第五章特征值和特征向量VIP

第五章特征值和特征向量,矩阵的对角化,矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵可对角化的条件,5.1预备知识,一.向量的内积,在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.,内积定义：,夹角：,向量的长度：,内积的坐标表示式：,令,称为向量x与y的内积.,定义1设有n维向量,(1)向量x与y的内积是一个实数,注:,(2)常用符号(x,y)=x,y=xy.,(3)零向量与任一向量的内积为0.,当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为,例1,已知,=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T,则,=,=12+23+(1)1+1(1)=6,也称点积,数量积.,“”,x,y=xTy=yTx,不可省略.,性质:（其中x,y,z为n维向量，为实数):,（1）,（2）,（3）,（4）当且仅当时等号,成立.,(以上性质显然成立),定义2,称为维向量的长度（或范数）.,令,设x=(x1,x2,xn)T,显然|x|0,当|x|=1时,称x为单位向量,零向量的长度为0.,=(a1,a2),=(a1,a2,a3),n维向量的长度是二维、三维的推广.,在R2中，,在R3中，,证:,向量的长度具有下述性质：,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,为实数,（1）显然成立.,下面证明（2）和（3）.,即数乘向量x的长度|x|等于|与|x|的乘积.,(2),根据上式可知，,设是非零向量，,是一个单位向量.,则,这是因为,任一非零向量除以它的长度后,就成了单位向量.,这一过程称为将向量单位化.,(3),所以,由此得,当且仅当x与y线性相关时，等号才成立,对任意n维向量x,y,Cauchy-Schwarz不等式：,有,此不等式还可表示为,如果x与y线性相关，不妨设y=kx,则有,证：,x,y2,设x与y线性无关，,tx+y0，,tx+y,tx+y0,即,t2x,x+2tx,y+y,y0,的判别式一定小于零.,即,x,y2x,xy,y0,或,x,y2x,xy,y,那么对于任意实数t来说，,于是,最后不等式左端是t的一个二次三项式，由于,它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它,=x,kx2,=k2x,x2,=x,xy,y,定义3当时，,定义4当时，,称为维向量与的夹角.,称向量与正交(或垂直).,定义4,，则称x与y正交.,如果x与y的夹角为,显然，零向量与任何向量都正交.,若一个向量组中任意两个向量都正交，,若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，,则称此向量组为,正交规范向量组或标准正交向量组.,则称此向量组为正交向量组.,定义5,例2,设=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.,解:,=1(1)+00+21=1,所以,与的夹角的余弦,例3,解:,=0,设=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.,例4,Rn中的e1,e2,en是一组两两正交的向量,若ij,显然有eiej=0,例5,是R4的一个标准正交向量组.,可以验证,的非零向量组，,证：,k11+k22+krr=0,=i(k11+k22+krr),但ii0,则1,2,r线性无关.,若n维向量1,2,r是一组两两正交,设有实数k1,k2,kr,使得,因为当ij时,ij=0,所以,所以,1,2,r线性无关.,定理1,0,=i0,=ki(ii),所以ki=0,i=1,2,n.,定理3,Rn中任一非零正交向量组中向量的个数,不会超过n.,在Rn中,如果与1,2,r中每一个向量正交,证：,k11+k22+krr为1,2,r的一个线性组合,因为i=0(i=1,2,r),所以,定理2,则与1,2,r任意一个线性组合也正交.,求非零向量,使成为正交向量组.,已知,设,则,例6,解：,即,由,得,从而有基础解系,取,即合所求.,二.Schmidt正交化方法,设,是Rn中的两个向量，,定义,记,称,为向量在上的投影纯量.,记,称向量为向量在上的投影向量.,Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量,作如下的线性变换，化为一组,与之等价的正交向量组的方法：,1.Schmidt正交化,令,可以证明：,两两正交，,且对任何,2.