同济版线性代数笔记

第一章行列式 二阶行列式 第一章行列式 二阶行列式：如下所示 1112 11221221 2122 aa a aa a aa =（1） 数 ij a称为行列式的元素或元，其第一个下标i称为行标；第二个下标j称为列标；位于第i 行第j列的元素称为行列式的( , )i j元。 例：求解二元线性方程组 12 12 3212 21 xx xx = += 解： 12 321223 12 7,14,21 211121 DDD = 得 1 1 14 2 7 D x D =， 2 2 3 D x D = 三阶行列式三阶行列式：如下所示 111213 212223112233122331132132112332 313233 122133132231 aaa aaaa a aa a aa a aa a a aaa a a aa a a =+ （2） 排列（全排列）排列（全排列） ：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列。例如 n=3，则这 3 个元素的排列的种数为 123,132,213,231,321,312，共六种，即种数为 3 3 2 16P = =种。 对于 n 个元素，则其排列的种数为(1)3 2 1! n Pnnn= =LL 逆序数逆序数： 对于 n 个不同的元素， 先假设各元素之间有一个标准次序 （例如 n 个不同的自然数， 可规定由小到大为标准次序） ，很显然，n 个不同的元素排列顺序肯定不止一种，当这些元 素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就说它有一个逆序。 排列中所有逆序 的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列， 逆序数为偶数的排列叫做 偶排列。 不失一般性，设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，规定由小到大为标准次序，设 12n p ppL 为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 i p，如果比 i p大的且排在 i p前面的元素有 i t个，就 说 i p这个元素的逆序数是 i t（因为按照标准排序从小到大， 即在 i p之前本该没有数大于 i p， 但现在有 i t个，所以说有 i t个元素相对于 i p与标准顺序不同，即有 i t个逆序数） ，如果每个 元素都有相应的逆序数（如果没有的话，则其逆序数为零） ，则全体元素的逆序数之总和为 12 1 n ni i ttttt = =+=L，例如排列 32514 的逆序数为 0+1+0+3+1=5 个 n 阶行列式阶行列式： 我们观察三阶行列式可以发现， 其等号右边的每一项都是三个元素的乘积， 且这三个元素都位于不同的行、不同的列，因而等号右边任一项除正负号以外可以写成 123 123ppp aaa。这里的第一个下标（行标）排成标准次序 123，而第二个下标（列标）排成 123 p p p，它是 1,2,3 三个数的某个排列，共3!6=种，对应三阶行列式等号右边的 6 项。 而 这六项前面有的是正号有的是负号，这和 123 p p p的逆序数有关，如果逆序数为偶数则为正， 逆序数为奇数则为负，设 t 为列标排列的逆序数，则正负号表示为( 1)t。依次类推，对于 n 阶行列式，共有 2 n个数，排成 n 行 n 列，其计算如下 12 11121 21222 12 12 ( 1) n n nt ppnp nnnn aaa aaa aaa aaa = L L L MMM L （3） 其中的 12n p ppL为自然数1,2,nL的一个排列，t 为这个排列的逆序数。上式共有 n!项。 行列式简记作det() ij a。 特殊行列式： （1）对角阵对角阵，如下所示 11 (1) 22 2 1 21 2 ;( 1) n n nn nn rr rr rrrrrr rr = LL ON （2）三角形行列式三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角形行列 式。它的值与对角行列式一样。 对换对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种手续叫做对换。将相邻 两个元素对换叫做相邻对换。对换具有如下性质： （1）一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。因而奇排列变成标准排列的 对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。 （标准排列逆序数为 0） 。 （2）因为行列式的结果有行和列两个序列组成，所以每次对换后，其行与列的逆序数 都会变化，经验证，两者的逆序数变化之和为偶数，即不改变行列式奇偶性，因而结果的正 负号也不改变，因而整个行列式也不改变。即行列式可以表示成如下两种方式 1212 11121 21222 1212 12 ( 1)( 1) nn n ntt ppnpppp n nnnn aaa aaa aaaaaa aaa = = L L LL MMM L 上式中的 t 是列标排列的逆序数；t 是行标排列的逆序数。 转置行列式转置行列式：D 的转置行列式记作 DT，如下所示 1112111211 2122212222 1212 nn nnT nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa DD aaaaaa = LL LL MMMMMM L 行列式性质行列式性质：行列式具有如下的一些性质： （1）行列式与它的转置行列式相等。 （2） 互换行列式的两行 （列） ， 行列式变号 （因为只对换了行或列， 互换一次是奇数次） 。 （3）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 （4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘以此行列式。 （5）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 （6）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 （7）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式可以写成相应的两个行 列式之和，例如第 i 列的元素都是两数之和，则有 1112111111211 111211 212222 2122222212222 12 1212 () () () iinin in in iinin nnninn nnnininnnnninn aaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaa D aaaa aaaaaaaaa + + =+ + LLLLLL LLLLLL MMMMMMMMMMMM LL LLLL （8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变。如下所示 11111111111 21222212222 11 () () () ijnijjn ijnijjn nninjnnnninjnjnn aaaaaakaaa aaaaaakaaa aaaaaakaaa + + = + LLLLLL LLLLLL MMMMMMMM LLLLLL 例：计算行列式 3 112 5 134 2011 15 33 D = 解 122141 13121312 15340846 ;5 02110211 5 1330 1627 ccrr rr + 23324243 1 312 13121 312 0 211 02110 211 5 4 ;840 0 0810 08460 08104 5 016270 010150 00 2 rrrr rrrr += 例：一种特殊行列式关系如下所示，如果有以下的行列式 111 111111 1 12 111111 11 11 0 ,det(),det() k kn kkk i ji j kn kkknnn nnknnn aa aaba aa DDaDb ccbb aabb ccbb = L MM LL L MMMM LL LL MMMM LL 则 12 DD D= 例：特殊 2n 阶行列式 2 ()n n ab a b Dadbc c d cd = ON NO 余子式余子式：在 n 阶行列式中，把（i，j）元 ij a所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做（i，j）元 ij a的余子式，记作 ij M；另外有( 1)i j ijij AM + = 叫做（i，j）元 ij a 的代数余子式。关于余子式引出的定理有 （1）一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（i，j）元 ij a外都为零，那么这行 列式等于 ij a与它的代数余子式的乘积，即 ijij Da A=。 （2）行列式按行（列）展开法则展开法则：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和。即 1122 (1,2, ) iiiiinin Da Aa Aa Ain=+=LL或 1122 (1,2, ) jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn=+=LL （3）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等 于零，即 1122 0,() ijijinjn a Aa Aa Aij+=L或 1122 0,() ijijninj a Aa Aa Aij+=L 由上面的定理 2 和定理 3 总结出代数余子式的重要性质如下： 1 , 0, n kikjij k D ij a AD ij = = = 或 1 , 0, n ikjkij k D ij a AD ij = = = 其中 1, 0, ij ij ij = = 例： 3 3 1343 31125111 511 513411131 2 ;( 1)1111 20110010 550 15335530 Dcc cc + =+= 1 3 21 511 62 620( 1)40 55 550 rr + + = = 范德蒙德行列式范德蒙德行列式：如下所示 12 21321 1 111 12 111 ()()()() n nnnij n ij nnn n xxx Dxxxxxxxx xxx = L L L MMM L 范德蒙德行列式的证明这里就不作细述，值得注意的是，计算 n 阶行列式，常要使用数 学归纳法。数学归纳法的主要步骤是：导出递推公式及检验 n=1 时结论成立。 