圆的内接四边形最大面积以及圆和椭圆的关系_第1页
圆的内接四边形最大面积以及圆和椭圆的关系_第2页
圆的内接四边形最大面积以及圆和椭圆的关系_第3页
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1.圆内接四边形的最大值设圆内接四边形ABCD的四边是A=a，B=b，C=c，D=d，求它面积的最大值。解：以p=12（a+b+2+c+d）表示半周长，则四边形ABCD的面积可以表示为 S=SABD+SBCD=12adsinA+12bcsinC 又 A+C= sinC=sinA cosA=-cosC BD2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC=b2+d2+2bccosA a2+d2-b2-c2=2(ad+bc) cosA 式可化为2S=(ad+bc) sinA 2+2可得：(ad+bc)2=4S2+14(a2+d2-b2-c2)2 4S2=(ad+bc)214(a2+d2-b2-c2)216S2=(2ad+2bc)2(a2+d2-b2-c2)2 = (2ad+2bc+a2+d2-b2-c2)(2ad+2bca2-d2b2c2） =(a+d)2-(b-c)2(b+c)2-(a-d)2(a+d+b-c)( a+d-b+c) (b+c+d-a)( b+c+a-d) b+c+d-a= a+b+c+d-2a=2p-2a=2p-a同理可得：a+c+d-b=2p-b a+b+d-c=2p-c a+b+c-d=2p-d16S2=16p-ap-bp-cp-dS=p-ap-bp-cp-d又 p-a+p-b+p-c+p-d=2p 是个定值S214(p-a+p-b+p-c+p-d)4S14p2当且仅当p-a=p-b=p-c=p-d即a=b=c=d时“=”号成立，此时，圆的内接四边形为正方形，其面积的最大值为a2.2.证明：把圆沿Y轴均匀压缩后就变成椭圆。 证明： 任给一圆，其方程是：X2+Y2=a2其中，M1(x1,y1)是该圆上任一点，若圆上的一点M1(x1,y1)沿Y轴方向压缩后变成M(x，y)如图所示：则由假设可得，x=x1，而圆与Y轴的焦点B1(0，a)受压缩后的点仍在Y轴上，设其为B0，b，则由于压缩是均匀的，所以yy1=ba，于是圆上任一点受均匀压缩后的位置变化规律是 x=x1y=bay1 即 x1=xy1=aby代入方程得：x2a2+y2b2=1于是，命题得证。 小结：从以上可以看出，当a=b 时，则方程变成 x2+y2=a2,这是以原点为中心，以a为半径的圆，所以，圆是长轴与短轴相等的椭圆，是椭圆的特殊情形。当a=b 时，椭圆的
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