集合的运算(全集、补集)沪教版必修1教案

集合的运算(全集、补集)沪教版必修1教案 子集、全集、补集 教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系. 教学重点：子集的概念，真子集的概念. 教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算. 课 型：新授课 教学手段：讲、议结合法 教学过程： 一、创设情境 在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集二、活动尝试 12用列举法表示下列集合： x|x3?2x2?x?2?0 -1，1，2 数字和为5的两位数 14，23，32，41，50 111111,x|x?,n?N*且n?5n3用描述法表示集合：2345 4用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”x?Z|x?2|?3=-1，5 5问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性） （1）A=-1，1，B=-1，0，1，2 （2）A=N，B=R （3）A=xx为北京人，B= xx为中国人 (4)A?，B0 （集合A中的任何一个元素都是集合B的元素） 三、师生探究 通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素. (2)集合A中所有元素，都是集合B的元素. (3)集合A中所有元素都是集合B的元素. (4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论. 四、数学理论 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素 都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集 合A.记作A?B（或B?A），这时我们也说集合A是集合B的子集. 请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义. 2真子集：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A?B，我们就说集合A是集合B 的真 子集，记作：A或B读作A真包含于B或B真包含这应理解为：若A?B，且存在bB，但b?A，称A是B的真子集. 3当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）. 如：A2，4，B3，5，7，则AB. 4说明 （1?A （2若A，则（3A?A （4）易混符号 “?”与“?”：元素与集合之间是属于关系； 1?N,?1?N,N?R,?R，1?1，2，3 0与：0是含有一个元素0的集合，如 ?=0，0 五、巩固运用 例1（1） 写出N，Z，Q，R（2）判断下列写法是否正确 ?A A?A A 解（1）：N?Z?Q?R （2）正确；错误，因为A可能是空集；正确；错误； 思考1：A?B与B?A能否同时成立？ 结论：如果A?B，同时B?A，那么AB. 如：a，b，c，d与b，c，d，a相等；2，3，4与3，4，2相等；2，3与3，2相等. 问：Axx2m1，mZ，Bxx2n1，nZ.（A=B） 稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨. 思考2：若AB，BC，则AC？ 真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC. 例2写出a、b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 分析：寻求子集、真子集主要依据是定义. 解：依定义：a，b的所有子集是?、a、b、a，b，其中真子集有?、a、b. 变式：写出集合1，2，3的所有子集 解：、1、2、3、1，2、1，3、2，3、1，2，3 猜想：(1)集合a,b,c,d的所有子集的个数是多少？(2?16) （2）集合4?a1,a2?,an?的所有子集的个数是多少？(2n) 注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n1个. 六、回顾反思 1概念：子集、集合相等、真子集 2性质：（1?A （2（A） （3A?A （4）含n个元素的集合的子集数为2；非空子集数为2?1；真子集数为2?1；非空真子集数为2?nnnn 七、课外练习 1下列各题中，指出关系式A?B、A?B、AB、AB、AB中哪些成立： (1)A1，3，5，7，B3，5，7. 解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素， 故A?B及AB成立. (2)A1，2，4，8，Bxx是8的约数. 解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8 那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故AB. 式子A?B、A?B、AB成立. 2判断下列式子是否正确，并说明理由. (1)2?xx10 解：不正确.因数2不是集合，也就不会是xx10的子集. (2)2xx10 解：正确.因数2是集合xx10中数.故可用“”. (3)2xx10 解：正确.因2是xx10的真子集. (4) ?xx10 解：不正确.因为?是集合，不是集合xx 10的元素. (5) ?xx10 解：不正确.因为?是任何非空集合的真子集. (6) ?xx10 解：正确.因为?是任何非空集合的真子集. (7)4，5，6，72，3，5，7，11 解：正确.因为4，5，6，7中4，6不是2，3，5，7，11的元素. (8)4，5，6，72，3，5，7，11 解：正确.因为4，5，6，7中不含2，3，5，7，11中的2，3，11. 3设集合A=四边形，B=平行四边形，C=矩形 D=正方形，试用Venn图表示它们之间的关系。 4已知Axx2或x3，Bx4xm0，当A?B时，求实数m的取值范围. 分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合 . 解：将A及B两集合在数轴上表示出来 要使A?B，则B中的元素必须都是A中元素 即B中元素必须都位于阴影部分内 m 那么由x2或x3及x4知 m 42即m8 故实数m取值范围是m8 5满足 ? 解析:由 ? 又由A?a,b,c,d的集合A有多少个? A可知,集合A必为非空集合; A?a,b,c,d可知,此题即为求集合a,b,c,d的所有非空子集。 满足条件的集合A有 a,b,c,d,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d,a,b,c,d共十五个非空子集。 n此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2?1进行检验，2?1?15，正确。 4 答案:15 x,y。 6已知A?x,y,B?1,xy，若A?B，求 解析:A?B，即A.B两集合的元素相同，有两种可能： ?x?1?x?1?x?xy?x?R?y?xy解得?y?R；?y?1解得?y?1 x?1或y?1。 答案: x?1或y?1。 八、教学后记 本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后， 1.3 (1)集合的运算（交集、并集） 一、教学内容分析 本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程 的解集的并集。 