高中数学：教案全集课件新课标人教A必修4

新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 1 页页 共共 63 页页 数学必修 5 模块的教学研究 数学必修 5 模块的教学研究 一教学实录 一教学实录 高中数学课程的总目标是： 使学生在九年义务教育数学课程的基础上， 进一步提高作为 未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。 1获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了 解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学 习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 2提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交 流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和 作出判断。 5提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 6具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判 性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义 和历史唯物主义世界观。 本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。全书约需 36 课时， 具体课时分配如下： 第一章 解三角形 约 8 课时 第二章 数列 约 12 课时 第三章 不等式 约 16 课时 三角恒等变换在数学中有一定的应用， 同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。 在 本模块中， 学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式， 由此出发导出其他的三角 恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。 数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通 过对日常生活中大量实际问题的分析， 建立等差数列和等比数列这两种数列模型， 探索并掌 握它们的一些基本数量关系， 感受这两种数列模型的广泛应用， 并利用它们解决一些实际问 题。 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系， 是数学研究的重要内容。 建立不等 观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感 受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的 意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次 不等式组表示平面区域， 并尝试解决一些简单的二元线性规划问题； 认识基本不等式及其简 单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。 高中新课程已实施了一年。这不得让我们感到机遇与挑战同在，问题与智慧共生。在高 中新课程的课堂上， 我们欣喜地看到， 丰富多彩的课堂正在出现， 在民主宽松的课堂环境下， 学生的思想获得了解放，敢于放言陈述自己的观点，思维方式也得到了大大的拓展，各方面 的能力都有提高， 教师经常会有惊喜地发现。 在这样的课堂里， 老师也经常受到学生的启发， 真正体现了新课程使师生共同成长。 但一个模块的教学时间为 36 学时，远远不够。原因何在？是教材本身的问题，还是课 程标准的要求有问题， 或者是教师在使用教材方面的问题？实施新课程以后， 学生自己支配 的时间多了，有些学生不知道如何科学地利用时间。从前都有老师跟着，老师都为他们安排 好了，学什么？做什么？但现在，若老师不在身边，有些学生就躁动不安，不懂得如何自主 地学习了。 新课程的实施必然带来许多新问题， 作为教师， 要经常反思， 及时找到新的对策。 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 2 页页 共共 63 页页 二.模块试卷的命制目的及试卷分析。 二.模块试卷的命制目的及试卷分析。 模块试卷样本： 海口市一中 2004-2005 学年度第二学期 数学模块 5 考试试题 （解三角形、数列） 一、一、选择题 1在ABC 中，角 A、B、C 成等差数列，则角 B 为（ ） (A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 120 2由 1 13ad=，确定的等差数列 n a，当 n a=298 时，序号 n 等于（ ） (A) 99 (B) 100 (C) 96 (D)101 3在等比数列 n a， 37 232aa=，则q=（ ） (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 4 4在ABC 中，若 222 cabab=+，则C=（ ） (A) 60 (B) 90 (C) 150 (D) 120 5在等差数列 n a中，若 24568 450aaaaa+=，则 28 aa+的值等于（ ） (A) 180 (B) 75 (C) 45 (D) 30 6在等差数列 n a中，已知 12 15aa+=， 34 35aa+=，则 56 aa+=（ ） (A) 65 (B) 55 (C) 45 (D) 25 7在ABC 中，若sincoscossinABAB=，则ABC 为（ ） (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 8在等比数列 n a中，前三项分别为 2 1, , q q，第二项加上 2 后构成等差数列，则q= （ ） (A) 3 (B) 1 (C) 3 或1 (D) 2 9在各项均为正数的等比数列 n b中，若 78 3bb=，则 3132 loglogbb+ 314 log b+等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 第二卷 第二卷 一、选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 3 页页 共共 63 页页 答案 二、填空题 二、填空题 10在ABC 中,3 2a=,2 3b=, 1 cos 3 C=，则 ABC S= _ 11在等比数列 n a中, 1 a=2， 3 a=8，则 6 S=_ 12 111 122334 + 1 (1)n n += + _ 三、解答题 三、解答题 13(10 分) 已知等差数列 111 11,9,7, 222 的前 n 项和为 n S，求使得 n S最大的序号 n 的值，并求 n S的值。 14 （10 分）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，() 1 1 3 nn Sa= () * nN 求 12 ,a a； 求证：数列 n a 是等比数列。 