高等代数教案.ppt

高等代数(HigherAlgebra),张禾瑞郝鈵新高教出版社（第五版）,课件制作深圳大学数学与计算科学学院：王晓峰,Ch.1基本概念,Ch.2多项式,Ch.3行列式,Ch.4线性方程组,Ch.5矩阵,Ch.6线性空间,Ch.7线性变换,Ch.8欧几里得空间,Ch.9二次型,Ch.10,Ch.1,Ch.2,Ch.3,Ch.4,Ch.5,Ch.6,Ch.7,Ch.8,Ch.9,Ch.10,一般性介绍,数学,数学分析，高等代数，解析几何,数学基础:数理逻辑-公理集合论,证明论,模型论,递归论,数学分析,实变函数论，复变函数论，多复变函数论，测度论，泛函分析，变分法，函数逼近论，非标准分析，小波分析，分形几何，常微分方程，偏微分方程，积分方程，动力系统,特殊函数，数值分析,计算方法,.,高等代数,数论,近世代数，线性代数,群论,域论与伽罗瓦理论,环与代数,模论,范畴论代数K理论,同调代数,李代数,序与格,离散数学,计算机科学,矩阵论,密码学,解析几何,高等几何,代数几何,微分几何,凸集几何与距离几何,一般拓扑学,代数拓扑学,流形拓扑学,分形几何,计算机辅助几何设计,计算机图形学,概率论,数理统计,随机过程,统计学,经济数学,其它,生物数学,模糊数学,运筹学,控制理论,通信与信息理论,优化理论,计算数学,.,计算机有关的课程,数据结构,计算机原理,C+语言,Java语言,离散数学,数据库原理,操作系统,程序设计方法，计算机网络，信息系统,汇编语言,逻辑电路,软件工程,最新软件分析,通信与信息理论,算法分析,.,高等代数目的及要求,1.为什么要学高等代数？,3.作业要求：(1)书面作业：A4大小的活页纸；(2)上网作业：可自己检查,帮助理解；(3)平时测验:,4.如何评定成绩？,5.参考书目：线性代数及应用王晓峰主编高等代数(北大)高教出版社,1.1集合,Ch.1基本概念,0.1,1.2映射,1.2,1.3数学归纳法,1.3,1.4数论初步,1.4,1.5整数和整环,1.5,1.1集合,Ch.1基本概念,集合的概念集合的表示,元素的概念,常用记号常用集合,有限集合无限集合,子集交集并集空集补集差集,笛卡尔集,集合的运算,1.2映射,注意:如果f是从A到B的一个映射,定义2设f是一个从A到B映射.如果对任意的bB,都存在一个aA,使得f(a)=b则称f是一个从A到B的满射.,定义4既是满射又是单射的映射称为双射.,定义3设f是一个从A到B映射.对任意的a1,a2A,如果a1a2,就一定有f(a1)f(a2)则称f是一个从A到B的单射.,映射的合成运算:,合成运算满足结合律:,合成函数的例子：,定理1.2.1设f是一个从A到B映射.那么以下条件等价：(i)f是一个双射；(ii)存在B到A映射g,使得gf=jA,fg=jB并且，当(ii)成立时，映射g由f唯一确定.,定义:上述定理中由f唯一确定的映射g称为f的逆映射，记为f1.并且f1f=jA,ff1=jB,代数运算：设A是一个集合.称一个从AA到A映射为A上的一个代数运算.,1.3数学归纳法,最小数原理正整数集合N*的任意非空子集必有一个最小数.,数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题P(n).如果(i)P(1)为真(即:当n=1时命题成立);(ii)假设P(k)为真能推出P(k+1)也为真；那么对所有的正整数n，命题P(n)为真.,例证明,所有的整数n3时满足2n+12n,第二数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题P(n).如果(i)P(1)为真;(ii)假设对任意正整数hr0,定理若d=(a,b)，则存在整数p,q使得pa+qb=d,例求(726,393),并求整数p和q使得(726,393)=726p+393q,定理的推论整数a,b互素当且仅当存在整数p,q使得pa+qb=1,定理若a|bc,并且(a,b)=1，那么a|c.,1.5数环和数域,定义1设S是一个全体复数集合C的一个非空子集.如果对于任意的a,bC,都有a+b,ab,abC则称C为一个数环.,数环的例子：,定义2设F是一个数环.如果(i)F含有至少一个非零元；(ii)对于F中任意的非零元a,均存在bF,使得ab=1.则称F为一个数域.,数域的例子：,定理1.5.1任何数域均包含了有理数域.,Exercises,PP.6-7:3.4.6.(i),(iii);PP.14-15:3.7.8.10;PP.18:1.2;PP.23:2.4.5.,Ch.2多项式(Polynomial),2.1一元多项式(unarypolynomial),2.1,2.2带余除法整除(Divisionwithremainder),2.2,2.3最大公因式(greatestcommonfactor:gcd),2.3,2.4不可约(irreducible)多项式唯一因式分解定理,2.5重因式,2.6多项式函数,2.7代数基本定理复系数与实系数多项式的因式分解,2.8有理系数多项式,2.9多元多项式,2.10对称多项式,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.4,2.10,补充一：三、四次方程的公式解,补充二：插值法,*,*,Ch.3.