标准化（单位化）,令,则1,2,r就是一组长度都是1的正交向量组.,先正交化，后标准化，次序不可颠倒.,注：,例7将,正交规范化.,先将1，2，3进行正交化，取,解:,再将它们单位化，取,则即为所求.,例8已知1=(1,2,2)T,求非零向量2,3,2,3应满足方程1Tx=0，,它的基础解系为,取2=1=,使1,2,3成为正交向量组.,解:,即x1+2x2+2x3=0,将1,2正交化,3=2,则2,3就是所求.,定义6如果n阶方阵A满足,正交矩阵,（即A1=AT）,那么称A为正交矩阵(简称正交阵).,正交矩阵具有如下性质：,1.若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.,2.两个正交阵的乘积仍是正交阵.,3.正交阵的行列式等于1或1.,4.正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.,5.正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和等于0.,证：,1.因为(A)=A,所以A=A1也是正交阵.,2.设A,B都是正交阵,则,(AB)(AB)=,3.设A是正交阵,而|AA|=,因此|A|2=1,(AB)(BA)=,A(BB)A=,AEA=,AA=E,则AA=E,|AA|=|E|=1,|A|A|=,|A|2,即|A|=1,设A是正交阵,即AA=E,其中i=(ai1,ai2,ain).,4.和5.,将A写成行向量的形式,则A的转置A=,其中,其中,当i=j时，,当ij时，,这样，性质4.和5.得证.,列的情况可以通过AA=E加以证明,定理4A为正交矩阵的充要条件是,A的行（列）向量组为正交规范向量组.,证：,由性质4,5可以直接推出,正交矩阵举例：,(1)n阶单位矩阵En,(2),例9,已知A是正交阵，求x.,解：根据定理4,设,则11=1,即(2x)2+02+02=1x=,设,设为正交变换，则有,定义7若P为正交矩阵，则线性变换,这说明，正交变换不改变向量的长度.,称为正交变换.,5.2特征值和特征向量,概念,定义1设A是n阶方阵，如果数和n维非零,相应的非零列向量x称为,A的对应于特征值的特征向量.,方阵A的特征值；,列向量x使关系式,Ax=x(1),成立，则称是,此处可能是复数，,注：,也可能是复数.,A的元素和x的分量,(EA)x=0),此为n元齐次线性方程组,(AE)x=0,|AE|=0,将(1)改写成,(或改写为,它有非零解的充要条件是,(2),即,定义,称为A的特征矩阵;,其行列式|AE|是的n次多项式,记为f()，,显然，A的特征值就是A的特征方程,方程|AE|=0,称为A的特征方程.,|AE|=0的根，,因此，特征值也称为特征根.,称为A的特征多项式;,A为n阶方阵，,含有未知量的矩阵AE,方程组(AE)x=0的每一个非零解向量，都是与相应的特征向量.,定理1任一n阶矩阵A必有n个复的特征值.,证:因为一元n次方程必有n个复数根(包括重根),所以特征方程|AI|=0有n个复数根，,即A有n个复的特征值.,定理2若x是A的关于特征值0的特征向量,证:,若Ax=0 x，Ax=0 x,则0 x=0 x，,x0，,且又是关于特征值0的特征向量,则0=0,00=0,(00)x=0,定理3,证:,(其中k1，k2为任意常数，且k1+k20).,k1+k2也是(AE)x=0解.,设和均是A的特征值的特征向量，则,线性组合k1+k2也是A的特征值的特征向量.,根据定义,均为齐次线性方程组,(AE)x=0的解,由齐次线性方程组的解的性质，,已知,试确定参数a,b,由特征值和特征向量的定义可知，,及特征向量所对应的特征值.,例1,是,的一个特征向量，,解:,即,于是,所以,故,特征值和特征向量的求法,（1）求出阶方阵的特征多项式,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：,（2）求出特征方程的全部根，,（3）把每个特征值代入线性方程组,即是的特征值；,求出基础解系，,基础解系的线性组合（零向量除外）就是A,对应于的全部特征向量,(AE)x=0,例2求矩阵的特征值和特征向量,解:A的特征多项式为,所以A的特征值为,当时，对应的特征向量应满足,于是，的对应的全部特征向量为,容易求得方程组的一个基础解系为,当时，,（为常数）,解得基础解系,于是，的对应的全部特征向量为,特征值和特征向量的性质,设A是n阶方阵，,则A与AT有相同的特征值.,(特征向量未必相同),定理4,证:,因为,(AE)