15 （8 分）如图，某海轮以 60 n mile/h 的速度航行，在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60，向北航行 40 min 后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30，海轮改为北偏东 60的 航向再行驶 80 min 到达 C 点，求 P、C 间的距离。 模块考试情况分析： 样本容量为 57（一个普通班学生） 选择题各小题得分率如下： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得分率 0.72 0.33 0.70 0.60 0.61 0.37 0.51 0.67 0.82 60 30 60 A B C P 北北 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 4 页页 共共 63 页页 填空题、解答题满分率如下： 题号 10 11 12 13 14 15 得分率 0.59 0.40 0.58 0.44 0.57 0.29 综合以上对考试的试卷分析，对本模块及以后的教学有着以下几点启示： 1、要重视基础。数学教学必须面向全体学生，立足基础，教学过程中要落实基本概念 知识、基本技能和基本数学思想方法的要求，特别要关心数学学习困难的学生，通过学习兴 趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，努力提高合格率。 2、培养学生的数学表述能力，提高学生的计算能力。学生在答题中，由于书写表达的 不规范或是表述能力的欠缺， 也是造成失分的原因。 表述是一种重要的数学交流能力， 因此， 教学中要重视训练，培养学生良好的数学表述能力。同时也要加强考前指导，学习中考说明 中有关答题的要求，尽量减少由于表述不清造成的失分。 3、强化思维过程，努力提高理性思维能力。数学基础知识的学习要充分重视知识的形 成过程， 解数学题要着重研究解题的思维过程， 弄清基本数学方法和基本数学思想在解题中 的意义和作用， 研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径， 注意增减直觉猜 想，归纳抽象，逻辑推理，演绎证明，运算求解等理性思维能力。如果这方面做得好的话。 4、倡导主动学习，营造自主探索和合作交流的环境。学校和教师要为学生营造自主探索和 合作交流的空间，善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学 习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高数 学表达能力和数学交流能力。 三.模块教学反思。 三.模块教学反思。 （1）数学必修 5 的内容共有三章，分别是：解三角形，数列，不等式；内容较多，在 课改之前应该是高二上学期的内容， 并且每周至少是 6 课时； 现在实行课改后 5 周就上完课 本的三分之二，每周是 5 课时；由于课时紧，任务大，我感觉学生学得不够好，大多数学生 反映“消化不良” 。数学必修 5 结束一半时进行了一次期末考试，结果也与我们预期的有较 大的出入；课本上原题（含例题、课后练习、习题 A 组与复习题的 A 组）占了整个试题的 55%，结果有超过一半的学生不及格，原因在哪里呢？我想这应该是我在下一个学段急需解 决的主要问题； 在上课时我也是一直是按新课程的理念贯穿整个教学的始终， 也是处处体现 为了每一个学生的发展的理念，可为什么最后的结果会有如此大的反差呢？针对这样的情 况，我该怎么办，这也是我在今后所要解决的一个突出的问题。 另我感到欣慰的是：有相当一部分学生懂得如何去学习，如何去钻研、如何带着质疑的 态度去仔细斟酌；正是有了这种勤学好问的精神，所以学生自己发现了书本的好几处错误： 如：教材 61 页最上面的、教材 135 页例题 3 解答中也有一处、教材 140 页 A 组第三题、教 材 146 页 B 组第二题等等。 我想这主要应该是学生的学习方式发生了巨大的变化才有这样的结果， 在课堂上学生不 再是听课的机器，而是积极参与到课堂教学当中，成了课堂真正的主人。在课堂上我让学生 自己发现问题，提出问题，然后解决问题。自己解决不了问题在学习小组之内讨论解决，在 小组还解决不了的问题在全班共同讨论解决， 直至问题得到完满的解决。 这样学生在无形之 中就变成了学习的主人，成了学习的主角；因为是自己发现的问题，自己来尝试解决，因而 学生的积极性也就很高，学习热情就很饱满。当然在学生最需要帮助的时候，我便与学生一 起探讨，关键的时候给予必要的指点和表扬，以保持学生学习热情的持续性。 我的教学方式： 在教数学必修 5 的内容时我基本上是让学生自己先预习后提出问题， 其 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 5 页页 共共 63 页页 他同学一起帮助解决问题， 我仅仅是在课堂上控制一下课堂节奏； 引导学生如何倾听他人的 观点；在学生感到非常困难是加以分析、引导；指导他们如何进行合作学习；思考如何让学 生都“动”起来等等。 （2） “内容多，课时少”是学生反映最强烈的问题调查发现，78的学生认为老师讲课 速度快，学习跟不上，没有时间理解和消化所学习的内容因而有必要适当调整部分教学内 容，如在高一第一学期开设的数学课程不宜过多，可以考虑只开一个模块，让学生对高中的 数学学习有一个适应的过程，以实现初高中的平稳过渡同时，对现有的部分内容，该充实 的还是要充实，让教材内容更具体，学生学习起来更方便例如，关于信息技术的应用，学 生普遍要求教材能对具体操作步骤更细致些， 老师不仅对有关软件作演示， 还应教会学生操 作的方法，正所谓“授之以鱼不如授之以渔” 又如，某些公式、定理的证明、推导，虽然 课程标准中不要求学生掌握，但教材中还是可以以某种恰当的形式给出（如小字的形式，以 某个问题启发学生思考，介绍某些参考书或某些网站让学生自己去查阅等） 学生对某知识 了解其来龙去脉，理解、记忆会更深刻，从而对数学学习产生更大的兴趣 数学 5 第一章 解三角形 数学 5 第一章 解三角形 章节总体设计 章节总体设计 （一）课标要求 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实 在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1数学思想方法的重要性 （二）编写意图与特色 1数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分， 有利于学生加深数学知识的理 解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学， 并且在提出问题、 思考解决问题的策 略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它 们都是关于三角形的边角关系的结论。 