高中数学全程复习方略第三章导数及其应用 章末总结 阶段复习课(共60张)

第三章章末总结/阶段复习课,导数的几何意义【技法点拨】1.导数几何意义的应用,2.求切线方程时的注意事项一定要分清是求在点P处的切线方程，还是求过点P的切线方程，即点P是否为切点.,【典例1】已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.,【解析】(1)点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.,(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)1，直线l的方程为y又直线l过点(0,0)，0整理得，8，x02,y0(2)3(2)1626，k3(2)2113,直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).方法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k又kf(x0)1，,解之得，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).,【互动探究】函数不变，如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程.【解析】切线与直线y-3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)14，x01，,或即切点为(1，14)或(1，18).切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.,【想一想】(1)求曲线的切线方程的关键点是什么？(2)本例(2)中方法二的技巧关键点是什么？提示：(1)关键是确定切线的斜率与一个具体的点，利用点斜式求直线方程.(2)方法二的巧妙之处在于设出切点，结合原点利用斜率公式表示出切线斜率，又结合导数的几何意义，根据斜率相等求出切点.,利用导数研究函数的单调区间【技法点拨】利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求f(x);(3)解不等式f(x)0或f(x)1时，1-2a-1，同理可得，函数f(x)的单调增区间为(-,-1)和(1-2a，+)，单调减区间为(-1,1-2a),综上，当a1时，函数f(x)的单调增区间为(-，1-2a)和(-1，+)，单调减区间(1-2a,-1)当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R;当a0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x2,3时，求g(x)f(x)6(m2)x的最大值.,【解析】(1)由题意知f(x)3ax22bxc3a(x1)(x3)(a0，f(x)是增函数，在(3，)上f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.,【典例4】已知函数f(x)=,x1,+).(1)若f(x)在x1,+)上有零点，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在x1,+)上单调递增，求实数a的取值范围.,【解析】(1)函数f(x)在x1,+)上有零点，即方程=0在1,+)上有解，x2+2x+a=0在1,+)上有解，令g(x)=x2+2x+a，则由于其图象的对称轴为x=-1，结合图象可得，要使x2+2x+a=0在1,+)上有解，需g(1)0,即a+30.由此得a-3.,(2)f(x)=，又f(x)在1,+)上单调递增，当x1时，f(x)0恒成立，即x1时，x2a成立，又y=x2在x1的最小值为1，故a1.,【想一想】(1)解答本题(1)的关键点是什么？(2)解答本题用到的思想方法是什么？提示：(1)由题意得到g(x)=x2+2x+a在1,+)上单调递增，进而要满足题意，只需g(1)0.(2)本题(1)(2)均用到了转化化归的数学思想.根据条件灵活地将问题转化到我们熟悉的问题上，是解决问题的一种常用方法.,导数在实际中的应用问题【技法点拨】1.解决实际问题的方法解决这类问题时，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域，通过创造区间求最值的情境，利用导数这一工具，从数学角度解决实际问题，所求得的结果要符合实际意义.,2.最优化问题需要注意的问题最优化问题一般指的是单峰函数的最值问题，即在实际问题中，如果遇到函数在区间上只有一个点使得f(x)=0，且函数在该点取得极大(小)值，那么它也是函数的最大(小)值，不需要与区间端点处的函数值比较.简言之，函数在区间上如果只有一个极值点，那么该极值点必为最值点.,【典例5】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.,(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：y=+2；y4lgx3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？,【解析】(1)设奖励函数模型为yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x10，1000时，f(x)是增函数；f(x)9恒成立；f(x)恒成立.(2)对于函数模型y=+2：当x10，1000时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=所以f(x)9恒成立.,因为函数在10，1000上是减函数，所以即f(x)不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.,对于函数模型f(x)4lgx3：当x10，1000时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9.所以f(x)9恒成立.设g(x)4lgx3，则g(x)=,当x10时，g(x)=所以g(x)在10，1000上是减函数，从而g(x)g(10)10.所以4lgx30，即4lgx3，所以f(x)恒成立.故该函数模型符合公司要求.,【思考】解答本题的关键是什么？提示：解答本题的关键在于能够从问题情境中抽象概括出函数需要具备的三个性质,即本题(1)的三个结果.,1.设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为()(A)单调递增(B)有增有减(C)单调递减(D)不确定【解析】选C.y=在x(0,1)时，x-10,x0即y0,函数在(0，1)上单调递减.,2.函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点，则a的取值范围为()(A)a1(B)a1(C)a-1(D)a-1【解析】选C.假设x0为f(x)的极值点，则f(x0)+a=0,a=-.x00,a-1.,3.设函数f(x)其中0，则导数f(1)的取值范围是()(A)2,2(B)，(C)，2(D)，2,【解析】选D.对函数f(x)求导，f(x)x2sin所以f(1)sinf(1)，2.故选D.,4.若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()(A)1，)(B)1，)(C)1,2)(D)，2)【解析】选B.因为f(x)定义域为(0，)，f(x)4x由f(x)0，得x.据题意，解得1k.,5.函数y=x2-lnx的单调减区间为_.【解析】函数的定义域为(0,+),y=解y0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2.在x=1处取得最小值g(1)=0.()当00.若1,即0a时,g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.,若1,即a1时,