小学奥数资料：组合题库学生版

组合知识框架图7 计数综合7-5 组合7-5-1组合及其应用7-5-2排除法7-5-3插板法教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即规定，例题精讲模块一、组合及其应用【例 1】 计算： ，； ，（2级）【例 2】 计算： ； ； （2级）【巩固】 计算： ； ； （2级）【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】 某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例 4】 （难度等级 ）学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？（4级）【例 5】 某校举行排球单循环赛，有个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例 6】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例 7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【例 8】 从分别写有、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？2 有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】 从分别写有、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例 9】 在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【巩固】 从、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【例 10】 一个盒子装有个编号依次为，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例 11】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例 12】 从，中任取三个数字，从，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【例 13】 从、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例 14】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例 15】 工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例 16】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1件次品；不都是次品（6级）【例 17】 在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：1 直线段； 三角形； 四边形（6级）【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【例 18】 平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？ 可确定多少条射线？（6级）【巩固】 如图，问： 图中，共有多少条线段？ 图中，共有多少个角？（4级） 图 图【例 19】 某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在人中选人站成一排，有多少种站法？（6级）【巩固】 学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【例 20】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有_种不同的方法（2007年“希望杯”第一试）（4级）【例 21】 在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法？（4级）【例 22】 在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？（6级）【例 23】 某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【例 24】 (2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有_种不同的放法（4级）【例 25】 甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）【例 26】 有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【例 27】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【例 28】 有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面这些旗的模样、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【例 29】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人（6级）【例 30】 从名男生，名女生中选出名代表 不同的选法共有多少种？ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有3名内科医生和2名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生（8级）【例 31】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？（8级）【例 32】 有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）【巩固】 某旅社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余个既会英语又会日语现要从中选人，其中人做英语导游，另外人做日语导游则不同的选择方法有多少种？（8级）板块二、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况【例 33】 如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）【例 34】 如图，正方形的边界上共有7个点、其中、分别在边、上以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_ 个(小学数学奥林匹克决赛) （6级）【巩固】 图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）【例 35】 如图，有个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成个三角形（4级）【例 36】 在的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）【例 37】 1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）【巩固】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）【例 38】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）【例 39】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有 个（6级）【例 40】 从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）【例 41】 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）【例 42】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）【例 43】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）【例 44】 若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”问一共有多少“上升的”自然数？（6级）【例 45】 6人同时被邀请参加一项活动必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）【例 46】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）【例 47】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）【例 48】 正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）【例 49】 用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）【解析】板块三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法使用插板法一般有如下三种类型： 个人分个东西，要求每个人至少有一个这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为 个人分个东西，要求每个人至少有个这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了所以分法的数目为 个人分个东西，允许有人没有分到这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为【例 50】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法（6级）【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有 种（6级）【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6