第十八讲同余问题

第18次同余问题一、知识要点和基本方法 14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把 14和 26叫做关于模6同余，记作 14 26（mod6）同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数 有一些数学问题，与数的大小关系不大，而主要与这个数除以某数的余数有关例如，自然数的个位数字，实际上就是这个自然数除以10的余数还有一些数学问题，是要解决一些周期性变化的数字问题，这里不一列举利用同余性质，可以巧妙地解决上述的这些问题二、例题精讲 例1 1991和1769除以某一个自然数，余数分别为 2和 l，那么最小是多少？ 解 199121989能被n整除，同理 176911768也能被这个数整除所以是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2 因为（1989，1768）13 17，所以最小是13 例2 把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？ 解 把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1 99（个）数码，两位数写了2 90180（个）数码，5位数写了（2019180） 34（个），即写到了 994103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除因为一共是103个自然数，所以103 334l，前102个自然数（3 34102）的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以： 103 3341，即这个201位数除以3余数是 1 例3 除以3余l，除以5余已除以7余4的最小三位数是几？ 解 因为除以3余l，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，又因为67 794，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277， 所以，符合条件的最小三位数是172 例4 有1991个 9组成的多位数 99999除以 74所得的余数是多少？ 解 因为 9 999 741359，即 135 749 990，这说明凡是 9 99000形式的数均能被74整除，而1991个 9可以分为若干段这种数（每一段中有 3个 9）因为 1991 36632，余数为2，说明去掉这些663段后，还剩2个9而9974125，所以由 1991个 9组成的多位数99999除以 74所得的余数是 25 例5 一串数1、2、4、7、11、16、22、29这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多 3；依次类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？ 解 设这串数为，依题意知 1 11 1121l2311234因为996 5199l，1991 53981，所以996 1991的积除以5余数为1，l996 1991除以5的余数是2因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2例6 除以5余1，除以5余4，如果3，那么3除以5余几？解 因为 1（mod5），所以33（mod5），或者 3 8（mod5） 又因为 4（mod5） 所以得 3844（mod5）因此3除以5余4练 习 题A 组1一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是多少？2310被一个两位数除，余数是37，这个两位数是多少？371 427和19的积被 7除，余数是几？4有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0）问这个整数是几？5某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？631 453 68765 987 657的积，除以4的余数是多少？B 组7的积，除以7余数是多数？8已知：，问：除以13，余数是几？9整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以 9，所有余数的和是多少？10某自然数在除13 511、13 903及 14 589时余数相同，那么的最大值是多少？11某数加上22的和被9除余2，这个数加上31的和被9除余几？12有一个数，甲将其除以8，乙将其除以9甲所得的商数与乙所得的余数之和为13试求甲所得的余数13有5个不同的自然数，它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是什么？14有一个整数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个整数是多少？测 试 题1被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？2有一个不等于 1的整数，它除 967，1000，2 001得到相同的余数，那么这个整数是多少？3在1，2，3，29，30这30个自然数中，最多能取出多少个数。使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数4号码分别为101、126、173、193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？5一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4 289问男孩几岁？父亲几岁？62 001个 8组成的多位数 88888除以 26的余数是几？7一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，求出这样的四位数8一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是几？9393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有多少个，分别是什么？10100个7组成的一百位数，被13除后，问：（1）余数是多少？（2）商数中各位数字之和是多少？11能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？12某商场向顾客发放99