弹性力学100题

第三章变形状态分析知识点位移和变形政变纯变形位移和刚性旋转位移变形成分坐标轴公式主变形齐次方程体积变形变形调整方程式变形调整方程证明变形和变形组件切断应变几何方程和变形张量位移增量的分解应变张量变形状态特性方程变形调整的物理意义变形协调方程的数学意义调整多连接域的变形一、内容介绍本章介绍了弹性体的变形，通过变形分量确定了物体的变形。因此，首先确定位移和变形元件的基本关系几何方程。变形分量和刚体旋转都用位移导出表示，因此必须确定刚体旋转位移和纯变形位移的关系，才能完全确定某些变形。对于一个点的变形元件，在其他座标系统中不同。因此应变状态分析主要是讨论不同轴应变成分变化关系。此关系是变形成分的轴公式。根据轴公式，可以确定一些主变形和变形主轴等。当然，变形元件符合二次张量转换定律，因此具体分析可以参考应力状态分析。问题是位移的单值连续性质，变形调整条件。如果位移函数基本上不是未知量，则弹性力学从微分单位体开始，因此变形微分单位体也必须满足连续性条件。这就是说，数学上的变形成分必须满足变形调整方程。弹性体的偏移边界必须满足偏移边界条件。二、要点1、变形状态的定义：正变形和剪切变形；变形成分和变形张量；2、几何方程和刚体旋转；3、变形状态分析和变形成分轴公式；4、变形状态特征方程和变形不变量；主变形和变形主轴；5、变形调整方程和位移边界条件。3.1位移分量和应变分量几何方程学习理念：负载的作用或温度的变化导致空间中物体的点发生变化，就是产生位移。在此移动过程中，弹性体同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移与弹性体的应力有直接关系。弹性体的变形描述为微分六面体单元，微分单元体的变形分为两部分。一个是微分单元体边缘的伸长和缩短。第二种是边之间的角度变化，分别使用正变形和相切变形来表示两种变形。单元变形可能由于小变形问题而投影到坐标平面分析中。根据正变形和相切变形定义，变形和位移的关系，几何方程或柯西方程不难得到。几何方程给定的变形通常称为工程变形。需要注意的是，几何方程可以用张量形式表示，其正变形和相应的应变张量分量相同。剪切变形是相应应变张量成分的两倍。几何方程提供了位移分量和变形分量之间的关系。学习要点：1、位移函数；2、变形和变形成分；3、积极的变形表达；4、剪切变形成分；5，几何方程和变形张量。1，位移函数外部因素(例如载荷作用或温度变化)改变了空间中每个点的位置，从而导致位移。在此移动过程中，弹性体同时可能发生两种位移变更。第一个位移是位置更改，但对象内部的每个点保持其初始状态的相对位置。这些位移是由空间中刚体的运动引起的，因此称为刚体位移。第二种位移是弹性体形状的变化，在位移发生时，不仅改变了物体的绝对位置，还改变了物体内各种点的相对位置，称为变形。通常，刚体位移和变形同时出现。当然，在弹性力学方面，变形和弹性体的应力有直接关系，所以主要研究变形。根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后保持连续。弹性体的点在变形过程中从M(x，y，z)移动到M(x，y，z)，此过程也是连续的，如图所示。在数学上，x、y、z是x、y、z的单值连续函数。将MM=S设定为位移向量，将三个元件u、v、w设定为位移元件。邮报U=x(x，y，z)-x=u(x，y，z)，V=y(x，y，z)-y=v(x，y，z)W=z(x，y，z)-z=w(x，y，z)显然，偏移分量u、v、w也是x、y、z的单值连续函数。后续分析进一步假设位移函数具有三阶连续微分。2、变形和变形成分为了进一步研究弹性体的变形，假设在弹性体中，六个面各垂直于三个轴的微分立方体单元被分割。对于微分单位变形，分为两部分。一、微分单元体边缘伸长和缩短；第二种是边之间的角度变化。弹性力学分别使用正变形和剪切变形表示两种变形。对于微分平行六面体单元，变形前和x、y、z轴平行的棱镜分别为MA、MB、MC，变形后分别为MA、MB、MC。假设x，y，z轴方向边的相对挤出长度，即正变形分别表示为ex，ey，ez。