巧借旋转妙解题

巧借旋转妙解题一、正三角形和正方形的旋转图1例1如图，O是等边三角形的旋转中心，EOF120，EOF绕点O进行旋转，在旋转过程中，OE与OF与ABC的边构成的图形的面积（）等于ABC面积的等于ABC面积的等于ABC面积的不确定图2图3 例2如图2所示，两个边长都为2的正方形ABCD及正方形OPQR如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕着O点旋转，那么可以求出它们重叠部分的面积吗？ 分析：如图3所示，分别作OEBC于E，OFAB于F 可以将OFN逆时针方向旋转90与OEM重合，所以重叠部分的面积就转化为正方形OFBE的面积，而正方形OFBE的面积为1，所以重叠部分的面积为1 图4图5例3如图4所示，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若四边形的面积为16，求DP的长注：在有正方形的条件下，考虑旋转方法，常常把旋转角度选为90 例4如图6所示，设O是等边三角形ABC内一点，已知AOB=115，BOC=125，求以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角 分析：要求线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角，而线段OA，OB，OC不是同一个三角形的三条边，可以利用“图形旋转前后的图形形状大小不变，对应线段相等”这一性质解决问题，同时利用旋转可以将分散的线段、角集中到同一个图形之中解：以B为中心，将BOA逆时针方向旋转60，则点A落在点C，点O落在点D，连接OD，CD，（图7）OBBD，OBD60，BOD是等边三角形；则ODOB又CDOA，COD是以OA，OB，OC为边构成的三角形BOC125，BOD60COD65又BDCAOB115，而ODB60，ODC55，从而OCD故求得以线段OA，OB，OC为边构成三角形的各角为65，55，60注：在有等边三角形的条件下考虑旋转方法，常常把旋转角度选为60练习一1、如图8，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上已知MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN2、（青岛）、如图10，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。 图10 图113、（旅顺）如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。4、把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）析解：在上述旋转过程中，BHCK，四边形CHGK的面积不变证明：ABC是等腰直角三角形，O为斜边中点，CGBG，CGAB，ACGB45，BGH与CGK均为旋转角，BGHCGK，因此CGK可以看作是由BGH绕点O顺时针旋转而得，故BHCK，即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为45如图8，已知，等腰直角OAB中，AOB90，等腰直角EOF中，EOF90，连接AE、BF试说明：（1）AEBF；（2）AEBF 6、如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD上的点，且CEF的周长是2求EAF的大小。7、 如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a0)，求:(1)APB的度数;(2)正方形ABCD的面积 二、与旋转有关的探索性试题例析分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但AOC和COE的大小不变，都是45，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.例1:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，ABCD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.OFEDCBA图2解:AO=CO, FAO=ECO, AOF=COE. AOFCOE. AF=EC.四边形BEDF可是是菱形.理由:如图2,连接BF、DE.由(2)知AOFCOE.得OE=OF,EF与BD互相平分.当EFBD时,四边形BEDF为菱形.在RtABC中,AC=,OA=1=AB . 又ABACAOB=，AOF=.AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.例2:（河北省）如图31，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点（点也是中点）按顺时针方向旋转（1）如图132，当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；http