3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义 (4).pptVIP

No.1middleschool，mylove！,3.1.1复数代数形式的加减运算及其几何意义,高中数学人教A版选修22,实数可以进行加减运算，并且具有丰富的运算律，其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数，其代数形式类似于一个多项式，当然它也应有加减运算，并且也有相应的运算律.,预学1:复数的加法运算1.复数的加法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.,2.复数加法的运算律对任意z1，z2，z3C有(1)交换律:z1z2z2z1.(2)结合律:(z1z2)z3z1(z2z3).练一练:已知复数z134i，z234i，则z1z2().A.8iB.6C.68iD.68i【解析】z1z234i34i(33)(44)i6.,预学2:复数加法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则(或三角形法则).已知复数z1x1y1i，z2x2y2i及其对应的向量(x1，y1)，(x2，y2).以和为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，如图所示.对角线OZ所表示的向量，而所对应的坐标是(x1x2，y1y2)，这正是两个复数之和z1z2所对应的有序实数对.想一想:在复平面内，复数z1，z2，z的对应点分别为Z1，Z2，Z，已知，z11ai，z2b2i，z34i(a，bR)，则ab.【解析】由条件知zz1z2，(1ai)(b2i)34i，即(1b)(a2)i34i，由复数相等的条件知，ab8.【答案】8预学3:复数的减法运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i.练一练:若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是().A.2B.4C.3D.4【解析】z1(34i)24i.【答案】B预学4:复数减法的几何意义由向量减法运算的三角形法则可知:复数z2z1所对应的向量是.再由向量的几何意义知，|z1z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.议一议:ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点Z到ABC的顶点A，B，C距离相等，Z为ABC的外心.【答案】A,预学2:复数加法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则(或三角形法则).已知复数z1x1y1i，z2x2y2i及其对应的向量(x1，y1)，(x2，y2).以和为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，如图所示.,对角线OZ所表示的向量，而所对应的坐标是(x1x2，y1y2)，这正是两个复数之和z1z2所对应的有序实数对.,想一想:在复平面内，复数z1，z2，z的对应点分别为Z1，Z2，Z，已知，z11ai，z2b2i，z34i(a，bR)，则ab.,【解析】由条件知zz1z2，(1ai)(b2i)34i，即(1b)(a2)i34i，由复数相等的条件知，ab8.【答案】8,预学3:复数的减法运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i.练一练:若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是().A.2B.4C.3D.4【解析】z1(34i)24i.【答案】B,预学4:复数减法的几何意义由向量减法运算的三角形法则可知:复数z2z1所对应的向量是.再由向量的几何意义知，|z1z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.,议一议:ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点Z到ABC的顶点A，B，C距离相等，Z为ABC的外心.【答案】A,1.复数的加减运算例1、计算:(1)(56i)(2i)(34i);(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(20142015i)(20152016i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.,【解析】(1)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.(2)(法一)原式(123420142015)(234520152016)i(20151007)(10072016)I10081009i.,(法二)(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(20132014i)(20142015i)1i，相加得(共有1007个式子)原式1007(1i)(20152016i)(20151007)(10072016)i10081009i.,变式训练1、复数z123i，z245i，z36i，求z1z2z3.【解析】z1z2z3(23i)(45i)(6i)64i.,2.复数的加减运算的几何意义例2、复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【方法指导】利用或者，求点D对应的复数;也可以利用正方形的性质求解，正方形的两条对角线的交点是其对称中心.,【解析】如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR).(法一)，它表示的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，它表示的复数为(12i)(2i)13i.,因为，所以(x1)(y2)i13i，所以，解得，.故点D对应的复数为2i.(法二)因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，所以点O也是点B与点D连线的中点，于是(2i)(xyi)0，所以x2，y1，故点D对应的复数为2i.,变式训练2、如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，32i，24i，试求:(1)和所表示的复数;(2)对角线所表示的复数;(3)对角线所表示的复数及的长度.,【解析】(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|.,3.|zz0|(z，z0C)几何意义的应用例3、已知zC，指出下列等式所表示的几何图形:(1)|z1i|1.(2)|z1|z2i|.(3)|z1|z1i|2.【方法指导】设复数z，z0在复平面内分别对应点A，B，则|zz0|(z，z0C)的几何意义是点A到点B的距离.,【解析】(1)表示以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆.(2)表示以点(1，0)，(0，2)为端点的线段的垂直平分线.(3)表示以点(1，0)和(1，1)为焦点，长轴长为2的椭圆.,变式训练3、设复数zabi(a，bR)，1|z|2，则|z1|的取值范围是.【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1|z|2表示如图所示的圆环，而|z1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z11的对应点B(1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax3，0|z1|3.【答案】0，3,1.复数加、减法运算的两种方法(1)复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先准确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式.注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和.,(2)利用复数的结合律计算.2.根据复数的几何意义可知:复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算.3.复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.4.复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的问题，将复数与点及向量加以转化可有助于问题的解决.,已知|z1|z2|1，z1z2i，求|z1z2|.,【解析】(法一)由于|z1z2|i|1.设z1，z2，z1z2对应的向量分别为，则|1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，半径为1的圆上，如图.,由余弦定理易得cosAOC|，故AOC60，由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形，OACB为菱形，且BOC，COA都是等边