分别表示x和y、y和z、z和x轴之间的角度变化，即相切变化为gxy、gyz和gzx。邮报对于小变形问题，为了简化分析，将分别讨论微分单位本体投影到Oxy、Oyz、Ozx平面上。显然，单元体变形前的每条边边都与坐标面平行，变形后的边边边将具有相应的旋转。但是我们讨论小的变形问题，这种旋转产生的影响很小。特别是在对象位移中，不影响变形计算，假设每个点的位移仅由自身大小和形状的变化决定，那么这些微分段的旋转误差很小，不会导致微分单元的变形发生明显的变化。3、积极的变形表达首先讨论投射到Oxy曲面上的变形。将ma、MB分别设置为ma、MB的投影、MA和MB分别设置为MA、MB(变形的MA和MB)的投影。微分单元体的边长分别表示m点x、y、dz和m点的坐标，u(x、y、z)和v(x、y、z)分别表示m点x、y方向的位移分量。点a的位移为u(x dx，y，z)、v(x dx，y，z)，点b的位移为u(x，y dy，z)、v(x，y dy，z)根据泰勒级数展开a，b两点的位移，省略二次以上的小量，a，b点的位移分别为因为所以可以用同样的道理得到可以得到弹性内任意点微分段的相对挤出长度，即正变形。微分段增加时，正变形ex，ey，ez大于0，反之小于0。4、剪切变形成分下面是对相切表示关系的讨论。假设Byx是平行于x轴的微分段ma与y轴平行的角度，而bxy是平行于y轴的MB绕x轴旋转的角度。那就切开吧因为结论在顶板诱导中，在小变形条件下，利用位移导数是高阶小量的。可以用同样的道理得到Byx和bxy可以是正号，即byx大于0的负数。也就是说，位移v随坐标x增加。也就是说，x方向的微分段围绕y轴正向旋转。用切线变形表达式替换上述两个表达式可以用同样的道理得到当切线变形分量大于0时，微分段的包含角减小，反之亦然。5、几何方程和变形张量总而言之，变形元件和位移元件之间的关系如下上述公式称为几何方程式，也称为Cauchy方程式。柯西方程提供了位移分量和变形分量之间的关系。如果位移已知，则由位移函数的部分导数求出变形。但是，如果变形已知，则解决方法相对复杂，因为六个变形分量对应三个位移分量。这个问题以后专门讨论。几何方程给定的变形通常称为工程变形。使用张量符号时，几何表达式可以表示为常识表明变形组件eij满足二次张量的坐标转换关系，变形张量组件和工程变形组件的关系可以表示为3.2纯变形位移和刚性旋转位移学习理念：变形分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，定义了微分平行六面体单位角的伸长和角之间的角度变化。但是，因为我们没有考虑未微分单元的刚体旋转，所以还不能完全说明弹性体的变形。通过分析弹性体中无限相邻两点的位置变化，可以确定刚体的旋转位移和纯变形位移之间的关系。刚体旋转由旋转组件描述。刚性旋转位移的物理意义：如果弹性内的某个点没有变形，则无限相邻任意点的位移由平移和旋转位移两部分组成。发生变形时，纯变形位移也包括在位移中。学习要点：1、刚体旋转位移；2、旋转位移成分；3、纯变形位移和旋转位移；4、位移分解。1、刚体旋转位移变形可以说明一点的变形。即，定义微分平行六面体单位边的伸长和边之间的角度变化。但这不足以完全说明弹性体的变形。这是因为变形分析只讨论棱镜伸长和角度变化，不考虑微分单位体位置变化的单元的刚体旋转。通过分析弹性体中无限相邻两点的位置变化，可以确定刚体的旋转位移和纯变形位移之间的关系。设定p点与o点无限相邻，并返回小角度，p点及其周围区域围绕o刚性旋转。将旋转矢量设置为，将OP之间的距离矢量设置为r，如图所示。邮报引入拉普拉斯算子向量2，旋转位移元件将p点的位移向量设定为u。U=ui uj uk因为位移向量可以用U=r表示，所以也就是说其中Wx、wy、wz是旋转分量，是坐标的函数，表示柔性体的微分单位体的刚性旋转。3、纯变形位移和旋转位移将m点的坐标设定为(x，y，z)，位移(u，v，w)。与m点相邻的n点，坐标为(x dx，y dy，z dz)，位移为(u du，v dv，w dw)。