克拉默法则克拉默法则：含有 n 个未知数 12 , n x xxL的 n 个线性方程的方程组如下 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb += += += L L LLLL L （4） 如果上面的线性方程组的系数行列式不等于零，即 111 1 0 n nnn aa D aa = L MM L 那么方程组（4）有唯一解 12 12 , n n DDD xxx DDD =L，其中(1,2,) j Djn=L是把 系数行列式 D 中的第 j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即 111,111,11 1,1,1 jjn j nn jnn jnn aab aa D aab aa + + = LL MMMMM LL 关于克拉默法则具有以下的一些定理： （1）如果线性方程组（4）的系数行列式0D ，则方程组（4）一定有解，且解是唯 一的；反过来也成立。 （2）如果线性方程组（4）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 （3）齐次线性方程组齐次线性方程组：如果方程组（4）右边的常数项 12 , n b bbL全为零时，则称线 性方程组（4）为齐次线性方程组；如果 12 , n b bbL不全为零时，则称其为非齐次线性方程 组。对于齐次线性方程组， 12 0 n xxx=L一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程 组的零解； 如果存在一组不全为零的数是齐次线性方程组的解， 则称它为齐次线性方程组的 非零解；齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。 （5）如果齐次线性方程组的系数行列式0D ，则齐次线性方程组没有非零解。因为 由上面的第一条克拉默定理知道，当0D 时，线性方程组的解是唯一的，而 12 0 n xxx=L必是齐次线性方程组的解，因而不存在其他的解了，包括非零解。 （6）如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。 第二章矩阵及其运算第二章矩阵及其运算 2,1 矩阵矩阵：由mn个数 ij a（1,2,;1,2,im jn=LL）排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列矩阵，简称m n矩阵。其外面总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，如下 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa = L L MMM L 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵（注意，与行列式的区别，行列式是一个数） 。n 阶矩阵 A 也记作 An. 只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。 两个矩阵的行数与列数都相同时，称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。 2.2，线性变换，线性变换：n 个变量 12 , n x xxL与 m 个变量 12 , m y yyL之间的关系式 111 11221 221 12222 1 122 nn nn mmmmmn ya xa xa x ya xa xa x ya xaxax =+ =+ =+ L L LLLL L 上面方程组表示一个从变量 12 , n x xxL到变量 12 , m y yyL的线性变换。上面方程组 的系数所构成的矩阵称为系数矩阵。 2.3，单位矩阵，单位矩阵：如下的线性变换对应的系数矩阵就是单位矩阵 11 22 nn yx yx yx = = = LLLL 1 1 1 O E O = O 系数矩阵 2.4，对角矩阵，对角矩阵：如下的线性变换对应的系数矩阵就是对角矩阵 11 1 222 nnn yx yx yx = = = LLLL 1 2 n O O = O 系数矩阵 对角阵也记作 12 =diag(,) n L 2.5，矩阵的加法，矩阵的加法：设两个mn矩阵 ij ()Aa=和 ij (b )B =，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B，如下所示 1111121211 2121222222 1122 nn nn mmmmmnmn ababab ababab AB ababab + + += + L L MMM L 设矩阵 ij ()Aa=，则 A 的负矩阵 ij ( a )A= 2.6，数与矩阵相乘，数与矩阵相乘：数与矩阵 A 的乘积记作A或A，规定如下 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa AA aaa = L L MMM L 2,7，矩阵与矩阵相乘，矩阵与矩阵相乘：矩阵相乘具有很实用的功能，如下两个方程组 111 112 2 111 1122133 221 122 2 221 1222233 331 132 2 , xb tb t ya xa xa x xb tb t ya xa xa x xb tb t =+ =+ =+ =+ =+ 上面两个方程组的系数提取出系数矩阵，通过系数矩阵的相乘，可以直接用 t 表示 y， 矩阵相乘的规则如下所示： 1112 11121311 11122113 3111 12122213 32 2122 21222321 11222123 3121 12222223 32 3132 bb aaaa ba ba ba ba ba b bb aaaa ba ba ba ba ba b bb + = + 上面的矩阵相乘可以直接转换成方程组，如下所示 111 11122113 31111 12122213 322 221 11222123 31121 12222223 322 ()() ()() ya ba ba bta ba ba bt ya ba ba bta ba ba bt =+ =+ 由上面可推知：设 ij ()Aa=是一个ms矩阵， ij ()Bb=是一个sn矩阵，那么规定矩 阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn矩阵 ij ()Cc=，其中 1 122 1 s i jijijissjikk j k ca ba ba ba b = =+=L 由上面可知，AB=C 的（i，j）元 ij c就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积。