多项式(Polynomials),2.1一元多项式(unarypolynomials),2.1一元多项式的概念及其运算(operation),定义1设R是一个数环R上一个文字x(xR)的一元多项式指的是形式表达式anxn+an1xn1+a1x+a0(1)其中n是任意非负整数,系数ai(i=0,1,n)属于R,x称为不定元,系数全为零的多项式称为零多项式，记为0,在多项式(1)中,aixi称为i次项,ai称为i次项的系数,i=0,1,n.零次项a0 x简记作a,也称为常数项,用(x)，g(x)，等来代表一元多项式,定义2数域P上的两上一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数相等,设(x)代表多项式(1)如果an0,那么anxn称为多项式(x)的首项(最高次项)，an称为首项系数，n称为多项式(x)的次数(degree)，记作(x).,零多项式0的次数定义为,记数环R上的所有一元多项式组成的集合作Rx,设(x),g(x)Px，其中(不妨设nm)(x)anxn+an1xn1+a0=g(x)=bmxm+bm1xm1+b0=(i)(x)与g(x)的和是一个多项式h(x)=其中h(x)的i次项的系数为ci=ai+bi，i=0,1,n记作h(x)=(x)+g(x),(ii)(x)与g(x)的乘积是一个多项式p(x)=其中p(x)的s次项的系数为ds=,s=0,1,n+m记作p(x)=(x)g(x).,1加法交换律，即+g=g+;,运算法则:(x)，g(x)Px，有,2加法结合律，即(+g)+h=+(g+h);,3零多项式具有性质:0+=+0=;,4设(x)=aixi，定义(x)=(ai)xi，则+()=()+=0,称是的负元素；,5乘法交换律，即g=g；,6乘法结合律，即(g)h=(gh);,7零次多项式1具有性质：1=1=；,8乘法对于加法的分配律：(g+h)=g+fh和(g+h)=gf+hf,定理2.1.1设(x)，g(x)Rx,则(i)(g)max(f)，(g)(ii)如果0,g0,则g；并且有(g)=()+(g),由定理2.1.1的证明，得：,多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积,推论2.1.2(x)g(x)=0当且仅当(x)和g(x)中至少有一个是灵多项式,推论2.1.3(9乘法消去律)如果(x)g(x)=(x)h(x),且(x)0,则g(x)=h(x),定义设R是一个数环，称R上所有一元多项式的全体Rx关于如上定义的多项式加法和乘法构成的环为R上一元多项式环.,2.2带余除法整除性质初步Divisionwithremainderdivisibility,定理2.2.1(带余除法)对于Fx中任意两个多项式(x)与g(x)，其中g(x)0，在Fx中存在唯一的一对多项式h(x)，r(x)，使得(x)=h(x)g(x)+r(x),(r(x)1时，a称为(k)重根.,定理2.6.3Rx中的n次(n0)多项式在R中至多有n个根(重根重数计算).,定理2.6.4设Rx中两个多项式(x)与g(x)的次数都不超过n.如果x分别用R中n+1个不同元素a1,a2,an+1代入,有(ai)=g(ai),i=1,2,n+1,则(x)=g(x).,插值法,Rx中两个次数不超过n的多项式(x)与g(x),如果它们在R的n+1个不同元素a1,an+1上有(ai)=g(ai)，i=1,n+1则这两个多项式相等.这说明:数域R上一个次数不超过n的多项式，被它在R的n+1个不同元素上的值所唯一确定.,Lagrange插值公式设c0,c1,cn是数环R中n+1个不同的元素,d0,d1,dn是数环R中n+1个元素,则Rx中存在唯一的次数不超过n的多项式(x),使得(ci)=di，i=0,1,n其中,Newton插值公式设c0,c1,cn是数环R中n+1个不同的元素,d0,d1,dn是数域R中n+1个元素,则Rx中存在唯一的次数不超过n的多项式(x),使得(ci)=di，i=0,1,n其中公式中的诸ui通过把x逐次用c0,c1,cn代入而求得.,例求一个次数不超过3的多项式(x)使得：(0)=5,(1)=7,(1)=9,(2)=13,例1考查2是否为f(x)=x56x4+11x32x212x+8的根.如是，请问是几重根？,例2证明:Qx中的项式没有重因式（根）.,例3证明:一n(1)次多项式f(x)有n重根的充分必要条件是f(x)|f(x).,例7求t的值使得f(x)=x33x2+tx1有重根.,例8设a是f(3)(x)的一个n重根.证明a是的一个k+3重根.,例9证明:如果(x2+x+1)|f(x3)+xg(x3),那么(x1)|f(x),(x1)|g(x).,例10证明:如果(x1)|f(xn),那么(xn1)|f(xn).,ExercisesPP.65-661.;2.;3.;4.