北师大版八年级数学上《5.5里程碑上的数》同步测试含答案

第 1页 （共 17页） 程碑上的数 一选择题 1若甲数的 比乙数的 4倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ） A x 4y=1 B 4y =1 C y 4x=1 D 4x y=1 2一条船在一条河上的顺流航速是 逆流航速的 3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（ ） A 3： 1 B 2： 1 C 1： 1 D 3： 2 3一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少若设原数十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ） A B C D以上各式均不对 4（ 2016春 莱芜期末）甲、乙两人练习跑 步，如果让乙先跑 10米，甲跑 5秒就追上乙；如果让乙先跑 2 秒，那么甲跑 4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 列方程组正确的是（ ） A B C D 二、填空题 5一个数除以 ，余数是 1，则这个数为 6一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两 位数有 个 7一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500风飞行，每小时飞行 460设飞机本身的速度是h，风速是 h，依题意列出二元一次方程组 三、解答题 8有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143求这个两位数 第 2页 （共 17页） 9从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行 3坡每小时行 5到姥姥家需要行 66分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才能到家那么，从小华家到姥 姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？ 10小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个加数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？ 11某山区有 23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 助一名小学生需要学习费用 校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 （ 1）求 a、 （ 2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程） 12甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行， 2分钟相遇问甲、乙两人的速度各是多少？ 13某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车 从开始上桥到完全过桥共用了 1列火车完全在桥上的时间共 40s求火车的速度和长度 14两地相距 280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14小时，逆流航行了 20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？ 三、能力提升 15甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2秒，那么甲跑 4 秒就追上乙若设甲、乙两人每秒分别跑 x、 出的方程组为 第 3页 （共 17页） 16一个两位数，减去它的各位数之和的 3倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是 5，余数是 1这两位数 是多少？ 17甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行如果甲比乙先走 2小时，那么他们在乙出发 果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇问甲、乙两人每小时各走多少千米？ 18某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地如果他以 50 千米 /小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；如果以 75千米 /小时的速度行驶，可提前 24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？ 19甲、乙两人分别从相距 30千米的 A、 过 3小时后相距 3千米，再经过2 小时，甲到 地所剩路程的 2倍，求 甲、乙两人的速度 20甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步相向而行，每隔 2分两人相遇一次，同向而行，每隔 6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？ 21第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？ 四、聚沙成塔 22世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3分，平局时两队各记 1分，败队记 0 分 小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 第 4页 （共 17页） 程碑上的数 参考答案与试题解析 一选择题 1若甲数的 比乙数的 4倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ） A x 4y=1 B 4y =1 C y 4x=1 D 4x y=1 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程 【分析】由题意可得等量关系：甲数 乙数 4倍 =1 【解答】解：根据甲数的 比乙数的 4倍多 1，则 x 4y=1 故选 A 【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写 2 一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（ ） A 3： 1 B 2： 1 C 1： 1 D 3： 2 【考点】一元一次方程的应用 【专题】行程问题 【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度 +水流速度 =顺水速度水流速度 【解答】解：设船的逆水速度为 a，水流速度为 x，则顺水速度为 3a，那么： a+x=3a x 解得： x=a 静水速度 =顺水速度水流速度， 所以静水速度为： 3a a=2a 所以船的静水速度与水流速度之比为 2： 1 故选 B 【点评】本题中虽然有多个未知数 ，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于利用转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解 第 5页 （共 17页） 3一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少若设原数十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ） A B C D以上各式均不对 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】关键描述语是：数字之和为 11；原数加 45，等于此两位数字交换位置 等量关系：个位数字 +十位数字 =11；十位数字 10+个位数字 +45=个位数字 10+十位数字 根据这两个等量关系，可列方程组 【解答】解：设原数十位数字为 x，个位数字为 y 根据题意列出方程组为 故选 C 