MN两点的相对位移为du，dv，dw。因为位移是座标的函数可以用同样的道理得到在上面的位移增量公式中，前三个是导致变形的纯变形位移，另外两个是在一点相邻区域的材料围绕该点像刚体一样旋转的刚性旋转位移。刚性旋转位移的物理意义是，如果弹性体的一点和相邻区域没有变形，则无限接近该点的位移由两部分组成，具体取决于刚体动力学。相对于此点的平移位移和相对于此点的旋转位移。弹性材料的一点通常会发生变形，因此偏移也包括纯变形偏移。4、分解位移永远与m点无限相邻的n点的位移由三部分组成。1，平移位移与m点。在2，n点产生的位移，围绕m点刚性旋转。在点3，n处，m点和相邻区域的变形导致的位移。旋转元件w x、w y、w z描述微分单位体的刚性旋转，但对于整个弹性体，它仍然是变形的一部分。三个旋转分量和六个变形分量相结合，不仅决定了微分单位形状的变化，还决定了位置的变化。位移增量公式可用于以矩阵格式表示的情况显然，位移的增量由两部分组成：旋转分量引起的刚体的旋转位移和变形分量引起的变形位移增量。3.3变形的坐标变换和变形张量学习理念：与应力状态分析一样，一点的变形分量在其他坐标系中的描述不同，因此要讨论变形状态，必须建立坐标转换，即坐标旋转时的变形分量转换关系。在本节中，通过新坐标系和旧坐标系之间的偏移平移关系，根据几何方程，通过复合函数的导数得到变形分量的轴公式。轴公式表明，变形张量也是二次对称张量。轴公式确定了一点的六个单独变形分量后，可确定任意坐标系下的变形分量。换句话说，变形状态完全确定。变形状态分析表明，坐标转换后，每个变形组件都发生了变化，但作为一个单元，一个点的变形状态保持不变。学习要点：1、坐标转换；2、变形成分坐标轴公式；3、变形张量。1，坐标变换上一节介绍了变形组件，本节介绍了变形组件与其他坐标系中下一点的关系。与转换坐标轴的应力分量类似，创建转换零部件轴(现有坐标系中e ij的已知零部件)的转换公式，以定位新坐标系中的每个零部件e ij。根据几何方程式，座标转换不会影响变形元件。因此，旋转时只需要输入变形元件转换关系。新坐标系Oxyz将旋转旧坐标系Oxyz，如图所示。新坐标轴和新坐标轴之间角度的方向馀弦为如果您设定变形前的m点、变形后的m点移动，以及位移向量MM=U2、变形成分坐标轴公式因此，新坐标系的偏移分量如下根据几何方程，根据复合函数的微分关系同样，其馀五个转换组件的转换公式3、应变张量将旧坐标系和新坐标系之间角度的方向馀弦表示为nij(i，j=1，2，3)，注意到变形张量表达式可能会创建上述变形分量转换公式Eij=nii njj eij因此，如果使用以下形式的变形成分变形组件满足张量转换关系。与应力张量一样，应变张量也是二次对称张量。如公式所示，一旦确定了某一点的六个单独变形分量，就可以在任意坐标系中确定变形分量。也就是说，一点的变形状态完全确定。不难理解，即使坐标转换后每个变形组件发生了变化，整体描述的点的变形状态也不会发生变化。3.4周变形和变形不变性学习理念：变形状态分析需要确定主变形和主平面的最大正变形和位置。对于任意点，至少有三个垂直方向，该方向只有正变形，切线变形为零。具有此属性的方向称为变形主轴或变形主方向，该方向的正变形称为主变形。本节根据位移增量与变形成分和主变形的关系，推导出求解主变形及其方向余弦的齐次方程。根据同阶方程的非零解，可以确定主应力解的变形状态特性方程。根据特性表达式，可以确定三种主要变化。使主变形再次成为齐次方程，并在任意截面的三个方向余弦的平方等于1的情况下，求解变形主轴的方向余弦。根据特征表达式和变形不变性，可以看到主变形和变形主轴的特性与主应力和应力主轴相似。学习要点：1、位移微分表示法；2、主应变齐次方程；3、主要变形特性方程和不变量。1，位移微分表示法弹性内任意点的六个变形分量(变形张量)随着坐标轴的旋转而变化。因此，与应力张量一样，特定点处的所有切向变形分量在特定坐标系中可能为零，只有正变形分量可能不等于零。是否能找到三个相互垂直的方向，这三个方向的微分段在对象变形后，只有各自的长度发生了变