在初中， 学生已经学习了相关边角关系的定性的知识， 就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角” ， “如果已知两个三角形的两条对应边及 其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题： “在 任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准 确量化的表示呢?” ，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及 其所夹的角,根据三角形全等的判定方法， 这个三角形是大小、 形状完全确定的三角形.我们 仍然从量化的角度来研究这个问题， 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角 形的另一边和两个角的问题。 ”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2注意加强前后知识的联系2注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系， 注意复习和应用已学内容， 并为后续章节教学内容做 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 6 页页 共共 63 页页 好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的 学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系， 与初中学习的三角形的边与角的基本关系， 已知三 角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。 教科书在引入正弦定理内容时， 让 学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角 的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?” ，在引入余弦定理内容 时， 提出探究性问题 “如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法， 这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就 是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。 ”这样，从 联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知 识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置 相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知 识联系密切的内容， 这使这部分内容的处理有了比较多的工具， 某些内容可以处理得更加简 洁。 比如对于余弦定理的证明， 常用的方法是借助于三角的方法， 需要对于三角形进行讨论， 方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后， 教科书从余弦定理与勾股定理的比较中， 提出了一个 思考问题 “勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？” ，并进而指出， “从余弦定理以 及余弦函数的性质可知， 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么第三边所对 的角是直角； 如果小于第三边的平方， 那么第三边所对的角是钝角； 如果大于第三边的平方， 那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.” 3重视加强意识和数学实践能力 3重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学， 而如今比较突出的两个问题是， 学生应用数学的意识不 强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用 到实际问题中去， 对所学数学知识的实际背景了解不多， 虽然学生机械地模仿一些常见数学 问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、 类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情 况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。 （三）教学内容及课时安排建议 （三）教学内容及课时安排建议 1.1 正弦定理和余弦定理（约 3 课时） 1.2 应用举例（约 4 课时） 1.3 实习作业（约 1 课时） （四）评价建议 （四）评价建议 1要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对 于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中， 应该因势利导， 根据具体教学过程中学生思考 问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。 如对于正弦定理， 可以启发得到有应用向 量方法的证明， 对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。 在应用两个定理解决 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 7 页页 共共 63 页页 有关的解三角形和测量问题的过程中， 一个问题也常常有多种不同的解决方案， 应该鼓励学 生提出自己的解决办法， 并对于不同的方法进行必要的分析和比较。 对于一些常见的测量问 题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。 2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题 的解决实际问题的能力、 动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力， 增 强学生应用数学的意识和数学实践能力。 教师要注意对于学生实习作业的指导， 包括对于实 际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。 111 正弦定理 111 正弦定理 （一）教学目标 1 知识与技能: （一）教学目标 1 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。 