1）AD应取多长？ （2）容器的容积。 22. （14分）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EF?BD?G。 （1）求证：平面B1EF?平面BDD1B； （2）求点D1到平面B1EF的距离d； （3）求三棱锥B1?EFD1的体积V。 【试题】 一. 1. B 7. B 二. ? 2. B 8. D 3. C 9. C 4. C 10. A 5. A 11. D 6. D 12. B 13. 2 a 2 14. 2cm 15. 3ab 16. m?n，m?，n?（或m?，n?，?m?n） 三. 17. 证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、 DD1的中点可得GE/AD1，GF/CD1，GE? 平面EFG，GF?平面EFG AD1/平面AEG，CD1/平面EFG 又AD1?CD1?D1 平面EFG/平面ACD1 18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2? r1 22 依题意，?r1?5?，?r2?8? ?r1?5，r2?8 ?OA1和OA2都是球的半径ROO1?OO2? ? 22 R?r1?R?r2?R?5? 222 2 22 R?5R?8R?8?1?R?3 2 2 2 解得R?9 2 ?S球?4?R ?36?(cm) 3 2 V球? 43 ?R?36?(cm) 2 19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm 由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm 3 a?23 ?a?4 设底面边长为a，则2 正三棱柱的表面积 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上 的点，A1MAN a ，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3 A相交 B平行 C垂直 D不能确定 2将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD中点，则?AED的大小为（） A.45?B.30?C.60?D.90? 3PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB 所成的角的余弦值为（） A 12 B 。 2 C 3 D 3 4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是 A 15 13 12 2 B。 C。 D 5 在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、 AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ） A 5 B 23 C 55 D 5 ） 6在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ A 34 B 32 C 334 D3 7在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1,则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ） A.60oB. 90oC.105oD. 75o 8设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A1ECF成60角的对角线的数目是（ ） A0 B2C4D6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则 ? sinCM，D1N的值为_. 10如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点， 那么点M到截面ABCD的距离是 . C M B 11正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 12已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面 B1DC所成角的正弦值为. 13 已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC， 且PA=2，设平面?过PF且与AE平行，则AE与平面?间的距离为 14棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为_. 三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 15如图，直三棱柱ABC ?A1B1C1，底面?ABC 中，CACB1，?BCA ?90 ? ，棱AA1 ?2 ，M、 N分别A1B1、A1A是的中点 (1) 求BM的长； (2) 求cos?BA1,CB1?的值； (3) 求证：A1B?C1N y 16如图，三棱锥PABC中， PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，x D是PB上一点， 且CD?平面PAB (1) 求证：AB?平面PCB； P (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值 C 17如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且PA=1 P （1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标； （2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q， 使得QD？ （3）当BC边上有且仅有一个点Q使得QD时， 求二面角Q-PD-A的余弦值大小 18. 如图，在底面是棱形的四棱锥P?ABCD中，?ABC A Q D C ?60,PA?AC?a,PB?PD? ? 2a ，点E 在PD上，且PE:ED2:1 (1) 证明 PA?平面ABCD； (2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小； (3) 在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论 19. 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AG? 20.已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面 ABCD，E是SC上的任意一点 (1)求证：平面EBD平面SAC； (2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离； SA (3)的值为多少时，二面角BSCD的大小为120？ AB 理科立体几何训练题（B）答案 一、选择题 二、 9. 填空题 E C D 13 GD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点 C (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (2)求点D到平面PBG的距离； (3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求 PFFC 的值 3452234 10 12 13 14 93543 三、解答题 15解析：以C为原点建立空间直角坐标系O?xyz. (1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）? (1?0)?(0?1)?(1?0) 2 2 2 ?3 . y (2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0， 1，2） . ?BA 1?(1,?1,2),CB1?(0,1,2),BA1?CB1?3? 6? 5 ?cos?BA1,CB1? ? 3010 . (3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N( ?A1B?C1N? 12?12 ?0?0,?A1B?C1N 1111 ,2),?A1B?(?1,1,?2),C1N?(,0)2222 . 16解析： (1) PC平面ABC,AB?平面ABC， PC?AB.CD?