(ii);5.7.9.,7复系数和实系数多项式的因式分解,一、复系数多项式,定理2.7.2每一个n(n0)次复系数多项式在复数域上有n个根(重根重数计算).,代数基本定理每个次数大于零的复系数多项式在复数域中至少有一个根.,复系数多项式唯一因式分解定理每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.,从而:复数域上每个次数大于2的复系数多项式均可约.,二、根与系数的关系,设(x)=xn+a1xn1+an,在复数域上唯一地分解成一次因式的乘积:(x)=(x1)(x2)(xn),设(x)=xn+a1xn1+an=(x1)(x2)(xn),比较得：a1(1+2+n);a212+13+n1n;a3(123+124+n2n1n);an1=(1)n1(12n1+13n+2n1n)an=(1)n12n,例求有单根5与2以及二重根3的四次多项式.,即求(x)=(x5)(x2)(x3)(x3)或者(x)=a(x5)(x2)(x3)(x3),从而：a1(52+3+3)=9;a25(2)+53+53+(2)3+(2)3+33=17;a3(5(2)3+5(2)3+533+(2)33)=33;a45(2)33=90;,故：(x)=x49x3+17x2+33x90，或者(x)=a(x49x3+17x2+33x90).,三、实系数多项式,实系数多项式的虚根共轭成对出现.,定理2.7.4实数域上的不可约多项式都是一次或二次的;实系数二次多项式(x)=ax2+bx+c不可约当且仅当它的判别式b24ac1)是无理数.,例3设p是一个素数，多项式(x)=xp1+xp2+x+1称为一个分圆多项式.证明(x)在Q上不可约.,例4证明:如果是有理系数多项式f(x)的无理根(a,b0均为有理数),则也是f(x)的根.,ExercisesPP.79-801.(ii),(iv);2.;3.;4.(i),(ii).,习题课：,例1在实数域和复数域上分解下列多项式的因式(x)=x4+1,例2求下列多项式的公根(x)=x3+2x2+2x+1；g(x)=x4+x3+2x2+x+1,例3证明：多项式xd1整除xn1的充分必要条件为d|n.,例6举例说明“如果a是f(x)的一个m重根则是f(x)的一个m+1重根”是不正确的.,例4如果a是f(x)的一个k重根，则是下述多项式的k+3重根,例5证明：如果a是f(x)的一个根，并且a是f(x)的一个k(1)重根,则a是f(x)的一个k+1重根.,例8证明：如果f(x)|f(xn),那么f(x)的根只能是零或单位根.,例7证明定理5的逆:设p(x)是次数0并且首项系数为的多项式.如果对任意的多项式f(x)和g(x),由p(x)|f(x)g(x),就一定有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)是一个不可约多项式.,例9证明:如果是有理系数多项式f(x)的无理根(a,b0均为有理数),则也是f(x)的根.,补充一：一元高次方程的公式解问题,一元二次方程ax2+bx+c=0的公式解为,1.一元二次方程的公式解,2.一元三次方程的公式解(Cardano公式),1515年：意大利波罗利亚大学（当时欧洲最著名)的Ferro教授,1535年：意大利威尼斯数学家Tartaglia重新发现并仍然保密只透露给意大利米兰数学家Cardano.,1545年:Cardano没有信守诺言,在大法一书中予以公布.,一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的公式解:,首先化为x3+b/ax2+c/ax+d/a=0,再令y=x+b/3a,方程化为,即求解一般的一元三次方程可归结为求解如下的一元三次方程:,再作代换:x=zp/(3z)得,以及,由一元二次方程的公式解得:,其中为1的三次方根.,3.一元四次方程的公式解(1522年,Cardano的学生Ferrari),一元四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的公式解:,即:(x2+ax/2)2=(a/4b)x2cxd,两边加(x2/2+ax/2)t+t2/4得:,(x2+ax/2+t/2)2=(a2/4b+t)x2+(at/2c)x+(t2/4d),选取t使得右边的判别式为零(配成完全平方):(at/2c)2x4(a2/4b+t)(t2/4d)=0,即:t3bt2+(ac4d)ta2d+4bdc2=0,利用Cardano公式求任一解t0,则有:,利用Cardano公式求任一解t0,则有:,(x2+ax/2+t0/2)2=(a2/4b+t0)1/2x+(t0/4d)1/22,此方程又等价于两个二次方程:,解这两个二次方程得四个根.,4.一元五次以上的方程无公式解(1824年,挪威人Abel,1831年法国人Galois),2.9多元多项式*,n元多项式：若干个关于变元x1,x2,xn的n元单项式的代数和称为关于变元x1,x2,xn的n元多项式.,n元单项式：设R是一个数环,aR，x1,x2,xn是n个文字.