T,|ATE|,所以,=AT(E)T,=ATE,=|(AE)T|,=|AE|,即A与AT有相同的特征多项式，从而有相同,的特征值.,*定理5设是方阵A的特征值，k,m是正整数，则,(1)c是cA的特征值(c是任意常数).,(2)当A可逆时，1是A1的特征值.,(3)k是Ak的特征值.,*(4),是,的特征值.,证:,(1),所以c(Ax)=c(x),(2),因为Ax=x,且A可逆,x=(A1x),所以A1(Ax)=A1(x),即,A1x=,即(cA)x=(c)x.,因为Ax=x,=(A1x),(3),因为Ax=x,两端同时左乘A，得,A2x=A(x),=(Ax),=2x,两端再同时左乘A，得,A3x=A(2x),=2(Ax),=3x,依此类推，得,Amx=mx,(4),可由(1)，(3)推出,定理6设阶方阵的个特征值为,(1),角元之和，称为矩阵A的迹,(2),n阶方阵A可逆的充要条件是它的,则,推论,任一特征值都不等于零.,是A的主对,其中,记作tr(A),定义,的迹，,矩阵的迹有如下的性质：,(1)tr(A+B)=trA+trB,(3)tr(AT)=tr(A),(2)tr(kA)=ktr(A),n阶方阵A的主对角线上元素之和称为矩阵A,记为,tr(A).,即,tr(A)=a11+a22+ann,(4)tr(AB)=tr(BA),(5)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA),A,B,C均为n阶方阵,定理6的证明：,把矩阵A的特征多项式|EA|记为fA(),将这个行列式展开，得到一个关于的n次多项式，,其最高次项n出现在主对角元的乘积,(a11)(a22)(ann),中，,主对角线上的元素，,行列式的展开式中其余的项至多含有n2个,因此，,(a11)(a22)(ann)中.,fA()=n(a11+a22+ann)n1+(1),这里没有写出的项的次数至多是n2.,在(1)式中，令=0,得到fA(0)=(1)n|A|,fA()是(a11)(a22)(ann),因此，fA()中次数大于n2的项只出现在乘积,和一个至多是的一个n2次多项式之和.,也就是说，A的特征多项式fA()=|EA|的常数项,等于(1)n|A|.,所以,设1，2，n是矩阵A的全部特征根，,fA()=(1)(2)(n),=n(1+n)n1+(1)n12n,因此,有1+2+n=a11+ann,12n=|A|,那么,定理7设是方阵的个特征值，,依次是与之对应的特征向量.,如果各不相等，则,线性无关.,(证明参见教材),注：方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关.,例3三阶方阵A的三个特征值分别为,求,故A可逆,而,所以,解：,所以(A),的特征值为,则(A)的特征值为,若A的特征值为,于是,设有四阶方阵A满足条件|3E+A|=0,AA=2E,例4,由|3E+A|=0，有|A(3)E|=0,解:,又|AA|=|2E|=24|E|=16,所以|AA|=|A|A|=|A|2=16,|A|=4,A*的一个特征值.,|A|0,其中E是四阶单位阵.求方阵A的伴随阵,=3.,因为|A|1)的秩r(A)=1,则A的n个特征值为,证：,因为r(A)=1,所以A=0,即0是A的一个特征值，,其重数,又因为A的n个特征值之和为tr(A),所以，A的n个特征值为,因此，当tr(A)=0时,A的n个特征值均为0，,其重数nnr(A)=n1,此时A不可以对角化.,当tr(A)0时,特征值0的重数为n1，,此时A可以对角化.,其重数=nr(A),如果方阵A满足,（即A1=AT）,那么A称为正交矩阵(简称正交阵).,三关于正交矩阵的重要公式和结论,AAT=E,注：,通常用定义判断一个矩阵是否为正交矩阵.,1.若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.,2.两个正交阵的乘积仍是正交阵.,3.正交阵的行列式等于1或1.,4.正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.,5.