向量中的中点转化与极化恒等式

极化常数公式【1 .式结构分析】1 .我可以说同样的话加上两个式子，这个说明由于平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和，等于邻边的平方和的二倍，所以可以得到三角形的中线长的公式：(必修五教科书20页)。2 .我可以说同样的话两个公式可以相减：这叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选考了最后一个问题3 .我们经常遇到这样的公式。 一般与平均方差公式类似，实质上与2大致相同【二、极化常数式】和数学上很多古典的公式定理一样，极化恒等式也不那么神秘，甚至是基本的回忆必修105页例2你可以说同样的话加上两个式子，这个说明由于平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和，等于邻边的平方和的二倍，所以可以得到三角形的中线长的公式：(必修五教科书20页)。两个公式可以相减：这叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选考了最后一个问题极化恒等式的几何意义是：向量的数积，可以表示为以该向量为邻接边的平行四边形的“和对角线”和“差对角线”的平方方差，即在三角形中，也可以用三角形中线表示，即，明确三角形的中线与边的长度的关系.下面通过几个主题分析极化恒等式的妙用4 .其中，m是BC的中点，分析：实际上，类似的问题有时会出现，但通常会用别的方法取代“极化恒等式”，或者无意中使用“极化恒等式”。其中，d是BC的中点，_ .分析：5 .在5.rtABc中，CA=CB=3，m，n是斜边ab上2个可动点，且的值的范围是_ .解析：设MN中点为d类型：在ABC中，ACBC、AB=3、AC=1、d是BC中点，f是线段AD上的任意点，是求出的最大值.分析：所以，当时取最大值6. (2017年高考全国卷ii处12 )如果边长为2的等腰三角形，而p已知是平面ABC中的一点，则最小值为A. B. C. D解法分析想法1 :构建系统，坐标化矢量运算解法1 :如图1所示，创建平面直角坐标系，所以呢，然后，如果仅在、为中点情况下取等号，则最小值选择b .图1想法2 :取BC中点m，改为，如何求最小值？如图2所示，若将AM中点设为n，然后，仅在p和n重叠情况下(p为AM的中点)取等号，因此最小值求出最小值，选择b .注： (1)转换时使用了极化常数式，但其一般形式如下(2)也可以这样进行转换.图2问题：如果知道动点是腰长为2的等腰三角形(直角)三边上的动点，则该值的范围为()A.B.C.D答案： c分析：取AB中点d、CD中点e7. *如图所示，在凸四边形中，是中点，然后等于()A.B.C.D分析：.在8. *(2013年浙江大学入学考试处理)中，满足边上的定点，边上的就任点是恒有的()A.B.C.D【回答】d分析： c乙组联赛a.ah方法1 :【将公式变换为与某变量有关的公式，即函数公式.根据已知的条件，当时函数公式取最大值】设置、创建和创建则从问题的含义来看，只有当时，上式有最小值因为此时也是中点c.c乙组联赛a.axpy方法2 :从题意开始，设|=4，则|=1，将通过点c的AB的垂线设为h，在AB取点p，设为HP0=a，则根据数量积的几何意义，=|=(a1)|、=|=a并且恒成立，(a1)|a成立恒，整理|2(a 1)| a0成立恒由于24a=(a1)20即可，因此a=1，因此HB=2，即h是AB中点，因此ABC是等腰三角形，因此AC=BC法3 :如图构建系统，仅当时，上式取最小值，此时，因此法4 :也可以将ab中点作为坐标原点构筑系统，同法2法5:极化常数公式如图所示，若取线段BC中点m为了使值最小化，必须取最小值。 p为线段AB上的移动点，因此仅此时取最小值，点p与点必须重叠，m为线段BC的中点，仅在AC=BC时成立9. *(2012年安徽卷)如果满足平面矢量，最小值为_分析：所以呢10 .作为半径为1圆以上的动点，如果是那个圆的弦的话，是.