称形为的式子为关于变元x1,x2,xn的n元单项式.,n元多项式环：数环R上所有关于变元x1,x2,xn的n元多项式的全体称为关于变元x1,x2,xn的n元多项式环，记为：Rx1,x2,xn,字典排序法：关于变元x1,x2,xn的任一n元单多项式唯一地对应一个n元数组(k1,k2,kn).对任意的两个n元数组(k1,k2,kn)和(l1,l2,ln),如果存在1in,使得k1l1=0,k2l2=0,ki1li1=0,kili0那么,我们称n元数组(k1,k2,kn)先于(l1,l2,ln),即：(k1,k2,kn)(l1,l2,ln),n元多项式的首项：由字典排序法排出的第一个系数不为零的一n元多项式的单项式称为该多项式的首项.,定理2.9.1两个非零多项式的乘积的首项等于这两个多项式的首项的积.,推论1多个非零多项式的乘积的首项等于各多项式的首项的积.,推论2多个非零多项式的乘积为非零多项式.,n元多项式的次数：其首项的次数.,n元多项式函数：,一n元多项式的各单项式的次数均相等.,齐次n元多项式：,2.10对称多项式*,称形为的式子为关于变元x1,x2,xn的初等对称多项式.,定义1n元多项式f(x1,x2,xn)称为对称多项式，如果对任意的1Ijn,有f(x1,xi,xj,xn)=f(x1,xj,xi,xn),引理2.10.1设是数环R上一n元多项式.以初等对称多项式i代替xi(1in),得到一个关于1,2,n的多项式：如果f(1,2,n)=0,那么f(x1,x2,xn)=0.,性质如果是对称多项式f(x1,x2,xn)的一项，则也是f(x1,x2,xn)的一项,其中是k1,k2,kn的一个排列.,定理2.10.2(对称多项式基本定理)任一n元对称多项式f(x1,x2,xn)都可(唯一地)表为初等对称多项式的多项式，即，存在一个n元多项式(y1,y2,yn)使得f(x1,x2,xn)=(1,2,n),例1将三元对称多项式f(x1,x2,x3)=x13+x23+x33表为初等对称多项式的多项式.,例2将n元对称多项式f(x1,x2,xn)=x12x22表为初等对称多项式的多项式.,3.1引言(introduction),Ch.3行列式(Determinants),3.1,3.2排列(permutation),3.2,3.3n级行列式,3.3,3.4行列式的性质,3.4,3.5行列式的计算,3.6行列式按一行(列)展开,3.7克兰姆法则(CramersRule),3.8LaplacesTheorem,复习及习题课,3.6,3.7,3.8,3.9,3.5,Ch.3Determinants,可应用于判定方阵是否可逆；,行列式是方形矩阵一个十分重要的数字特征；,可应用于计算可逆矩阵的逆矩阵；,可应用于解一类线性方程组：Gramer法则.,1引言(introduction),n元线性方程组,aij-双重脚标表示aij为方程组(1)的第i个方程中第j个未知量的系数.,要解决的问题：,1）方程组是否有解？什么情况下有解？什么情况下无解？,2）有解时：什么情况下解唯一？什么情况下有无穷多解？无穷多解时解如何表示？,（一）二阶行列式,（次对角线）,+（主对角线）,（二）三阶行列式,画线法记忆,+,+,+,-,-,-,给定一个二元线性方程组：,如果其系数构成的二阶行列式,则原方程组有唯一解：,其中,类似地，给定一个三元线性方程组：,如果其系数构成的二阶行列式,则原方程组有唯一解：,其中,2排列(permutation),定义由1,2,n组成的一个有序组称为一个n级排列.,性质共有n！个n级排列.,定义在一个n级排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,则称它们为此排列的一个反序.一个n级排列中的反序总数称为此排列的反序数.,在一个n级排列j1j2jn中,记此排列的反序数为：(j1j2jn),定义一n级排列的反序数为偶数则称为偶排列;否则,称为奇排列.,对换(transposition)将一个n级排列中的两个数互换位置而得到另一个n级排列的变换.,定理3.2.2对换改变一n级排列的奇偶性.,定理3.2.1设i1i2in和j1j2jn是任意两个n级排列.那么经若干对换可将i1i2in化为j1j2jn.,推论n级排列中奇偶排列各一半(n!/2).,3n级行列式,约定：从本节开始,如不做特别申明,课程中提到数为一固定的数域P中的元素.,设a是一个数.由a构成的一级行列式为|a|=a,一级行列式：,二级行列式,三级行列式,定义定义n级行列式为,其中,表示对所有的n级排列求和.,从而，一n级行列式的展开式为n!个项的代数和，而每一项为行列式中不同行和不同列的n个数的乘积.,例计算下列二阶行列式,例计算下列三阶行列式,例计算下列四阶行列式,例1计算下列四阶行列式,引理3.3.1n阶行列式D=|aij|的一般项可以记为其中，i1i2in和j1j2jn是任意两个n级排列.,定义又可定义n级行列式为,行列式的性质,命题3.3.1转置行列式与原行列式的值相等.,转置行列式:一行列式D所对应的行列互换得到的新行列式称为原行列式的转置，记为D.,推论3.3.1一n(n2)级行列式中，如有两行或两列元素完全相同，则此行列式为零.,命题3.3.2交换行列式某两行或某两列的相互位置,行列式的值反号.,命题3.3.2,推论3.3.3设D是n(n2)级行列式.