【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字 10+个位数字 4（ 2016春 莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10米，甲跑 5秒就追上乙；如果让乙先 跑 2 秒，那么甲跑 4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 列方程组正确的是（ ） A B C D 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】本题的等量关系：（ 1）乙先跑 10 米，甲跑 5秒就追上乙；（ 2）如果让乙先跑 2秒，那么甲跑 4秒就追上乙，可以列出方程组 【解答 】解：设甲、乙每秒分别跑 由题意知： 故选： C 【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组 第 6页 （共 17页） 二、填空题 5一个数除以 ，余数是 1，则这个数为 【考点】列代数式 【分析】本题的等量关系为：被除数 =商 除数 +余数 【解答】解： 被除数 =商 除数 +余数， 这个数为 5a+1 【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键 6一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两位数有 个 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设十位数字为 x，个位数字为 y，由十位数字与个位数字之和为 5建立方程求出其解即可 【解答】解：设十位数字为 x，个位数字为 y，由题意，得 ， 由 ，得 y=5 x， 5 x 0， x 5 0 x 5 x=1， 2， 3， 4， 5 这样的两位数为： 14， 23， 32， 41， 50 这样的两位数共有 5个 故答案为： 5 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等式的解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键 第 7页 （共 17页） 7一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500风飞行，每小时飞行 460设飞机本身的速度是h，风速是 h，依题意列出二元一次方程组 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】首先注意公式：顺风速度 =本身的速度 +风速，逆风的速度 =本身的速度风速 然后根据此题中的等量关系： 顺风飞行，每小时飞行 500 逆风飞行，每小时飞行 460方程组即可 【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行 500方程 x+y=500； 根据逆风飞行，每小时飞行 460方程 x y=460 可列方程组 【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程 三、解答题 8有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143求这个两位数 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y，根据个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143，列方程组求解 【解答】解：设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y， 由题意得， ， 解得： 则这个两位数为 49 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解 9从小华家到姥姥家，有一段上 坡路和一段下坡路星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行 3坡每小时行 5到姥姥家需要行 66分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才能到家那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？ 第 8页 （共 17页） 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】行程问题 【分析】可设小华到姥姥家上坡路有 坡路有 小华从姥姥家回来，需要走上坡路 坡路 已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于 两个方程，求解即可 【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有 坡路有 么小华从姥姥家回来，需要走上坡路坡路 根据题意得： 由 得： 10x+6y=33 由 得： 10y+6x=39 10 得： 100x+60y=330 6得： 36x+60y=234 得： x= 将 x= 得： 15+6y=33， y=3； ， 所以，小华到姥姥家有 3有 答：姥姥家离小华家 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解 10小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个加数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用 第 9页 （共 17页） 【分析】设原来的一个加数为 x，另一个加数 为 y，根据两个加数的和分别为 888 和 861建立二元一次方程组，求出其解即可 【解答】解：设原来的一个家数为 x，另一个加数为 y，由题意，得 ， 解得： 答：原来的两个加数分别是 81， 78 【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程组是关键 11某山区有 23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 资助一名小学生需要学习费用 校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 （ 1）求 a、 （ 2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程） 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】（ 1）资助一名中学生需要学习费用 资助一名小学生需要学习费用 据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出 a和 b 的值 （ 2）根据九年级的捐款数和 a， 【解答】解：（ 1）资助一名中学生需要学习费用 助一名小学生需要学习费用 ， 解得： 所以 00， 00 （ 2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是 4， 7 第 10页 （共 17页） 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为 等量关系列方程组求解第 2问根据总人数是 23 和总捐款数可求出解 12甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行， 2分钟相遇问甲、乙两人的速度各是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设甲、乙两人的速度各是 xm/ym/据甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正好追上乙；甲、乙两人同时相向而行， 2分钟相遇，列方程组求解 【解答】解：设甲、乙两人的速度各是 xm/ym/ 由题意得， ， 解得： 答：甲、乙两人的速度各是 80m/70m/ 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解 13某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1列火车完全在桥上的时间共 40s求火车的速度和长度 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设火车的速度为 x 米 /秒，桥的长度为 据行程问题的数量关系路程 =速度 时间建立方程组求出其解即可 【解答】解：设火车的速度为 秒，桥的长度为 y 米，由题意，得 ， 解得： 答：火车的速度为 20 米 /秒，桥的长度为 200米 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据程问题的数量关系路程 =速度 时间建立方程组是关键 第 11页 （共 17页） 14两地相距 280千米，一艘船在其间航 行，顺流航行了 14小时，逆流航行了 20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？ 