3情态与价值： 3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 （二）教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 （三）学法与教学用具 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sinsin abc ABC =，接着就一般斜 三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导， 让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 创设情景 （四）教学设想 创设情景 如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 探索研究 探索研究 (图 11-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin1 c C c = =, A 则 sinsinsin abc c ABC = b c 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 8 页页 共共 63 页页 从而在直角三角形 ABC 中， sinsinsin abc ABC = C a B (图 11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 11-3，当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD=sinsinaBbA=,则 sinsin ab AB =， C 同理可得 sinsin cb CB =， b a 从而 sinsin ab AB = sin c C = A c B (图 11-3) 思考： 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 （证法二） ：过点 A 作jAC ? ? ? ， C 由向量的加法可得 ABACCB=+ ? ? 则 ()j ABjACCB=+ ? ? ? ? ? A B j ABj ACj CB=+ ? ? ? ? ? ? ? ? j ? ? ()() 00 cos 900cos 90= + ? ? ? ? ? j ABAj CBC sinsin=cA aC，即 sinsin = ac AC 同理，过点 C 作 ? ? jBC，可得 sinsin = bc BC 从而 sinsin ab AB = sin c C = 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsin ab AB = sin c C = 理解定理 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使sinakA=，sinbkB=，sinckC=； 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 9 页页 共共 63 页页 （2） sinsin ab AB = sin c C =等价于 sinsin ab AB =， sinsin cb CB =， sin a A = sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin bA a B =； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsin a AB b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 例题分析 例题分析 例 1在ABC中，已知 0 32.0=A， 0 81.8=B，42.9=acm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 0 180()=+CA B 000 180(32.081.8 )=+ 0 66.2=； 根据正弦定理， 0 0 sin42.9sin81.8 80.1() sin sin32.0 = aB bcm A ； 根据正弦定理， 0 0 sin42.9sin66.2 74.1(). sin sin32.0 = aC ccm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2在ABC中，已知20=acm，28=bcm， 0 40=A，解三角形（角度精确到 0 1，边 长精确到 1cm） 。 解：根据正弦定理， 0 sin28sin40 sin0.8999. 20 = bA B a 因为 0 0B 0 180，所以 0 64B，或 0 116 .B 当 0 64B时， 00000 180() 180(4064 ) 76=+=CA B， 0 0 sin20sin76 30(). sin sin40 = aC ccm A 当 0 116B时， 00000 180() 180(40116 ) 24=+=CA B， 0 0 sin20sin24 13(). sin sin40 = aC ccm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 随堂练习随堂练习第 5 页练习第 1（1） 、2（1）题。 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 10 页页 共共 63 页页 例 3已知ABC 中，A 0 60=，3a=,求 sinsinsin abc ABC + + 分析：可通过设一参数 k(k0)使 sinsin ab AB = sin c k C =, 证明出 sinsin ab AB = sin c C = sinsinsin abc ABC + + 解：设 sinsin ab AB =( o) sin c k k C = 则有sinakA=，sinbkB=，sinckC= 从而 sinsinsin abc ABC + + = sinsinsin sinsinsin kAkBkC ABC + + =k 又 sin a A = 0 3 2 sin60 k=，所以 sinsinsin abc ABC + + =2 评述：在ABC 中，等式 sinsin ab AB = sin c C =()0 sinsinsin abc k k ABC + = + 恒成立。 补充练习补充练习已知ABC 中，sin :sin:sin1:2:3ABC=，求: :a b c （答案：1：2：3） 课堂小结课堂小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式： sinsin ab AB = sin c C =()0 sinsinsin abc k k ABC + = + ； 或sinakA=，sinbkB=，sinckC=(0)k （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 （五）评价设计 （五）评价设计 课后思考题： （见例 3）在ABC 中， sinsin ab AB =( o) sin c k k C =，这个 k 与ABC 有 什么关系？ 课时作业：第 10 页习题 1.1A 组第 1（1） 、2（1）题。 