如D中某一行或某一列元素全为零，则D=0.,推论3.3.4当n2时，如D中某两行或某两列元素对应成比例,则D=0.,命题3.3.4,命题3.3.5将行列式的某一行（或某一列）的元素分别同乘一数后加到另一行（或另一列）对应位置上的元素后得到的行列式的值不变.,例1计算行列式,例2计算行列式,例3计算下列行列式的值(书上例3解法类似),例4上、下三角行列式的值为主对角线上元素之积.,例5设D为一n级行列式，其元素满足(反对称行列式)aij=ajii,j=1,2,n证明：当n为奇数时，D=0.,Exercises,P.1071.(i),(iii).PP.118-1191.(ii);3.;5.;6.;8.,4子式和代数余子式行列式按一行(列)展开,定义1在一个n阶行列式D中取定任意k行和任意k列，位于这k行k列交叉位上的元素按它们原有的顺序构成的k阶行列式称为D的一个k阶子式.,定义2在一个n阶行列式D=|aij|中将第i行和第j列去掉后得到的一个n1阶行列式称为aij的余子式，记为Mij.并称Aij=(1)i+jMij为aij的代数余子式.,定理1,定理2-3设D=|aij|为一n阶行列式,则(1)D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin;(2)D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj；(3)0=ai1Ak1+ai2Ak2+ainAkn,ki;(4)0=a1jA1l+a2jA2l+anjAnl,lj.,例4求下述行列式的值,补充：高阶行列式的计算方法,各行(列)元素之和为常数时的方法,此时将每列(行)加到第一列(行).,例1计算n阶行列式,2.逐行(列)相加法此法往往用于行列式的元素以行或列规律地变化.特别要注意行(列)相加的顺序.通常是从第二行(列)开始将第i行(列)的若干倍加到第i1行(列),或从倒数第二行(列)开始将第i行(列)的若干倍加到第i+1行(列)将原行列式化为一个易于计算的（例如：三角形）行列式.,例2求下述行列式的值,第一步:ri(1)+ri1,i=2,3,n.,第二步:ri(1)+ri1,i=2,3,n1.,例3证明范德蒙行列式,对n用数学归纳法：ri(1)+ri1,i=2,3,n.,例4求下述行列式的值,第一步:ri1+ri+1,i=1,3,n1.,第二步:ri(ai)+ri1,i=n,n1,2.,3.拆边法将行列式的某一行（或某一列）的元素分别全部写成两个元素之和，从而将原行列式拆成两个行列式之和以达到简化计算的目的.,例5计算下述n级行列式的值.,例6证明，如果a1,a2,an均不为零，则,4.递推法先得到n阶行列式Dn和n1阶行列式Dn1甚至更低阶的行列式的递推关系解得Dn的值.,例7计算下述n级行列式的值(ab).,方法：ri(1)+ri+1,i=n1,n2,1,再按第n行展开,得到递推关系,并利用a和b的对称性.,5.归纳法法先依次计算一、二甚至三阶行列式的值.根据这些值推断高阶行列式的值的表达式,然后利用数学归纳法予以证明.,例9计算下述n级行列式的值().,例(补充)证明,对n用数学归纳法,n=1:按第一行展开即是.,设n1时命题成立.考虑n的情形：,1a110.做变换c1(a1j/a11)+cj,j=2,3,k:,按第一行展开得：,再由归纳假设得(注意上式行列式中左上角是k1级子式)：,而,为原行列式中左上角k级子式经变换c1(a1j/a11)+cj,j=2,3,k得到,故等于该子式.从而由归纳法原理得证.,2a11=0,并且所有的a1j=0,j=2,3,k:显然D=0，并且右边也等于0.3a11=0,但a1j0.将第j列与第一列互换化成1的情形,而右边第一个行列式也交换该两列即得等式。,6.加边法对除对角线上元素外，第i行(列)元素分别是固定的b1,b2,bi1,bi+1,bn倍，即形如的n级行列式，通过如下的加一行和一列将其升级为n+1级行列式(并且值不改变)再进行计算：,例10计算下述n级行列式的值.,|A|=na12n1a22n1an2n1,Exercises,PP.131-1321.;2.(ii),(iv),(v),(vi),(vii),5克兰姆法则(CramersRule),给定一类特殊的线性方程组其系数构成一个nn行列式D.如果D0,则方程组(1)有唯一解，即：,定理4(CramersRule)如果线性方程组(1)中行列式D0,则方程组(1)有唯一解：其中,例解方程组,定义线性方程组称为齐次线性方程组.,齐次线性方程组显然有一个平凡的解：(0,0,0),即x1=x2=xn=0.我们关心的是(2)是否有非零解？,定理齐次线性方程组(2)其系数行列式D0,则方程组(2)只有零解，即：如果齐次线性方程组(2)有非零解，则其系数行列式D=0.,例题求在什么条件下,以下齐次线性方程组有非零解:,Exercises,P.1371.,6*LaplacesTheorem,子式(minor)与代数余子式(cofactor),定义1在一个n级行列式D中任意选取某k(kn)列和某k行.