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设这艘轮船在静水中的速度为 小时，水的流速为 小时，根据顺流航行了 14小时，逆流航行了 20 小时，列方程组求解 【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为 小时，水的流速为 小时， 由题意得， ， 解得： 答：这艘轮船在静水中的速度为 17千米 /小时，水的流速 为 3千米 /小时 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解 三、能力提升 15甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2秒，那么甲跑 4 秒就追上乙若设甲、乙两人每秒分别跑 x、 出的方程组为 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】设甲、乙两人每秒分别跑 x、 据甲让乙先跑 10 米，甲跑 5秒就追上乙；甲让乙先跑 2秒，甲跑 4秒就追上乙，列方程即可 【解答】解：设甲、乙两人 每秒分别跑 x、 由题意得， 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组 16一个两位数，减去它的各位数之和的 3倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是 5，余数是 1这两位数是多少？ 第 12页 （共 17页） 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】应用题 【分析】这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y， 则个两位数表示为 10x+y，然后根据两位数减去它的各位数之和的 3 倍得 23可列方程 10x+y 3（ x+y） =23，由于这个两位数除以它的各位数数之和，商是 5，余数是 1，根据整数的除法得到 10x+y=5（ x+y） +1，然后组成方程组，再解方程组即可 【解答】解：设这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y， 根据题意得 ， 解得 ， 所以这个两位数为 56 答：这个两位数为 56 【点评】本题考查了二元 一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （ 1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系 （ 2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来 （ 3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组 （ 4）求解 （ 5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答 17甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行如果甲比乙先走 2小时，那么他们在乙出发 果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇问甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【考点 】二元一次方程组的应用 【专题】计算题 【分析】设甲，乙速度分别为 x， 时，根据甲乙两人从相距 36千米的两地相向而行如果甲比乙先走 2小时，那么在乙出发后 果乙比甲先走 2小时，那么在甲出发后 3小时相遇可列方程求解 【解答】解：设甲，乙速度分别为 x， 时，依题意得： ， 第 13页 （共 17页） 解得： 甲的速度是 6千米 /每小时，乙的速度是 每小时 【点评】本题考查理解题意的能力 ，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解 18某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地如果他以 50 千米 /小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；如果以 75千米 /小时的速度行驶，可提前 24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？ 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设规定的时间为 x 小时，甲乙两地的距离为 据以 50 千米 /小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；以 75千米 /小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，列方程组求解 【解答】解：设规定的时间为 乙两地的距离为 题意得 ， 解得： 答：甲乙两地的距离为 120 千米 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解 19甲、乙两人分别从相距 30千米的 A、 过 3小时后相距 3千米，再经过2 小时，甲到 地所剩路程的 2倍，求甲、乙两人的速度 【考点】二元一次方程组的应用 【分析】设甲的速度为 h，乙的速度为 h，那么可以分两种情况： 当甲和乙还没有相遇相距 3千米时，根据经过 3小时后相距 3千米，再经过 2 小时，甲到 地所剩路程的 2倍可以列出方程组 解决问题； 当甲和乙相遇了相距 3千米时，根据经过 3小时后相距 3千米，再经过 2小时，甲到 地所剩路程的 2 倍可以列出方程组 解决问题 【解答】解：设甲的速度为 h，乙的速度为 h，则有两种情况： 第 14页 （共 17页） （ 1）当甲和乙还没有 相遇相距 3千米时， 依题意得 ， 解得 ； （ 2）当甲和乙相遇了相距 3千米时， 依题意得 ， 解得 答：甲乙两人的速度分别为 4km/h、 5km/h或 km/h， km/h 【点评】 此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相遇两种情况解题 20甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步相向而行，每隔 2分两人相遇一次，同向而行，每隔 6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？ 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】应用题 【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程 +乙路程 =1； 同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程乙路程 =1 【解答】解：设甲每分跑 x 圈，乙每分跑 则 解得 答：甲每分跑 圈，乙每分跑 圈 【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程 +乙路程 =甲乙相距路程，甲路程乙路程 =甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是