注意的是， 左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数。通常情况下，ABBA，如果它们相等，则 A，B 必然是方阵（但并不是方阵都相等） ，且称此时的方阵 A 与 B 是可交换的。矩阵的乘法虽然 不满足交换律，但满足结合律和分配律，如下所示 （1）(AB)C=A(BC) （2）()()()ABA BAB= （3）A(B+C)=AB+AC 值得注意的是，对于单位矩阵 E，有EAAEA= 单位矩阵乘以一个数得到的矩阵称为纯量阵纯量阵，如下所示 E = O 纯量阵有如下特性：()() nnnnn EAAAE=。即纯量阵与任何同阶方阵都是可交 换的。 对于方阵， 其可进行矩阵的幂矩阵的幂计算， 即， 121111 , KK AA AA AAA A + =L。 很显然， 只有方阵才有幂计算。幂计算具有如下属性： ,() klk lklkl A AAAA + = 但值得注意的是，一般来说()k kk ABA B，只有当 A 与 B 可交换时，两个才相等。 2.8， 转置矩阵， 转置矩阵： 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵， 称之为 A 的转置矩阵， 记作 T A，转置矩阵满足下述的运算规律： （ 1 ）() TT AA=（ 2 ）()T TT ABAB+=+ （3）()T T AA=（4）()T TT ABB A= 2.9，对称矩阵（对称阵），对称矩阵（对称阵） ：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 T AA=，即 ijji aa=，则 A 称 为对称矩阵。其特点是所有元素以对角线为对称轴对应相等。 2,10，方阵的行列式，方阵的行列式：由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，称为方阵 A 的行列式， 记作|A|或 detA。其具有如下的性质： （1） T AA=（2） n AA= （3）ABA B=（4）ABBA= 2.11，伴随矩阵（伴随阵），伴随矩阵（伴随阵） ：行列式A的各元素的代数余子式 ij A所构成的如下矩阵称 为矩阵 A 的伴随矩阵。 11211 12222* 12 n n nnnn AAA AAA A AAA = L L MMM L 伴随矩阵具有如下性质： * AAA AA E=，其证明如下 设 ij ()Aa=， * ij ()AAb=，则 iji1i1i2i2injnij +=ba Aa Aa AA=L（代数余子式的性质，其中 1, 0, ij ij ij = = ） 。 因而 () * ijij ()=AAAAA E= 2,12，共轭矩阵，共轭矩阵：当 ij ()Aa=为复矩阵时，用ija 表示 ij a的共轭复数，则 ij()Aa=称为 A 的共轭矩阵。共轭矩阵具有如下性质 （1）+A BAB=+（2）=AA（3）ABAB= 2.13，逆矩阵，逆矩阵：对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使ABBAE=，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵。A 的逆阵是唯一的，因为若 B，C 都是 A 的逆阵，则有()()BBEB ACBA CECC=。A 的逆阵记作 1 AB =。逆矩 阵具有如下的性质： （1）若逆矩阵 A 可逆，则0A，因为 11 |10AAEA A = （2）A 的逆阵为 1* 1 AA A =，其中 * A为矩阵 A 的伴随矩阵。证明如下： 由伴随矩阵的性质有： * 1 AAA EAAE A =，而 1 AAE =，所以 1* 1 AA A = 由上式可知，A 有逆阵的条件是0A 。我们对于A有如下的定义： 当A=0 时，A 称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵非奇异矩阵。由逆阵的性质可知，A 是可逆矩 阵的充分必要条件是0A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 （3） 若ABE=（或ABE） ， 则 1 BA=， 证： 111 ()()BEBA A BAABA E = 对于方阵的逆阵满足下述运算规律： （1）若 A 可逆，则 1 A也可逆，且 11 ()AA = （2）若 A 可逆，0，则A也可逆，且 11 1 ()AA = （3）若 A，B 为同阶矩阵且均可逆，且 AB 亦可逆，且 111 ()ABB A = （4）若 A 可逆，则 T A亦可逆，且 11 ()() TT AA = 当 A 可逆时，还可定义 01 ,() nn AE AA =，若, n m为整数，则有 nmn m A AA + =，() nmnm AA= 例：设 12313 21 221 ,20 53 34331 ABC = ，求矩阵 X，使其满足AXBC= 析：若 11 ,AB 存在，则有 111111 A AXBBA CBXA CB =，这里演练一下求 解 1 A的过程。 