位于这些交叉位上的k2个数按原有的排法构成一个k级行列式M称为D的的一个k级子式.而在D中划去这k列和k行余下的元素个数按原有的排法构成一个nk级行列式M称为k级子式M的余子式.,定义2设n级行列式D的k级子式M在D的行和列指标分别为i1,i2,ik和j1,j2,jk.则M的余子式为M.则称为M的代数余子式.,引理行列式中任一k级子式与它的代数余子式的积中的每一项均是原行列式展开式中的项，所带的符号也一致.,定理6(LaplacesTheorem)在n级行列式D中任取k(kn)行,则这k行的全部k级子式分别与它们的代数余子式的积的和等于D.,例1证明,定理(行列式乘法定理)两个n级行列式和的乘积等于一个n级行列式其中cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj,Exercises：P.137,1.(i)2.,复习要点：,1.能够计算最大公因式(f(x),g(x),最小公倍式f(x),g(x)，求u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)；,4.能够求两个给定多项式的公根；,7.能够用Eisenstein判别法判定给定有理系数多项式的不可约性；,2.能够判定一给定多项式是否有重因式；,3.能够判定一给定多项式是否有重因式、重根；,5.会用综合除法；,6.会计算给定有理系数多项式的全部有理根；,复习要点：,8.理解不可约多项式的重要作用；,13.会用Laplace定理计算一些特殊行列式；,9.会利用行列式的定义定出一给定行列式展开式中任一项的符号；,10.能利用行列式的性质简化行列式计算；,11.能利用行列式按任一行(列)展开的公式进行列式计算；,12.会应用数学归纳法证明行列式等式；,14.会用Cramer法则求解一类特殊线性方程组.,习题课,1.设,则f(x)的常数项为？f(x)=？,2.设n阶方阵A的行列式|A|=|A1A2An|=3,Ai为A的第i列.则|Aj1Aj2Ajn|=?,3.设5阶方阵A=(aij)55.如下那些是行列式|A|中带有正号的项？,a31a52a13a44a25;,a32a51a15a43a24;,a13a25a32a41a54.,习题课,4.设方程其中a1,a2,an-1为互不相同的数，求此方程的全部根.,习题课,5.解方程,习题课,6.利用下列行列式证明所有的n级排列中齐偶排列各一半：,习题课,7.计算下列行列式的值：,习题课,8.计算下列行列式的值：,习题课,9.证明：,习题课,10.计算下述n级行列式的值：,习题课,11.计算下述n级行列式的值：,习题课,12.计算：,4.1高斯消元法(GaussianElimination),Ch.4线性方程组(LinearEquationSystems),4.1,4.2n维向量空间(vectorspace),4.2,4.3线性相关性(lineardependence),4.3,4.4矩阵的秩(Therankofamatrix),44,4.5线性方程组解的判定,4.6线性方程组解的结构,4.7二元高次方程组*,复习及习题课,4.6,4.7,4.8,4.5,n元线性方程组,aij-双重脚标表示aij为方程组(1)的第i个方程中第j个未知量的系数.,Ch.4LinearEquationSystems,4.1GaussianElimination,两个方程组的解集如果相同，则称这两个方程同解(equivalent).,一个n元有序数组(c1,c2,cn)如果满足方程组(1)中的每一个方程，则称其为方程组(1)的一个解(solution).,方程组(1)的全部解的集合称为(1)的解集(setofsolutions).,例1解下列方程组,在直角坐标系中作出其图形.,现在考虑如下的两个线性方程组:,这两个方程组同解,而且方程组(b)更容易求解:此方程组有唯一的解x=19,y=25,z=9方程组(b)称为阶梯形方程组.,一个元线性方程组如满足如下条件则称为阶梯形(echelonform)方程组.,(i)如方程组中某一方程的各项系数全为零,则它下方的所有方程(如有)的各项系数全为零;,(ii)如方程组中某一方程的各项系数不全为零,并且第一个不为零的项是第i项,则此方程下方的所有方程(如果存在)的第1,2,i项的系数全为零.,消元法就是要对给定的线性方程组施行三种初等变换将其变换成一个同解的阶梯形方程组,从而达到求解的目的.,三种初等变换：,2.某一方程乘以一数后加到另一方程上；,3.交换某两个方程的相互位置.,1.用一非零数乘以某一方程;,定理4.4.1一线性方程组经若干初等变换后得到的方程组与原方程组同解.,矩阵(matrix)的定义,一个行列的数表:,称为一个sn级矩阵,aij称为该矩阵(i,j)位置上的元素.i为的行(row)编号,j为的列(column)编号.为方便计,用记号A=(aij)sn表示是一个s行n列的矩阵.特别地，当s=n时，称其为n级方阵.,方阵的行列式,设A=(aij)nn一个n级方阵.