《高中数学解题思维与思想》(精美word版)

高中数学解题思维与思想领导数学家g .波利亚是怎样解题，数学教育的目的是培养学生的思维能力，培养良好的思维品质，进行有效的训练，本战略结合数学教育的实际情况，从以下四个方面进行说明。一、数学思维的灵活性根据有关问题设置的知识，提出灵活的思路和解题方案二、数学思维的反思性提出自己的见解，检查思维过程，不盲从，不轻信。三、数学思维的严密性考察问题严格准确，计算和推理准确。四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑，对一个对象从不同的角度进行观察，对一个主题应用多种不同的解法。“什么”改变，培养他们的思维能力。思维与思想的即时性、目的性、实用性已在教学实践中得到全面验证。一、高中数学解题思维策略第一，数学思维的灵活性一、概念数学问题千变万化，想要快速准确的解题，总是不能使用一定的方案，思维灵活性要善于根据有关问题设置的知识，提出灵活的构想和解题方案。 根据数学思维灵活性的主要表现，本文着重进行以下几个方面的训练(一)善于观察；心理学表明，感觉和知觉是认知事物的最初形式，观察是知觉的高级状态，有目的、有计划、比较持续的知觉。 观察是了解事物最基本的方法，它是理解问题、发现问题和解决问题的前提。每道数学题都包含着一定的数学条件和关系。 为了解决这一问题，必须根据主题的具体特征，深入、细致、彻底地观察主题，并认真地思考，通过表面现象看其本质，确定解题思路，找出解题方法。例如，相加.加上这些点数，共通点很难，但因为各项是2个相邻自然数的乘积的倒数，所以原式很快就解决了问题。(2)善于联想联想是问题转换的桥梁。 有点难的问题和基础知识的联系不明显，间接而复杂。 因此，解决问题的方法、速度取决于观察到的特征，运用知识，相应联想，开启问题，深入探究。例如，求解方程式这个方程式表示两个个数的和，这两个个数的积为。 由此联想到韦达定理，是一维二次方程的两个根因此，或者联想可以简化问题。(3)善于转变问题数学家g .波利是怎样解题，数学解题是命题的连续变换。 可以看出解决问题的过程是由于问题的转变而产生的。 转变是解答数学问题的一个非常重要的想法。 它是如何变化的？ 总之，就是把复杂的问题变成简单的问题，把抽象的问题变成具体的问题，把未知的问题变成已知的问题。 解题时，要观察具体特点，联想问题后，寻求转换关系。例如，求证书，三个数字中，两个必须相互为反数。适当的转换熟悉问题，使其简单。 需要证明的结论可以改为：思维灵活性的对立面是思维的保守性，即思维定势。 思维定势是指一个人用同样的思维方式解决一些问题后，通常用同样的思维方式解决今后的问题。 其表达方式是记住类型、方法、公式，限制思维，这是提高思维灵活性的一大障碍，必须克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于转换问题，是数学思维灵活性的具体表现。 为了提高思维的灵活性，必须进行相应的思维训练。二、思维训练实例(一)观察能力培训；观察看似表面现象，但它是了解事物内部规律的基础。 因此，要注重观察能力的训练，使学生不仅能用常规方法解决问题，而且要根据问题的具体特点，用特殊的方法解决问题。例1已知为实数，寻求证明xyo.o图1-2-1思考分析从主题的外观来看，需要证明的结论的右端和平面上的2点间的距离式很相似，但左端可以看作是从原点开始的距离式。 根据其特征，可以采用如下巧妙简洁的证据法，这就是想法灵活性的表现。证明如图1-2-1所示则那么，我们从三角形三边的关系知道了仅当o在AB时等号成立。因此许多思维障碍学生看到这个不等式证明问题，立即考虑采用分析法、综合法等，这个问题多采用这些方法来证明。 