第五章 定积分的换元法_第1页
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.,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,.,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,.,为去掉根号,令,则,当x从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3,于是,尝试一下直接换元求定积分,.,将上例一般化就得到定积分的换元积分公式,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,.,一、换元公式,.,证,.,.,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,.,计算,解1,由定积分的几何意义,等于圆周的第一象限部分的面积,解2,故,o,例2,.,令,解4,令,仍可得到上述结果,解3,.,解,令,例3计算,.,定积分的换元积分公式也可以反过来使用,为方便计,将换元公式的左、右两边对调,同时把x换成t，t换成x,这说明可用,引入新变量,但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限,注,.,例4计算,解,.,例5计算,解,原式,.,例6计算,解一,令,原式,.,解二,接解一,对,令,则,.,证,.,即：奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的,.,例8计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,.,.,（1）设,（2）设,证,.,.,另证,将上式改写为,奇函数,.,例10设f(x)是以L为周期的连续函数，证明,证明,与a的值无关,.,例11设f(x)连续，常数a0证明,证明,比较等式两边的被积函数知，,.,.,例12设f(x)连续,解,.,.,.,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,二、小结,.,思考题,解,令,
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