同余问题答案

同余问题 学而思内部资料 第五讲 同余问题 -DaDa侠老师整理侠老师整理 【例【例 1】 有一个大于 1 的整数，除 45，59，101 所得的余数相同，求这个数。 【解】 ：根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数101- 45 = 56，59 - 45 =14，(56,14) =14，14 的约数有 1, 2,7,14，所以这 个数可能为 2,7,14。 Ps：1 舍去的原因在于 除数是 1，余数不存在. 【例【例 2】 若2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数， 除数和余数的和为_。 【解】 ：设除数为 A因为 2836，4582,5164，6522 除以 A 的余数相同，所以他们两两之差必能被 A 整 除又因为余数是两位数，所以 A 至少是两位数5164 - 4582 = 582，6522 - 5164 =1358，因 为(582,1358) =194，所以 A 是 194 的大于 10 的约数194 的大于 10 的约数只有 97 和 194如 果A =194，2386 194 =14 120 ，余数不是两位数，与题意不符如果A = 97，经检验，余 数都是 23，除数+余数= 97 + 23 =120 【例【例 3】 已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解】 ：本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 1998 的约数，同时还要满足大于 10 这个条件。这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约 数，19982 27 37，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16 个约数，其中 1，2，3，6，9 是 比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个. 【例【例 4】 2003 2与 2 2003的和除以 7 的余数是_ 【解】 ：】 ：找规律用7除 23456 2,2 ,2 ,2 ,2 ,2的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，, 因为2003 36672 ，所以 20032 224(mod7)， 而2003 除以7 余1，所以 22 200311(mod7)，所以 20032 220034 15(mod7) . 同余问题 学而思内部资料 【例【例 5】 12342005 12342005除以 10 所得的余数？ 【解】 ：求结果除以 10 的余数即求其个位数字从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的， 而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每 20 个 (20 是 4 和 10 的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的 首先计算 123420 123420的个位数字，为 1+ 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0 +1+ 6 + 3 + 6 + 5 + 6 + 7 + 4 + 9 + 0 = 94 的个位数字，为 4，由于 2005 个加数共可分成 100 组 另 5 个数，100 组的个位数字和是4 100400的个位数即 0， 另外 5 个数为 20012002200320042005 20012002200320042005 ，它们和的个位数字是 1+ 4 + 7 + 6 + 5 = 23 的个位数 3，所以原式的个位数字是 3，即除以 10 的余数是 3 【例【例 6】 六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买成语大 词一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是_元 【解】 ：六名小学生共带钱133 元133 除以3 余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所 以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1易知，这个钱数只能是 37 元，所以 每本成语大词典的定价是(14 +17 +18 + 21+ 26) 3 = 32 (元) 【例【例 7】 求 12 644319的余数 【解】：本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 644319 余 2， 求原式的余数只要求 12 219的余数即可。但是如果用 219 发现会进入一个死循环，因为这时 被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整， 1266 22264 64，64 19 余数为 7， 那么求 12 219的余数就转化为求64 64 19的余数，即 4919 的余数。4919 余数为 11， 所以原式 12 644319的余数为 11. 同余问题 学而思内部资料 【例【例 8】 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是5,2 ,aa a，求这个自然数和a的值. 【解】：将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：(4295) 2848，791，500 21000， 这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ， 故同余。 将这三个数相减，得到848 - 791 = 57、 1000 - 848 =152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而(57,152) =19，所以这个自然数是 19的约数， 显然1 是不符合条件的， 那么只能是19。 经过验证， 当这个自然数是19时， 除429、 791、 500所得的余数分别为11、12、6，6a . 【例【例 9】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能 被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？ 【解】：先找出两个连续自然数，第一个被3 整除，第二个被7 整除例如，找出6 和7，下一个连续自 然数是83 和7 的最小公倍数是21，考虑8 加上21 的整数倍，使加得的数能被13