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文档简介

常力沿直线所作的功,分割,问题11.2:变力沿曲线所作的功,11.2对坐标的曲线积分,11.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质,求和,取极限,取近似,取,即,或,定义11.2,设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑,用L上的点,把L分成n个有向小弧段,曲线弧,在L上有界.,上任意取定的点.,如果当各小段长度的最大值,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.,即,类似地定义,称,在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.,在应用中常出现组合形式,其中,或向量“点积”形式,沿闭曲线L的曲线积分记作,物理意义,沿平面曲线L所做,的功为,类似地,可定义空间向量函数,沿着空间曲线L的第二型曲线积分为,其中,对坐标的曲线积分具有下列性质:,沿平面曲线L的第二型曲线积分存在,则,设,(1)线性性质:,积分存在,且,沿曲线L的第二型曲线,其中为任意常数.,L1,L2,(2)可加性:,且它们的方向相应地一致,则,(3)有向性:,有向曲线,则,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!,设L是有向曲线,定理11.2设,在有向曲线弧L上连续,且,11.2.2第二型曲线积分的计算,则曲线积分,则,则,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.,曲线方程的其他情形,(3)对于空间曲线,例计算,解,(1)取x为积分变量,(2)取y为积分变量,解(1),例计算,其中,A点对应,B点对应,B点对应,O点对应,(2),O点对应,A点对应,问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也不同.,解(1),A点对应,L的参数方程为,B点对应,其中,例计算,问题:被积函数相同,起点和终点也相同,(2),虽然路径不同,但积分结果相同.,解,L的参数方程为,其中L为圆周,例计算,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例计算,A点对应,B点对应,(1)L是上半圆周反时针方向;,解,A点对应,(2)L是x轴上由点到点的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,练习,(2)L的方程为,原式=,(2)L是x轴上由点到点的线段.,其中,11.2.3两类曲线积分之间的关系,设A,B分别是曲线L的起点和终点,L的长度为l.,可以表示为以s为参数的参数方程,则曲线L,于是,其中,方向余弦.,即,这就是平面上两类曲线积分之间的关系.,类似地,空间曲线上的两类曲线积分有如下关系,其中,处的切线向量的方向余弦.,例把对坐标的曲线积分,解,所以,化为对弧长的曲线积分.其中L
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