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4.2用数学归纳法证明不等式举例,选修45,在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0的任意正整数n，都有某种不等关系成立。,与正整数有关的命题,多米诺骨牌操作实验,情境一,数学归纳法,我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,（2）假设当n=k(kN,kn0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。,这种证明方法叫做数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,当n=1时，式（*）成立,(2)假设当n=k时，式（*）成立，即1+35（1）k（2k1）（1）kk,在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边是否成立.,引例、用数学归纳法证明：当nN+时，1+35（1）n（2n1）（1）nn（*）,当n=k+1时等式左边1+35（1）k（2k1）（1）k12(k+1)1,（1）k12(k+1)1,（1）k1(k+1)右边,所以当n=k+1时等式（*）成立。,由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）nn,利用假设,凑结论,从n=k到n=k+1有什么变化,（1）kk,（1）k1k2(k+1)1,下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：,（1）验证：n=n0（n0N+）时命题成立。,（2）证明：假设n=k（kn0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。,对所有的n（n0N+，nn0）命题成立,奠基,假设与递推,在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方如、等结合进行,比较法,分析法,综合法,放缩法,情境二,证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的。我们把这种证明方法称为放缩法。,预备知识1,预备知识2,例1.证明不等式,拓展,利用数学归纳法证明不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明,15,2
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