很容易求得20A =，因而 1 A存在，再计算A的余子式，有 111213212223313233 2,3,2,6,6,2,4,5,2MMMMMMMMM= = = = = = 得 112131 *1* 122232 132333 132 264 135 3653 22 222 111 MMM AMMMAA A MMM = = = 同理很容易求出 111 21 31 104 52 104 BXA CB = 2.34，矩阵多项式，矩阵多项式：设 01 ( ) m m xaa xa x=+L为 x 的 m 次多项式，同样地，若 A 为 n 阶矩阵，则 01 ( ) m m Aa Ea Aa A=+L称为矩阵 A 的 m 次多项式。 （1）如果 1 AP P=，其中是对角阵，则 1nn APP=，从而 1111 0101 ( )( ) mm mm Aa Ea Aa APa EPPaPPaPPP =+=+=LL （2）如果对角阵 12 (,) m diag =L，则 12 (,) nnnn m diag =L，从而 1 2 0101 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 () () () m m n m m m m n n a Eaaaa a =+=+ += LL OO OO 例：设 111 102 111 P = ， 1 2 3 = ，APP=， 求 32 ( )23AAAA=+。 析： 11 , ( )( )AP PAPP =，而 32 (1)12 13 10=+ =，(2)10=， ( 3)0=，因为(1,2, 3)diag =，所以( )(0,10,0)diag =。故而 1* 1110101 1 ( )( )102105 000 1110101 APPP P = 2.35，分块矩阵，分块矩阵：对于大矩阵，可以用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个 小矩阵称为大矩阵子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 分块矩阵的运算规则 与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下： （1）设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，即 111 1 r ssr AA A AA = L MM L ， 111 1 r ssr BB B BA = L MM L 其中 ij A与 ij B的行数相同、列数相同，那么 111111 11 rr sssrsr ABAB AB ABAB + += + L MM L （2）设 111 1 r ssr AA A AA = L MM L ，为数，那么 111 1 r ssr AA A AA = L MM L （3）设 A 为m l矩阵，B 为ln矩阵，分块成 111 1 r ssr AA A AA = L MM L ， 111 1 r ssr BB B BA = L MM L ，那么 111 1 r ssr CC AB CC = L MM L 其中 t ijikkj k=1 =CA B LL（i=1, ,s;j=1, ,r） （4）设 111 1 r ssr AA A aa = L MM L ，则 111 1 TT s T TT rsr AA A AA = L MM L （5）设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零 矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即 1 2 s AO A A OA = O ，其中 i A都是方阵，那 么称 A 为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式具有以下性质： 12s AA AA=L。若 0A ， 1 1 1 12 1 s AO A A OA = O 例：设 10001010 01001201 , 12101041 11011120 AB = ，求 AB 把 A，B 分块成如下 1 1000 0100 0 1210 1101 E A AE = M M LL L L L M M ， 11 2122 1010 1201 1041 1120 BE B BB = M M LLL L L M M 则 1111 1212211121122 1010 1201 2433 1131 EOBEBE AB AEBBABBAB = + M M LL M L L M M 2.36，矩阵的行向量与列向量表示，矩阵的行向量与列向量表示：m n矩阵 A 有 m 行，若第 i 行记作 12 (,) T iiiin aaa=L，则矩阵 A 便可记为 1 2 T T T m A = M ，同样，m n矩阵 A 有 n 列， 若第 j 列记作 1 2 j j j mj a a a a = M ，则 12 (,) n Aa aa=L，因而对于矩阵() ijm s Aa =，() ijs n Bb = 的乘积() ijm n ABCc =，便有 111121 221222 12 12 ( ,) TTTT n TTTT n n TTTT mmmmn bbb bbb ABb bb bbb = L L L MMMM L ，很显然，对于对角阵有， 1 111 2 222 TT TT mm n TT m mmm A = OMM 1 2 121 122 (,)(,) nnnn n Aa aaaaa = LL O 这里值得提一下的是，矩阵0A=的充要条件是方阵0 T A A=，这个经常用于推理。 