22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学教案

课题：二次函数 的图象和性质一、教学目标.1.会用描点法画出的图象，结合的图象初步理解抛物线及其有关的概念.2.先画出函数的图像，然后观察图像并结合所列函数对应值表探究其性质，最终归纳整理得出结论。3.在画二次函数图像的过程中渗透数形结合思想，在探究二次函数的性质过程中获得发现的兴趣。2、 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象的作法和性质；2.教学难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系.三、教学过程设计（一）温故知新，导入新课1.下列哪些函数是二次函数？一次函数？（1）y=3x-l （2）y=2x7 （3） y=9x（4）y=x-2 （5）y=(x+3)-x （6） y=3(x-1)+12.二次函数一般表达式？ 3.回顾所学过的一次函数的图象是什么形状？4.描点法作图的一般步骤？5.思考：二次函数的图象又如何画呢？生：独立思考，举手回答。（2） 合作交流，探究新知1.抛物线及相关概念用描点法画二次函数y=x2的图象。解：(1)列表:自变量x可以是任何实数，x的互为相反数的两个值对应的函数值相等，以0为中心，取几个自变量的整数值，并求出y值。x3210123y9410149(2)用表里x、y对应值作为点的横纵坐标，在坐标平面中描点。(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。师：观察这个函数的图象，它有什么特点?生：自由回答。师生共同归纳：像投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是开口向上，这样的曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。二次函数的图像叫做抛物线。师：这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？生：举手回答。师：标准答案，抛物线是轴对称图形,y轴就是它的对称轴. 师：抛物线与对称轴有交点吗？生：自由回答。师：归纳，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。2.探索性质）（1）请学生在同一直角坐标系中，用描点法画出函数，的图象，并观察图象，找出它们的异同.展示学生的画图成果问题1：请大家认真观察这些作品，并思考在列表和画图中还有哪些需要改善的地方？问题2：这三个同学画出的二次函数的图象形状都不一样，哪个同学画的更准确一些？我们如何得到二次函数准确的图象？师：用ppt展示标准画法。（2） 根据图象发现问题，学生观察，小组交流讨论以下几个问题：A.图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?B.图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？C.图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？当x取什么值时,y的值最小,最小值是什么?D.当x0呢？生：小组交流讨论后派代表回答， 小明说A：图象是轴对称图形，对称轴是y轴. 小丽说B：图象开口向上， a越大开口越小. 小芳说C: 图象的顶点是原点，为抛物线的最低点.当x=0时,函数y的值最小,最小值是0. 小王说D：当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大. 师：总结学生的回答，给出标准解释：A. 这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关 于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.B. 这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.C. 从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.D. 从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.3. 释疑解惑，内化新知（）（1） 同学们，刚才我们画了 的图象，通过观察和小组交流知道了 的图象和性质，你现在心中还要什么疑惑吗？请在纸上写出你的问题。 师：用ppt展示标准画法。师：函数的图象，有什么共同点和不同点?主要从以下几个方面考虑：1.开口方向 2.开口大小 3.对称轴 4.顶点坐标 5.增减性学生观察，小组交流后派代表回答。生1：共同点，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴。生2：共同点，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。生3：不同点, 开口大小不同;生4：不同点，|a| 越大，抛物线的开口越小生5：共同点，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。教师肯定学生的回答，进行表扬。教师总结，学生填空，举手回答。(板书： 22.1 二次函数 y=ax2的图像和性质 ）y=ax2yOxa0yOxa0图象开口向下,在x轴下方位置开口方向|a|越大，开口越小开口向上,在x轴上方关于y轴对称，对称轴方程是直线x0对称性顶点坐标是原点（0，0）顶点最值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小. （3） 对比抛物线，和.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线和呢？生举手回答：在同一坐标系内,抛物线和关于y轴对称。4. 典型例题，夯实新知例1.A.判断下列函数图象的开口方向：（1）y=5x2 （2）y=-3x2 （3） （4） B上述四个函数图象的开口大小由大到小排列为：C上述哪些函数的图象，在y轴的右侧，y随x的增大而减小？例2. 已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和哪些函数的图象，当x0时，y随x的增大而减小？5.自主练习，巩固提升A.函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_B.函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_C.二次函数ymx有最高点，则m_D.二次函数y(k1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为_E.若二次函数的图象过点（1，2），则的值是_F.抛物线 开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。G.点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。H.如图，A、B分别为上两点，且线段ABy轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。I.当m= 时，抛物线开口向下J.二次函数与直线交于点P（1，b）（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小（三）小结拓展，回味新知A.对自己说，你有什么收获？B.对同学说，你有什么温馨提示？C.对老师说，你还有什么困惑？教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求学生在组内交流后派代表发言.学生发言后，老师接着总结：本节课我们将一次函数的研究方法迁移到了二次函数的画法中，并认识到了二次函数的图象是一条抛物线，然后进一步探究了抛物线的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标及它所对应的二次函数的增减性，今后我们将研究更复杂的二次函数如：，的图象及其性质，同学们也可以根据本节课的研究方法，自己课后先试一试.（四）课后作业，巩固新知1教材32页练习； 2预习22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质四、教学反思从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。所以，在以后的教学中要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我认为这种对性质的表述是教条化的，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严