学生之所以不能从外观上观察到与平面上的两点距离式相似的原因，是因为他们不太了解这个式子，而且对基础知识的把握还不够牢固。 因此，平时要注意数学公式、定理的运用练习。已知例子2的试验的最大值。知道理由再见当时有最大值，最大值为由于已知条件立即变成一次二次函数，求出极值点的值，因此思考分析要求的最大值快速准确地求出最大值。 上述解法观察了隐蔽条件，显示了思维灵活性。大多数思维障碍学生的行为如下：由得当时取最大值，最大值为由于该解法忽略了该条件，计算结果出错。 因此，要注意审查问题，不仅要以表面形式发现特征，还要从已知条件中发现隐藏条件，要注意主要的已知条件还必须注意次要条件。 这样就能正确解决问题，提高思维灵活性。一些问题的观察必须从相应的图像开始。例3已知二次函数满足关系和的尺寸比较一下。xyo.o2图1-2-2思维分析从已知条件可以看出，在左右等距离点函数值相等，并说明该函数的图像关于直线对称已知条件知道其开口向上，因此根据该函数的粗略图像很容易解决这个问题。解(图1-2-2 )为众所周知，以直线为对称轴，开口向上的抛物线距离越近，函数值越小。有些思维障碍的同学只是在考虑求比较和大小的值。 无法比较此问题函数的表达式，因为无法赋值。 发生这种情况的原因是，由于未能充分挖掘出已知条件的意思，思考受到阻碍，全面地看问题，按照已知条件仔细推敲，找出其真正的意思，能够很好地解决问题。 提高思维的灵活性。(2)联想能力的训练在例4中，为钝角时的值如果(a )小于1 (b ) (c )大于1 (D )，则无法确定想法解析这个问题是在中决定三角函数的值。 因此，联想到三角函数的正切的两角和式子可以得到以下解法。解成钝角然后呢应选择(b )有思维障碍的学生可能认为这个问题条件太少，无法掌握。 原因在于三角函数的基本公式不能很好地把握，不能正确地把握公式的特征，因此不能立即联想到使用基本公式。例5若想法分析这个问题一般通过质因数分解得到证明。 但是，注意已知条件的特征，很容易发现与一次二次方程的判别式类似。 因此，我们联想到利用一次二次方程式的知识来证明问题。当时，证明方程式相关的一次二次方程被认为具有等根条件，进一步观察该方程，其两个等根为1，根据韦德尔定理如下即，即如果根据已知条件容易获得，则很明显.已知例子6都满足关系式并且在正实数下满足更大的自然数来确定证明：想法分析可以从条件联想到勾结定理，构成直角三角形的三边，再联想到三角函数的定义，就可以得到以下证明法。相对的角度分别是，因为直角和锐角被证明了然后呢当时就在那里即，即因为那个因为思维障碍是关于自然数的命题，所以也有学生考虑用数学归纳法来证明。 数和形的联想之所以困难，是因为不在意代数和几何学的联系，单纯地学习代数，学习几何学，所以不能把问题条件的数字和式的特征和直观的图形联想起来。(三)转换问题的训练；我们遇到的许多数学题既疏远又复杂。 要解决问题，首先要观察具体的特征，联想知识，还要转化成我们熟悉的、简单的问题来解决。 适当的转变常常会立即解决问题，因此需要进行问题转变的训练。变成容易解决的明显主题例如，已知求证书、中的至少一个等于1。构想分析的结论没有用数学公式表示，很难直接证明。 首先用数学公式表示结论，变成我们熟悉的形式。中至少一个为1，即至少一个为零，问题易于解决。证明书所以呢其中至少一个为零，即，中的至少一个为1。思维障碍的大多数学生是在已知条件下设法，不知道左转右还是三个人中至少有一个人是1，原因是他们不能把要证明的结论“翻译”成数学表达式，不能把陌生问题变成熟悉的问题。 因此，多练习这种“翻译”是提高转换能力的有效手段。例如，12线性方程式，其中椭圆的中心在轴上，长轴为2，短轴为1，当询问其顶点取哪个范围的值时，在椭圆上具有4个不同的点，它们各自等于从每个点到直线的距离。