答案：变体(经典问题):已知圆的半径为1，圆的弦长为1，p为圆上的可移动点，最大值为()A. B. C. D解：法1 :一切与圆心联系，基本定义设中点为d，222222222卡卡卡卡卡卡卡卡653法2 :创建坐标系需要辅助角度表达式以o点为原点、以OA为x轴制作平面直角坐标系时(也可以设置重点)那样的话222222222卡卡卡卡卡卡卡6所以范围是法三：建立坐标系，点点法4 :求出三角形面积并转换为最大值，使用馀弦定理和基本不等式，根据馀弦定理和基本不等式法5 :求三角形面积并转换为最大值，使用馀弦定理和基本不等式求出的最大值，即三角形的面积的最大值，即从点p到AB的距离的最大值法6 :与三角形中点相连设中点为d所以容易理解的范围是11. *(2011年浙江卷)知道直线AB和抛物线相交的点，点m是AB的中点，c是抛物线上的一个可动点，满足的话如下成立A. B .是抛物线的切线C. D答案d如分析图所示，极化常数式=(-)(-)=2-()=2-2仅在直线AB为一定情况下且|取最小值的情况下取最小值只在CMl的时候取|最小值，所以选择d本问题基本上是求出从抛物线上的一点到其中的一点的距离的最小值用以下两种方法证明方法1 :几何分析法只要证明CM不垂直于l，就比CM短因为这个把戏很聪明，所以不能直接证明CM是最短的将越过点的切线设为此时不垂直抛物线相交于点原则法2 :求导出运算情况下，上式中有最小值吗？ 什么？什么？【注】在此如何整理在CMCA的情况下，被整理，两个条件是相同的12 .已知圆的半径为2，圆上的任意两点，圆的直径，满足点c时的最小值为()A. B. C. D分析：得到的，点在上面如果是适当的并且是中点，则存在最小值变形：已知圆的半径为2，圆上的任意两点，圆的直径，满足点c时的最小值为()A. B. C. D分析：因此点在上面如果是适当的并且是中点，则存在最小值【三.三角形向量的中线式和中点变换】13. *点o是三条边的垂线的交点，a、b、c是角a、b、c的对边，如果已知，则为.分析： o为外心，以中点为.所以，所以，再见，所以所以范围是(0，2 )14 .圆是已知的，点是直线上的动点，如果圆上始终有两个不同的点，则的值范围为()A. B. C. D答案： a【解析】方法1 :图，相互垂直地二等分从中心到直线的距离再见赋值：和解的值范围为.因此选择a .法2:OP=2时，为临界状态，可以求出.在15. *中，d是BC边缘上的任何点(d与b、c不一致)，并且必须是()a .直角三角形b .锐角三角形c .等腰三角形d .等腰三角形分析：类似于均方差表达式，表示为向量的平方，并且可以转换运算所以，选择二等边，c16. (1)圆的直径已知，以点为中心，在半径上与a、b不同的任意点，如果p是半径上的动点，则最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _解：(2)已知圆的半径为1，圆上弦的长度为1，p为圆上的动点，最大值为()A. B. C. D解：设中点为d所以容易理解的范围是17. (1)若已知直角梯形ABCD、ADBC、AD=2、BC=1、p为腰AB上的可动点，则最小值为_。法1 :建设系统、设置法2 :取中间点，容易得到的p为AB的中间点时最小(2)已知点在圆上运动，且点的坐标为时，最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【回答】b .法2 :所以直径，中点，当时，最大，718. *如图所示，在梯形中对于各自的中点、常数，梯形的4边正好有8如果各个不同点成立，则实数可取值的范围为()A. B. C. D答案： d【解析】法1 :将cd的中点作为坐标原点，将cd所在的直线作为x轴，制作直角坐标系然后呢如果p位于CD侧，则有两个相应的值如果p在AB边缘，则对应的值既存在如果p在BC边，则为当时，各自有两个对应根据对称性，p在AD边时和p在BC边时.如上所述，只要有8个不同点，就成立实数取值范围选择d法2:(巧取中间点转换、极化常数公式)EF中点h、AB中点m、CD中点n然后呢当p在AB边上时，根据对称性，对应的值有两个如果p位于CD边上，则对应的值有两个，具体取决于对称性当p在AD的边上时，从作为PH的最小值的h到AD的距离是等积法另外，当时对应的值有两个根据对称性，p在AD边时和p在BC边时.如上所述，只要有8个不同点，就成立实数取值范围选择d19 .如图所示，在同一平面内，点p位于与两条平行的直线l1、l2相同的一侧，并且从p到l1、l2的距离分别为1，3 .点m，n在l1、l2上，且| |=8的情况下的最大值为()A.15 B.12 C.10 D.9答案a分析：取MN中点o20. *已知面积为2，e，f为AB，AC中点，p为直线EF上的任意点，最小值为()A.2 B.3 C. D.4分析：法1 :中点转换法，巧取极化常数公式取中点，取底边BC的高度.法2 :创建平面直角坐标系(参见