本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用 二、教学目标 理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。 三、教学重点及难点 交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用； 交集与并集概念、符号之间的区别与联系。 四、教学流程设计 的解集，则是求方程 和 五、教学过程设计 一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、子集与真子集的区别。 2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。 3、空集的特殊意义。 二、讲授新课 关于交集 1、概念引入 （1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12） 10的正约数 B=xx为15的正约数 C=xx为10与15的正公约数 A=xx为 解答：A=1，2，5，10，B=1，3，5，15，C=1，5 说明启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公共元素。 （2）用图示法表示上述集合之间的关系 A2 ，2、概念形成 ? 交集定义 一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合， 叫做A与B的交集。记作AB（读作“A交B”），即：AB=x|xA且xB（让学生用描述法表示）。 ? 交集的图示法 B ? A?B?A,A?B?B A?B?A?B A?B? ? 请学生通过讨论并举例说明。 3、概念深化 交集的性质（补充） 由交集的定义易知，对任何集合A，B，有： AA=A，AU=A ，A=；AB?A，AB?B；AB=BA；ABC=（AB）C= A（BC）；AB=A?A?B。 4、例题解析 例1：已知A?x?1?x?2，B=x?2?x?0，求A?B。(补充) 解：A?B?x|?1?x?0 说明启发学生数形结合，利用数轴解题。求交集的实质是找出两个集合的公共部分。 例2：设A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求 AB。（补充） 解：AB=x|x是等腰三角形x|x是直角三角形 =x|x是等腰直角三角形 说明：此题运用文氏图，其公共部分即为AB 例3：设A、B两个集合分别为A?(x,y)2x?y?10，B?(x,y)3x?y?5，求AB， 并且说明它的意义。 （课本p11例1） ? ?2x?y?10?解：A?B?(x,y)?=（3，4） 3x?y?5? 说明 A?B表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集 合。 例4（补充）设A=1，2，3，B=2，5，7，C=4，2，8， 求（AB）C， A（BC），ABC。 解：（AB）C=（1，2，32，5，7）4，2，8=24，2，8=2； A（BC）=1，2，3（2，5，74，2，8）=1，2，32=2；ABC=（AB）C= A（BC）=2。 三、巩固练习 练习1.3（1） 关于并集 1、概念引入 引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示 A=xx?2?0， B=xx?3?0， C=x(x?2)(x?3)?0 答：A=?2?， B=-3 ，C=2，-3 说明启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。 2、概念形成 ? ? 并集的定义 一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB（读作“A并B”），即AB=x|xA或xB。 ? 并集的图示法 ? A?B?A,A?B?A,A?B?B, A?B?B,A?B?B, ? 请学生通过讨论并举例说明。 3、概念深化 ? 并集的性质（补） AA=A，AU=U ，A=A；A?（AB），B?（AB）；AB=BA；AB?AB，当且仅当A=B时，AB=AB；AB=A?B?A. 说明 交集与并集的区别（由学生回答）（补） 交集是属于A且属于B的全体元素的集合。 并集是属于A或属于B的全体元素的集合。 xA或xB的“或”代表了三层含义：即下图所示。 4、例题解析 例5：设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AB。（补充） 解：A=4，5，6，8，B=3，5，7，8， 则AB=4，5，6，83，5，7，8=3，4，5，6，7，8。 说明 运用文恩解答该题。用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。 例6：设A=a,b,c,d，B=b，d，e，f，求AB ,AB。 （课本p12例2） 解：AB=b,d，则AB=a,b,c,d,e,f 。 例7：设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角，求AB。（补充） 解：AB=x|x是锐角三角形x|x是钝角三角形=x|x是斜三角形。 例8：设A=x|-21或x-1，求AB。（课本P12例3） 解：AB=R 说明 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。 例9、已知A=x|x=2k, kZ或xB, B=x|x=2k-1, kZ,求AB。（课本P12例4）说明 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。 三、巩固练习：1.3（2） 补充练习 1、设A= x |-1 x 2, B= x |1 x 3，求AB. 解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求. 解：将A= x |-1 x 2及B= x |1 x 3在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。 第2讲 集合的运算 （一）交集： 1、定义： A B = x x A且x B 说明：（1） x A B ? x A且x B （2） x ? A B ? x ? A或x ? B （3）A B 实质上是A、B 的公共部分 图示： 2、性质 ； 例题 1、设集合M=1,2,4,8,N=x|x是2的倍数，则MN=（） A.2,4B.1,2,4C.2,4,8D1,2,8 2、若集合，则=（） A. B. C. D. 3、设A =（x，y）y = ?4x + 6, B =（x，y）y = 5x ? 3，求A B 4、已知集合A = xx ? a 1， B = x x2 ? 5x + 4 0，若A B = 数a 的取值范围？ （二）并集： 1、定义： A B = x x A或x B 说明：（1） x A B ? x A或x B （2） x ? A B ? x ? A且x ? B （3）A B 实质上是A、B 凑在一起 图示： 2、性质 ； 例题 1、若集合，则_ 2、已知集合，且，则实数a的取值范围是_. 3、集合,若,则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 4、,且,则m的取值范围是( ) A. B. C.D. ，则实 （三）补集： 全集：由（所考虑的）所有元素构成的集合。通常用U表示 补集： 显然： 当心：考虑补集时，一定要注意全集