高等数学第七章(7-2.ppt

,第二节偏导数,高阶偏导数,偏导数的定义及其计算,一、偏导数的定义及其计算,定义1,设函数,在点,的某邻域内有定义,当固定,时,是x的一元函数,如果这个,一元函数在点,可导,则其导数记作,称为函数,在点,处对x的偏导数,即,还可以用,等记号表示,在点,对x的偏导数.,同样,当固定x=x0时,是y的一元函数,如果,这个一元函数在点,可导,则其导数记作,称为函数,在点,处对y的偏导数,即,还可以用,等记号表示,在点,处对y的偏导数,如果函数,在区域D内每一点处对x的偏导数都,存在,那么这个偏导数就是x,y的函数,它称为对x的偏导函数,记作,同样,可定义对y的偏导函数,记作,以后在不致引起混淆的地方,偏导函数就简称偏导数.,关于偏导数的计算方法,根据偏导数的定义,要求函数,对x的偏导数,只要将,中的y看作固定,常数,对x求导;,要求对y的偏导数,只要将,中的x,看作常数,对y求导.,因此,求偏导数的问题,实际上是求一元,函数的导数问题,一元函数的所有求导法则,在求偏导数时,都可以应用.,偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数.,例如,三元函数,z,固定y,z，,把函数,看作x的,一元函数,对x求导就得到对x的偏导数,；同理，,固定x,对y求导,就得到对y的偏导数,；固定x,y,对z求,导,就得到对z的偏导数,.一般地，,对n元函数,把其余,个变量视为常数，,而把函数,视为,某一变量,的一元函数，,就可得到n个偏导数,例1:,解:,求,在点（1,2）处的偏导数.,将y看作常数,对x求导，得,将x看作常数,对y求导，得,将x=1,y=2代入上面两个偏导函数中,就得,例2:,解:,求函数,的偏导数.,例3:,解:,求,的偏导数,例4:,求,的偏导数,解:,例5:,证:,设,其中f(u)是一元可导函数,试证z,满足下面的关系式,由一元复合函数的求导法则,有,于是,偏导数的几何意义:,根据偏导数,的定义,它是一元函数,在点,对x的导数,由一元函数导数的几何意义可知,它就是曲面,与平面,的交线,M0T1在x轴方向的斜率,（如图7-3所示）.,图7-3,同样,的交线,(如图7-3所示).,对于一元函数f(x),则f(x)在点,连续.,此性质对多元函数的偏导数不再成立,换言之，,也不能保证函数,例6:,设函数,固定,得,对x求导,得,特别地,同理可知,.因此,在点,（0,0）,两个偏导数都存在.,但由上节例7可知,f(x,y)在,点（0,0）不连续.,与一元函数一样,连续的多元函数也不能保证有偏导数.,例如：,在（0,0）连续,但在此点两个偏导数,都不存在.,因此,多元函数的连续性与偏导数存在之间没有必然联系.,二、高阶偏导数,则在D内,都是x,y的函数,如果这两个,函数的偏导数也存在,按照求导次序的不同,有以下四个二阶偏导数:,如果它们还有偏导数,四阶、以及n阶偏导数.,二阶以及二阶以上的偏导数,称为高阶偏导数,而本节开始所定义的偏导数可称为,一阶偏导数.,例7:,解:,上面二阶偏导数中,称为混合偏导数,它们只,是求导的次序不同.,从上例中看出这两个混合偏导数相等,这不是偶然的,我们有下面的定理.,定理1,与,在区域D内连续,则在D内有,由此定理可以推知,如果第k阶的混合偏导数都连续,则第k阶及其以下各阶偏导数只与求导的次数有关,而与求导的先后顺序无关.,例8:,设,试验证,解,可见,例9:,