构想分析从主题要求和几何知识可以看出，四个不同点应该是抛物线(1)是的，从已知条件得到椭圆的方程式(2)因而，所述问题被转换为方程(1)和(2)具有四个不同的实数解时确定的值的范围。 将(2)代入(1)时(3)确定的范围是实际求出(3)有两个不等正根的充分条件，求解不等式组在条件下本问题在解题过程中，不断将问题归类为标准问题：解方程和不等式组问题。逆向思维的训练逆向思维不是以习惯性思维的方向来思考，而是以逆向思维。 如果问题的正面思路有障碍，应该考虑问题的反面，从反面开始解决问题。例13已知函数、求证、中的至少一个是1以上想法分析反证法被称为“数学家的最佳武器之一”，也是中学数学中常用的解题方法。 应该证明的结论有“至少”等文字，或以否定形式给出时，一般可以考虑采用反证法。证明(反证法)假定原命题不成立，即、都小于1。则 得分由于和矛盾，假设不成立、至少有一个以上。一题多解训练由于每个学生在观察时问题的特点和运用知识不同，对同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“问题多解”。 通过问题的多解训练，学生可以认真观察、联想、适当转化，提高数学思维的灵活性。示例14已知的多个模型是2，求得的最大值。解法1 (代数法)设定解法2 (三角法)设定则解法3yxo.o. I是-2i图1-2-3z轴如图1-2-3所示，此时解法4 (运用型的性质)当时解法5 (运用型的性质)再见二是数学思维的反思性一、概要数学思维的反思性表达在思维活动中提出独立的见解，细致检查思维过程，不盲从，不轻信。 在解决问题时，不断验证建立的假设，得到独特的解决问题的方法，与创造性思维有着高度的关联。 本课侧重于加强学生思维的严格训练，培养他们的创造性思维。二、思维训练实例(1)注意检查思路是否正确，发现其中的错误。例1知道求出的范围。错误的解法是从条件中得出的2-获得2-得得到错误分析使用该解法，作为满足条件的函数，忽略了其值被同时制约的事实。 取最大(小)值时，不一定取最大(小)值，所以解决问题的想法是错误的。正确的解法是问题的意思收到：代入和的范围在本论文中检测出解题的想法错误，提出正确的解法，表明思考是反省性的。 只有掌握好基础知识，才能反思性地看问题。例2证明梯度定理：中已知，寻求证明错误的证据法在里面，即，即错误的分析在现行的中学系统中，这个公式本身是从毕达里定理中导出来的。 这种利用应证明的结论，作为推论的前提条件，被称为循环论证。 循环论的错误是在不知不觉中发生的，很难发现。 因此，对学习过程中学到的所有公式、法则和定理，都要熟悉其内容，熟悉证明方法和依据的论据。 这样可以避免循环论的错误。 发现本问题犯循环论错误，是思维反思的表现。(二)管理培训；验算是解决问题并验证结果的过程。 通过检验，可以检验解题过程的正确性，提高思维的反思性。例3求出已知数列的前项和错误的解法错误分析很明显，当时，错误的原因是由于没有注意公式成立的条件，在运用时必须检查的情况。 即，即实数为什么取值，圆和抛物线有两个共同点。错误的解法是将圆和抛物线连接起来，消去得到因为有两个共同点，方程式有两个相等的正根我解开那个显示了错误分析(图2-2-1) 2-2-2)圆和抛物线有两个共同点。xyo.o图2-2-2xyo.o图2-2-1使圆和抛物线具有两个交点的充分条件是方程式有正根和负根，或者有两个相等的正根。方程式有正根和负根时，可以解它因此，或时，圆和抛物线有两个共同点。思考问题：实数为什么取值，圆和抛物线(一)有共同点；(二)有三个共同点(三)有四个共同点(4)无公共点。养成管理习惯可以有效地提高