定义矩阵A的行列式为,再看n元线性方程组：,我们称A=(aij)sn为方程组(1)的系数矩阵,而称下述矩阵为方程组(1)的增广矩阵:,定义满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵(rowechelonformmatrix):i)如一行元素全为零,则它下方的行(如有)也全为零;ii)如某一行元素不全为零,并且第一个不为零的元素位于第i列(称为主元),则它下方所有的行(如果存在)的前i个元素全为零.,定义一阶梯形矩阵如果某一行元素不全为零,则其第一个元素为1,并且其所在列的其它元素全为零,则称为行最简形矩阵.,例如，以下矩阵均是行阶梯形既行最简形矩阵：,定义2矩阵的初等行变换(elementaryrowtransformation)是指下述矩阵变换之一:,3)某一行乘以一个数k后加到另一行上,并用记号kri+rj表第i行乘以数k后加到第j行上.,2)某一行乘以一个非零数,并用记号kri表第i行乘以数k0.,1)交换两行的位置;并用记号rirj表i,j行互换;,定义2(继续)矩阵的初等列变换(elementarycolumntransformation)是指下述矩阵变换之一:,3)某一列乘以一个数k后加到另一列上,并用记号kci+cj表第i列乘以数k后加到第j列上.,2)某一列乘以一个非零数,并用记号kci表第i列乘以数k0.,1)交换两列的位置;并用记号cicj表i,j列互换;,定理4.4.1一线性方程组经若干初等变换后得到的方程组与原方程组同解.,定理4.4.1(矩阵形式)以一线性方程组的增广矩阵经若干行初等变换后得到的矩阵为增广矩阵的方程组与原方程组同解.,定理4.1.2任一矩阵经若干初等行变换可化为阶梯形矩阵,并可进一步化为行最简形矩阵；最后，再经第一型初等列变换可化为如下的行最简形矩阵：,例将以下矩阵经初等变换化为行阶梯形.,线性方程组解的讨论,设给定n元线性方程组：,为讨论方便起见,设经若干初等变换后可设方程组(1)的增广矩阵化为如下形式的行最简形矩阵：,从而,对应到如下的与(1)同解的方程组：,情形1(8)式中dr+10.方程组(8)是一个矛盾方程组,无解.因此线性方程组(1)也无解.,即有唯一解：xi=di，i=1,2,n.,情形2(8)式dr+1=0,并且r=n.,此时方程组(9)以及方程组(1)与下述方程组同解.,情形3(8)式dr+1=0,并且rn.,变元xr+1,xr+2,xn任意取一组值：sr+1,sr+2,sn,此时应用情形2,可得变元x1,x2,xr确定的一组值:s1,s2,sr,并且,s1,sr,sr+1,sn,为方程组(1)的一个解.再由变元xr+1,xr+2,xn的任意性,方程组(1)有无穷多个解.,式子(18)中变元因xr+1,xr+2,xn,可自由取值,故称作为自由未知量或自由变元(freevariable).,而变元x1,x2,xr的值则依赖于xr+1,xr+2,xn的取值,因它们的系数是阶梯形中不为零的行中第一个不为零的数,故称其为主变元(mainvariable).,定理n元线性方程组的解只有三种可能：,方程组经初等变换化为阶梯形后,有矛盾方程0=d,d非零,则方程组无解；,无矛盾方程，并且非0=0的方程个数r=n,解唯一;,3)无矛盾方程，并且非0=0的方程个数rn,有无穷多解.,原方程组无解.,例2解线性方程组,原方程组有唯一的解：(1/2,1,1/2).,原方程组的所有解(无穷多)为其中s,t取任意实数.,ExercisesPP.149-150:1.3.,4.2矩阵的秩线性方程组可解性判定,问题：上一节定理4.1.2中r表示了对应的矩阵的什么内部属性？它在线性方程组解的讨论中的地位如何进一步明确化？,矩阵的k阶子式：在一个mn级矩阵中,将任意取定的不同的k行和任意任意取定的不同的k列交叉位上的k2个元素按它们之间原有的相互位置构成的k阶行列式称为原矩阵的一个k阶子式.,特别地，,定义2一个矩阵A中不等于零的子式的最大阶数称为该矩阵的秩,记为秩A或rank(A)；零矩阵的秩为零.,定理4.2.1初等变换不改变矩阵的秩.,证明的线路,1.事实：如果一矩阵A经一初等变换化为矩阵B,则矩阵B也可经一初等变换化为矩阵A；,2.仅需证明实行一次初等变换不改变矩阵的秩即可.,3.由1-2只需证明：设一矩阵B是一矩阵A经一初等变换得到，则有秩A秩B.,特别地，,定理4.2.2-2.2.3(i)一线性方程组有解当且仅当其系数矩阵的秩r等于其增广矩阵的秩r;(ii)一线性方程组解惟一当且仅当其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩并且等于方程组中未知量的个数；(iii)一线性方程组有无穷多解当且仅当其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩并且小于方程组中未知量的个数.,n元齐次(homogeneous)线性方程组,情形2除零解外还有无穷多个非零解.,情形1只有零解(trivialsolution);,常数项全为零的n元线性方程组,显然,x1=0,x2=0,xn=0是(10)的一个解称为零解.