拓扑学基础试题及解答

“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设，则下列是的拓扑的是【 A 】A、 B、 C、 D、2、下列有关连续映射正确的是【 B 】A、对中的任意开集，有是中的一个开集B、中的任何一个闭集，有是中的一个闭集C、中的任何一个子集，有D、若还是一一映射，则是一个同胚映射3、设和是两个拓扑空间，是的一个子集，则下列错误的是【 C 】A、若是连续的，则也是连续的B、若是一个同胚，则也是一个同胚。C、是一个连续映射，则不一定是一个连续映射D、若可嵌入，则的任何一个子空间也可嵌入4、设是一个拓扑空间，则=【 D 】A、 B、 C、 D、5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A、若和是拓扑空间中的两个隔离子集，且，则是不连通的。B、有理数集作为实数空间子空间是一个连通空间C、若均为的连通子集，且，则也是的一个连通子集D、设是的一个连通子集，若，则也是的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A、空间 B、空间 C、空间 D、空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A、若拓扑空间是连通的，则一定是局部连通的B、若拓扑空间是道路连通的，则一定是连通的C、若拓扑空间是局部连通的，则一定是道路连通的D、若拓扑空间是连通的，则一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A、它满足第一可数性公理 B、它满足第二可数性公理C、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindelff空间的描述正确的是【 A 】A、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeff空间B、任何一个Lindelff空间都是第二可数性空间C、Lindelff空间的子空间还是Lindeff空间D、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeff空间10、设是度量空间（）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A、当且仅当B、当且仅当C、对，且有，则为中的一个开集D、当且仅当二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。1、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。2、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。3、设是实数空间的一个子集，是一个连通子集当且仅当是一个 区间 。4、实数空间中的有理数集，则= 。5、设是拓扑空间的一个子空间，则的拓扑为 。6、实数空间的一个基是 且 。7、集合的两个度量和是等价的，若是中的一个闭集，则是中的一个 闭 集。8、恰含2个点的拓扑空间一共有 3 个同胚等价类。9、设是一个拓扑空间，若是的一个稠密子集，则= 。10、设是一个拓扑空间，是的一个连通分支，则= C 。三、名词解释（每小题3分，共12分）1、紧致空间答：设是一个拓扑空间，如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个紧致空间。2、同胚映射答：设与是两个拓扑空间，如果是一个一一映射，并且与都是连续的，则称是一个同胚映射。3、不连通空间答：设是一个拓扑空间，如果中的有两个非空的隔离子集和，使得，则称拓扑空间是一个不连通空间。4、稠密子集答：设是一个拓扑空间，如果的闭包等于整个拓扑空间，即，则称是拓扑空间的一个稠密子集。四、证明题（第1小题8分，其余每小题10分，共48分）1、（8分）设是一个离散的度量空间，证明：（1）（4分）的每一个子集都是开集（2）（4分）若也是一个度量空间，则任何映射都是连续的证明：（1）对中的任意一个子集，令又 是一个离散的度量空间 当时 从而是中的开集（2）（4分）对中的任意一个开集，是中的一个子集是一个离散的度量空间。由（1）知：是中的开集是一个连续映射2、（10分）设，（1）（3分）验证是的一个拓扑（2）（7分）若，求证明： （1）是的一个拓扑（2）对点，对点的任意邻域，都有，而 对点 为点的一个开邻域且 对于点，其只有一个邻域，且3、（10分）设和是两个拓扑空间，证明以下两个条件等价（1）连续； （2）对于的每一个子集，有证明： （1）（2）又 连续对于中的任何一个子集C，有即 成立（2）（1），对的任何一个子集，成立令，则是中的一个子集，且由的任意性可知的任意性是连续的4、（10分）设是拓扑空间的一个子集，证明：是的一个不连通子集，当且仅当中存在两个非空集合和，使得和成立。证明：充分性： 令，则 同理有即为的非空隔离子集是不连通子集必要性：是的一个不连通子集则存在中的两个非空隔离子集，使得：且为中的两个闭子集从而为中的两个闭子集5、（10分）设和是两个拓扑空间，是一个连续映射，证明：如果是一个Lindelff空间，则也是