正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和等于0.,重要公式和结论,6.A为正交矩阵的充要条件是,A的行（列）向量组为正交规范向量组.,设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，,使,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.,四关于相似矩阵和对角化的重要公式和结论,相似矩阵有下列基本性质:,反身性,对称性,传递性,若方阵A相似于一个对角矩阵,则称A可以对角化.,若有正交阵P,使,则称A与B正交相似.,(此时有PTAP=B).,1.,2.,3.,4.,若A与B相似，则,(1)A与B有相同的特征多项式和特征值；,(2),(3),(4)Am与Bm也相似，其中m为正整数.,(5)相似矩阵或都可逆或都不可逆，,当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,(6)AT与BT也相似,A有n个互不相等的特征值,A有n个线性无关的特征向量.,判断一个n阶方阵A是否可以对角化的常用方法：,1.A可以对角化,2.A可以对角化,对于A的每个特征根，,其重数k=nR(AE).,3.,A可以对角化,五关于实对称矩阵的重要公式和结论,1.特征值均为实数.,2.属于不同特征值的特征向量相互正交.,3.对每个特征值，其重数k=nR(AE).,4.实对称矩阵都可以对角化，且可以正交对角化.,六.典型例题,例1设,(1)求A的特征值,(2)利用(1)的结果求E+A1的特征值,E是三阶单位阵.,解：(1),故矩阵A的特征值为：1,1,5.,(2)设矩阵A对应于特征值的特征向量为x,则,Ax=x,于是,可得矩阵E+A1的特征值为2,2,故知1+1是矩阵E+A1的特征值,将=1,1,5代入1+1,注:,(1)在计算EA时,尽量不要直接展开得一个,分解出一次因式.,(2)在计算EA时,如果各行(或列)之和都相等,例如在例1中,计算EA时,直接展开得,分解因式时可能会遇到困难.,通常把相等的部分提出来.或把某个不含的元素化为零.,三次多项式,通常是在计算EA的过程中,直接,例2,把|EA|的各列加到第一列,得,解：,求矩阵,的实特征值及对应的特征向量.,有唯一实特征值=1,解得x1=x2=x3,基础解系为=(1,1,1)T,故对应于=1的全部特征向量为k(1,1,1)T,k为非零常数.,对应=1,由(1EA)x=0得,例3,选择题,(1)设=2是非奇异矩阵A的特征值,则矩阵有一特征值等于,(2)若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a,则A的一个特征值为,(A)a,(B)a,(C)0,(A)a1,(),(),(4)设A为n阶可逆矩阵,1,2是A的特征值,(A)1=2时,1,2一定成比例.,(B)1=2时,1,2一定不成比例.,(C)12时,1,2一定成比例.,(D)12时,1,2一定不成比例.,1,2是A的分别对应于1,2的特征向量,则,(3)设A为n阶可逆矩阵,是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是,(A)1|A|n,(B)1|A|,(C)|A|,(D)|A|n,(),(),解：,(1),(2),B,A2有一特征值22，,A,有一特征值等于,有一特征值,所以,把|EA|的各列加到第一列,可提出公因子a,所以，A的一个特征值为a.,(3),B,(4),D,当1=2为重根时,可能有多于一个的线性无关的特征,向量，也可能只有一个线性无关的特征向量，所以,A,B均不成立.,当12时,1,2属于不同的特征根，因此线性无关，,即1,2一定不成比例.,设1,2是n阶矩阵A的不同特征值,1,2是A的分别属于1,2的特征向量，,例4,证明:1+2不是A的特征向量,证：,用反证法,若1+2为A的属于某特征值的特征向量,则由定义有,A(1+2)=(1+2),根据已知,从而有,A1=11,A2=22,得,A(1+2)=A1+A2=11+22,11+22=(1+2),即,(1)1+(2)2=0,因为1,2属于不同的特征值,所以1,2线性无关,故1+2不是A的特征向量.,于是,(1)=0,(2)=0,即有,1=2=,此与题设矛盾.,设A为三阶方阵，有三个不同的特征值1,2,3,对应的特征向量依次为1,2,3,例5,证明:,A,A2线性无关,证：,因为,A=A(1+2+3)=,令=1+2+3,Ai=ii,i=1,2,3,所以,A1+A2+A3,A2=A(A)=,A(11+22+33),=11+22+33,设三个常数k1,k2,k3，使,k1+k2A+k3A2=0,即,k1(1+2+3)+k2(11+22+33)+,=(k1+k21+k312)1+,(k1+k22+k322)2+,(k1+k23+k332)3=0,由于不同的特征值的特征向量线性无关,线性无关,于是,所以,1,2,3,其系数行列式,(21)(31)(32),0,因此方程组仅有零解,k1=k2=k3=0,故,A,A2线性无关,例6.设A为三阶矩阵,1,2,3是线性无关的三维列向量,且满足A1=1+2