2.37，解向量，解向量：对于线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb += += += L L LLLLLL L 记 ij ()Aa=， 1 2 n x x x x = M ， 1 2 m b b b b = M ， 111211 212222 12 n n mmmnm aaab aaab B aaab = L L MMMM L ，其中 A 称为系数矩 阵，x 称为未知数向量，b 称为常数项向量，B 称为增广矩阵。可记为()BAb=M或 12 ( , )(, ) n BA ba aa b=L，因而上面的方程组可记作 Ax=b 是以向量 x 为未知元，它的 解称为方程组的解向量。 对于克拉默法则，它的唯一解也可以表示为如下形式 jj11j22jj 11 =+ nn xD DD L（b Ab Ab A ） 其证明可由如下步骤得出： 1* 11 AxbxA bxA bA b AD = 第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.1，初等行变换，初等行变换：对于一个方程组，其求解方法通常只涉及系数之间的加减乘除，而 与未知数本身无关，因而总结出初等变换的方法，下面是初等行变换。 （1）对调两行（对调 i，j 两行，记作 ij rr） 。 （2）以数0k乘某一行中的所有元素。 （3）把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去。 如果把上面定义中的“行”换成“列” ，则为初等列变换，行与列变换统称为初等变换。 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价行等价。记作 r AB；同 理有列等价或等价。矩阵之间的等价关系具有如下性质： （1）反身性：AA； （2）对称性：若 AB，则 BA； （3）传递性：若 AB，BC，则 AC。 例：求解线性方程组 1234 1234 1234 1234 22 24 46224 36979 xxxx xxxx xxxx xxxx += += += += 析：上面方程组的增广矩阵为 21112 11214 ( , ) 46224 36979 BA b = 123 ;2rr r 1 11214 21112 23112 36979 B = 233141 ;23rr rrr；r 2 11214 02220 05536 03343 B = 23242 2;5 ;3rrr rr+ 3 11214 01110 00026 00013 B = 3443 ;2rr rr 4 11214 01110 00013 00000 B = 1223 ;rr rr 5 10104 01103 00013 00000 B = 上面的 B5对应方程组为 13 23 4 4 3 3 xx xx x = = = ，取 3 x为自由未知数，并令 3 xc=，则有 1 2 3 4 414 313 10 303 xc xc xc xc x + + =+ 上面的矩阵 45 ,B B都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零 元。 5 B还称为行最简形矩阵行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在 的列的其他元素都为 0。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩 阵和行最简形矩阵， 且一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的， 非零行的行数也是惟一确定 的。 对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形标准形，如下 所示 5 10104 01103 00013 00000 B = 34412 5123 ; 433 cc ccc cccc + + 10000 01000 00100 00000 F = 标准形的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零。对于m n矩阵 A，总可 以经过初等变换把它化为标准形： m n 0 00 r E F = 关于初等变换的基本定理有： （1）设 A 与 B 为m n矩阵，那么： 、 r AB的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使得PAB= 、 c AB的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使得 AQ=B； 、AB 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ=B 注：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。 三种初等变换对应有三种初等矩阵，如下 （1）把单位阵中第 i，j 两行对调（或第 i，j 两列对调） ，在单位阵中，第 i 行与第 i 列 是同等的，因为单位矩阵是斜角为 1 的矩阵。得到初等矩阵如下 1 1 01 1 ( , ) 1 10 1 1 E i j = O L M MOM O 用 m 阶初等矩阵( , ) m Ei j左乘左乘矩阵 ij m n ()Aa =，其结果相当于对调矩阵 A 的 i 与 j 行 （ ij rr） ；类似地，以 n 阶初等矩阵( , ) n E i j右乘矩阵 A，其结果相当于对调矩阵 A 的 i 和 j 列（ ij cc） （2）以数0k乘单位阵的第 i 行（或第 i 列） ，得初等矩阵 1 1 ( ( ) 1 1 E i kk = O O 以( ( ) m Ei k左乘矩阵 A，其结果相当于以数 k 乘 A 的第 i 行（ i rk） ；以( ( ) n E i k右 乘矩阵 A，其结果相当于以数 k 乘 A 的第 i 列（ i ck） 。 （3）以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上，得初等矩阵 1 1 ( ( ) 1 1 k E ij k = O L OM O 以( ( ) m Eij k左乘矩阵 A，其结果相当于把 A 的第 j 行乘 k 加到第 i 行上（ ij rkr+） ， 以 ( ( ) n E ij k右乘矩阵 A，其结果相当于把 A 的第 i 列乘 k 加到第 j 列上（ ij ckc+） 下面是进行初等变换的性质： （1）设 A 是一个m n矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应 的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换， 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。 注 ： 初 等 矩 阵 的 逆 阵 为 ： 1 ( , )( , )E i jE i j =； 1 1 ( ( )( ( )E i kE i k =； 1 ( ( )( ()E ij kE ijk =。 （2）方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 12 , l P PPL，使 12l APPP=L 推论：方阵 A 可逆的充分必要条件是 r AE。 证：A 可逆存在可逆矩阵 P，使得 PA=E。 （参考第 9 页逆矩阵的概念） r AE （参考 16 页关于初等变换的基本定理） 16 页定理表明，如果 r AB，即 A 经过一些列初等行变换后得到 B，则有可逆矩阵 P， 使得 PA=B，下面是求解这个可逆矩阵 P 的过程。 由于( ,)( , )( ,)( , ) r PAB PABP A EB PA EB P PEP = = = ，因此，求得 P 的 过程，就是将（A，E）进行一系列变换，最终使得 A 位置处的矩阵变为 B，这样 E 处得出 的矩阵自然就是 P 了。 例： 设 211 112 462 A = 的行最简形矩阵为 F， 求 F， 并求一个可逆矩阵 P， 使得 PA=F 析：很容易求得 101 011 000 F = ，想要求得 P，则根据上面的方法，即对（A，E） 进 行一系列变换，最终得到（F，P） ，即 A 变成了 F 时候，E 处自然就是 P 了。如下所示 211100101331 ( ,)112010011321 4620010001083 A E = ，从而得到 PA=F 的可逆矩阵 331 321 1083 P = 注：我们发现上面的（F，P）中的 F 最后一行全部是零，如果继续作初等行变换 31323 ,rk rkr rkr+， 则 F 不变换， 但 P 变换， 因而可知本例中的使 PA=F 的可逆矩阵 P 不 是唯一的。 例：设 021 302 230 A = ，证明 A 可逆，并求 1 A。 析：由 17 页推导矩阵 P 的过程可知，其中 PA=B，而由可逆矩阵的概念知，存在 P 使 得 PA=E，因而这里的 B=E，因而如果上例，初等行变换把（A，E）化成（F，P） ，其中 F 为 A 的行最简形，如果 F=E，则 A 可逆（E 也是一种行最简形） 。又 PA=E，因而 1 PA=。 021100 ( ,)302010 230001 A E = 100634 010423 001946 例：求解矩阵方程 AX=B，其中 213 122 132 A = ， 11 20 25 B = 。 析：设有可逆矩阵 P，使得 PA=F 为行最简形，则 P（A，B）=（PA，PB）=（F，PB） 。 根据上面两个例子可知，对矩阵（A，B）作初等行变换把 A 变为 F，同时 B 变为 PB，若 F=E，则 A 可逆，又 PA=F=E，则 1 PA=，从而方程的唯一解 1 XPBA B =。 3.2，矩阵的秩，矩阵的秩：在m n矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列（,km kn） ，位于这些行列 交叉处的 2 k个元素而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式阶子式。m n矩阵 A 的 k 阶子式 共有 kk mn CC个。 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式全等于 0，那么 D 称为 矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩秩，记作 R(A)，零矩阵的秩等于 0。 上面所说的mn矩阵 A 的标准形 m n 0 00 r E F = ，它的秩 R(A)=r。很显然，R(A)就 是 A 的非零子式的最高阶数。因而，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则R（A） s；若 A 中的所有 t 阶子式全为 0，则( )R At。又0( )min,R Am n。 由于行列式与其转置行列式相等，因而 T A的子式与 A 的子式行列式对应相等，而秩的 概念是其不含有全为零的行或列，即行列式值不为 0，又 A 与 T A的行列式值同为零或同时 不为零，因而()( ) T R AR A=。 对于 n 阶矩阵 A， 由于 A 的 n 阶子式只有一个A， 故当0A 时( )R An=， 当