从而,齐次线性方程组解的类型只有两种:,特别地，,定理4.3.2一齐次线性方程组有(无穷多)非零解当且仅当其系数矩阵的秩小于方程组中未知量的个数.,推论4.3.2含有n个未知量和n个方程的齐次线性方程组有(无穷多)非零解当且仅当其系数矩阵的行列式等于零.,推论4.3.3一齐次线性方程组中方程的个数小于未知量的个数则该齐次线性方程组有(无穷多)非零解.,例1解齐次线性方程组,例2齐次线性方程组,应用,城市交通流量图下面是某城市得局部交通图.所示的街道为单向车道(箭头方向).街道尽头处所示数据是其交通高峰期的平均车流量(辆/小时).设计一个数学模型描述此交通网.并考虑如某一天要在街道BC间因故需要车流量控制在150辆/小时以内的可行性.,分析:每一交叉口进入的车辆应等于驰出的车辆数.因而可得关于和的线性方程组,x4和x7是自由变元.因车流量非负,故令x4=s,x7=t为任意非负整数,得所需得数学模型:x1=650-s,x2=s,x3=400+t-s,x4=s,x5=100+t,x6=t,x7=t,要控制B-C区间的车流量不大于150辆/h，即令x4=150，得x1=500,x2=150,x3=250+t,x4=150,x5=100+t,x6=t,x7=t其中t为任意非正整数.(实际上，每条街道的车流量有个最大值，从而可得到t的一个上限).,二货物交换的经济模型,诺贝尔经济学奖获得者瓦希利林梯夫（WassilyLeontief）,在一个原始部落根据分工人们分别从事三种劳动：农田耕作(记以F)，农具及工具的制作(记以M),以及织物的编织(记以C).人们之间的贸易是实物交易.下图给出这三组人之间的交易系统：,此交易系统也可以用如下的表给出：,得到有关x1,x2,x3的齐次线性方程组：,ExercisesPP.156-157:2.;5.;6.PP.164-165:1.;4.;补充：求解下列齐次线性方程组(写出一般解):,5.1矩阵的概念和矩阵的运算,Ch.5矩阵(matrix),5.1,5.2可逆矩阵和矩阵乘积的行列式,5.2,5.3分块矩阵(partitionedmatrix),复习及习题课,5.4,5.3,5.1矩阵的概念和矩阵的运算,1.矩阵的概念,取定一数域F:本章将在F上讨论矩阵.,矩阵的记号:A=(aij)mn表示一个m行n列的矩阵，其第i行和第j列交叉位上的因素为aij.,方阵当m=n时(行数与列数相同)，则称A为n阶方阵或n阶矩阵.,当矩阵A为n阶方阵时，称元素a11,a22,ann为A的主对角线上的元素.,2.一些特殊的矩阵,上三角矩阵一n阶方阵A的对角线以下的元素全为零，则称为上三角矩阵；,下三角矩阵一n阶方阵的主对角线以上的元素全为零，则称为下三角矩阵.,例如，下述两个4阶方阵中，U是上三角矩阵，而V是下三角矩阵：,对角矩阵既是上三角矩阵又是下三角矩阵.,例如，下述矩阵是一个4阶对角矩阵：,对角矩阵既是上三角矩阵又是下三角矩阵,数量矩阵主对角线上元素全部相等的对角矩阵.,单位矩阵主对角线上的元素全为1的数量矩阵,用记号E表示,必要时用In表示其为n阶单位矩阵.,例如，下述矩阵中，B是一个数量矩阵，I4是一个4阶单位矩阵.,零矩阵其元素全为零的nm级矩阵称为nm级零矩阵.记为Onm或简记为O.,3.矩阵的运算,记Mmn(F)为数域F上所有mn级矩阵的集合.,定义两个矩阵A=(aij)sn,B=(bij)rm相等当且仅当s=r,n=m并且aij=bij,i=1,2,s;j=1,2,n.,矩阵的相等(equalto),定义1设A=(aij)Mmn(F),kF.称矩阵D=(kaij)=kA为数k与矩阵A的数量乘法.,矩阵的数量乘法-数乘矩阵,定义2设A=(aij)mn,B=(bij)mnMmn(P),则称矩阵C=(aij+bij)mnMmn(F)为矩阵A与B的和，记为C=A+B.,矩阵的加法(addition),1加法交换律：A+B=B+A;,矩阵的加法和数乘满足以下七条运算法则：,2加法结合律：A+(B+C)=(A+B)+C;,3零元(zero)为零矩阵O：O+A=A+O=A;,4负元:矩阵A=(aij)mn有A=(aij)mn,并且A+(A)=(A)+A=O,5k(lA)=(kl)A;,6(k+l)A=kA+lA;,7k(A+B)=kA+kB.,AB=A+(B),矩阵的减法(subtraction),双重求和公式,定义3设A=(aij)sn,B=(bjk)nm.称矩阵C=(cik)sm其中,为矩阵A和B的积，记为C=AB.,矩阵的乘法(multiplication),注意：1)只有A的列数=B的行数AB才有定义；2)积AB(i,j)为A的第i行与B的第j列对应元素的积之和；3)乘积AB的行数为A的行数，列数为B的列数.,矩阵的乘法满足,1结合律A(BC)=(AB)C.,2左右分配律A(B+C)=AB+AC.,3有单位元:单位矩阵EInAnm=AnmIm=Anm,4k(AB)=(kA)B=A(kB).,例1设计算AB.,例2设计算AB和BA.,注意：1)矩阵的乘法不满足交换律！2)矩阵的乘法不满足消去律！,注意:两个非零矩阵之积可能为零矩阵.,命题任一数量矩阵与同阶方阵乘法可换.,例5用矩阵相