平面PAB，AB?平面PAB， CD?AB又PC?CD?C，AB?平面PCB (2 由(I) AB?平面PCB，PC=AC=2， 又AB=BC，可求得BC=以B为原点， 如图建立坐标系则（,2,），（0,0,0），C（,0），P（,2） ? =(2,，=( BCAP? 则AP?BC= ? ?2AP?BCcos?AP,BC?= AP?BC22? P z = 2 12 异面直线AP与BC所成的角为 ? 3 ? （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)AB=(0, AP=( 2,2)， x y ?y?0,?AB?m?0,?0,则? 即解得?令z= -1,得 m= (? x?2z?0.?AP?m?0. 2，0，-1) ? 由PC?平面ABC易知：平面PAC?平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则BE为 ? 平面PAC的一个法向量，BE?(为n= (1，1，0) cos?m,n? m?nmn 223 , 22 ,0)? 22 (1,1,0)，故平面PAC的法向量也可取 = 23? 2 ? 3 . 二面角C-PA-B的大小的余弦值为 33 17解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、 别为x、y、z轴建立坐标系如图所示 PA=AB=1，BC=a， P（0，0，1），B（1，0，0）， D（0，a，0） （2）设点Q（1，x，0），则 ? DQ?(1,x?a,0),QP?(?1,?x,1) 由DQ?QP?0，得x2-ax+1=0 显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得QD，故只须=a2-40 因a0，故a的取值范围为a2 （3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点 取AD的中点M，过M作MNPD，垂足为N，连结QM、QN则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三点共线， ?MD?MP(0,1,0)?(0,?1,1)(0,1?,?)MN? ? 1?1?1? ? 又PD?(0,2,?1)，且MN?PD?0， ? 故 (0,1?,?)1? ?(0,2,?1)? 2?3?1? ?0? 23 ? 于是MN? (0,1?1? 22,) ?(0,1,2) 255 3 ?12 故NQ?NM?MQ?MN?AB?(1,?,?) 55 ? 12 PD?NQ?0?2?(?)?(?1)?(?)?0， 55 PD?NQ（：） MNQ为所求二面角的平面角 ?NM?NQcos?MNQ?， 6|NM|?|NQ| ? 注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简. 18解析：（1）传统方法易得证明（略） （2）传统方法或向量法均易解得?30?； （3）解 以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为 A(0,0,0),B( 32a,? 12a,0),C( 23 13 32 a) a, 12 a,0) D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a, 32a,12a,0) 所以 AE?(0, 23 a, 13 a)，AC?(， B 立体几何初步练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 D、不确定 2. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中, 与A1C垂直的是（ ） A. BDB. CDC. BCD. CC1 3、线m,n和平面?、?，能得出?的一个条件是( ) A.m?n,m/?,n/? B.mn,?=m,n?C.m/n,n?,m? D.m/n,m?,n? 4、平面?与平面?平行的条件可以是（ ） A.?内有无穷多条直线与?平行；B.直线a/?,a/? C.直线a?,直线b?,且a/?,b/?D.?内的任何直线都与?平行 5、设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m?，n/?，则m?n 若?/?，?/?，m?，则m? 若m/?，n/?，则m/n若?，?，则?/? 其中正确命题的序号是()A.和 B.和 C.和D.和 6.点P为ABC所在平面外一点，PO平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC， 则点O是ABC的（） A.内心 B.外心C.重心 D.垂心 7. 若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（） A若?/?,l?,n?，则l/n B若?,l?，则l? C. 若l?,l/?，则?D若l?n,m?n，则l/m 8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ） 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3 B.2C.1 D.0 9（xx浙江卷）设m.n是两条不同的直线,.是两个不同的平面, A若m,n,则mn B若m,m,则 C若mn,m,则n D若m,则m ） （ 10（xx广东卷）设l为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A若l/?,l/?,则?/? C若l?,l/?,则?/? B若l?,l?,则?/? D若?,l/?,则l? （ ） 二、填空题 11、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥BB1EF的体积为 12对于空间四边形ABCD，给出下列四个命题：若AB=AC，BD=CD则BCAD；若AB=CD，AC=BD则BCAD；若ABAC，BDCD则BCAD；若ABCD， BDAC则BCAD；其中真命题序号是 13. 已知直线b/平面?，平面?/平面?，则直线b与?的位置关系 P 为. 14. 如图，ABC是直角三角形，?ACB=90?，PA?平面ABC，此图形 A 中有个直角三角形 三、解答题 15.如图，PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：ABBCP A F16.如图，ABCD和ABEF都是正方形，M?AC，且，N?FBAM?FN。 求证：MN/平面BCE。 17.如图，P为?ABC所在平面外一点，PA?平面ABC， F E C P ?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F 求证：（1）BC?平面PAB； （2）平面AEF?平面PBC； （3）PC?EF A E C B 18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA平面BDE ；（2）平面PAC?平面BDE. 19、如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，点P为DD1的中点。求证： （1）直线BD1平面PAC；（2）平面PAC?平面BDD1； （3）直线PB1?平面PAC. 20如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABCA1B1C1中AC=3， AB=5，CB?4,AA1?4,点D是AB的中点. （）求证：AC?BC1（）求证：AC1/平面CDB1； （）求三棱锥A1B1CD的体积. C C1 D1 B1 A1 P D B A 21如图，在几何体ABCDE中，AB = AD = 2，AB丄AD,AE 丄平面ABD,M为线段BD的中点， （I）求证:平面BCD丄平面CDE； （II）若N为线段DE的中点, 求证:平面AMN/平面BEC 22（xx年北京卷）如图,在四棱锥P?ABCD中 AB/CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和PC的中点, 求证: (1) PA?底面ABCD;(2) BE/平面PAD; (3)平面BEF?平面PCD 23（xx年山东卷）如图,四棱锥P?ABCD 中,AB?AC,AB?PA,ABCD,AB?2CD, E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点 求证: ()