1.1.2 余弦定理 1.1.2 余弦定理 （一）教学目标 1 知识与技能: （一）教学目标 1 知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题， 3情态与价值：3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、 余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 （二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具 （三）学法与教学用具 学法： 首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化， 也就是研究如何从已 知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题， 利用向量的数量积比较容易 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 11 页页 共共 63 页页 地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 创设情景 （四）教学设想 创设情景 C 如图 11-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和C，求边 c b a A c B (图 11-4) 探索研究探索研究 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 11-5，设CBa= ? ，CAb= ? ? ，ABc= ? ，那么cab= ? ，则 b ? c ? ()() 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b = =+ =+ ? ? ? ? ? ? ? ? C a ? B 从而 222 2coscababC=+ (图 11-5) 同理可证 222 2cosabcbcA=+ 222 2cosbacacB=+ 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即 222 2cosabcbcA=+ 222 2cosbacacB=+ 222 2coscababC=+ 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 + =b ca A bc 222 cos 2 + = acb B ac 222 cos 2 + =b ac C ba 理解定理 理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 12 页页 共共 63 页页 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC 中，C= 0 90，则cos0=C，这时 222 =+cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例题分析 例 1在ABC 中，已知2 3=a，62=+c， 0 60=B，求 b 及 A 解： 222 2cos=+bacacB = 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62)+ +cos 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1)+ =8 2 2.=b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：cos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) + = + bca A bc 0 60 .=A 解法二：sin 0 2 3 sinsin45 , 2 2 = a AB b 又62+2.4 1.4 3.8,+= 2 32 1.8 3.6,= ac，即 0 0A 0 90 , 0 60 .=A 评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2在ABC 中，已知134.6=acm，87.8=bcm，161.7=ccm，解三角形 （见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得： cos 222 2 + =b ca A bc 222 87.8161.7134.6 2 87.8 161.7 + = 0.5543, 0 56 20A； cos 222 2 + = cab B ca 222 134.6161.787.8 2 134.6 161.7 + = 0.8398, 0 32 53B； 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 13 页页 共共 63 页页 0000 180() 180(56 2032 53)=+CA B 0 90 47.= 随堂练习随堂练习第 8 页练习第 1（1） 、2（1）题。 补充练习补充练习在ABC 中，若 222 abcbc=+，求角 A（答案：A=120 0 ） 课堂小结 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 （五）评价设计 （五）评价设计 课后阅读：课本第 9 页探究与发现 课时作业：第 11 页习题 1.1A 组第 3（1） ，4（1）题。 113 解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 113 解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 1 知识与技能:1 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无 解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:2. 过程与方法:通过引导学生分析， 解答三个典型例子， 使学生学会综合运用正、 余弦定理， 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数 的关系， 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能， 从而从本质上反映了事 物之间的内在联系。 （二）教学重、难点 （二）教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 （三）学法与教学用具 （三）学法与教学用具 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 （四）教学设想（四）教学设想 创设情景 创设情景 思考：在ABC 中，已知22acm=，25bcm=， 0 133A=，解三角形。 （由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条 件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 探索研究 例 1 探索研究 例 1在ABC 中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况 分析：先由 sin sin bA B a =可进一步求出 B； 则 0 180()CAB=+ 从而 sinaC c A = 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 14 页页 共共 63 页页 1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。 2当 A 为锐角时， 如果ab，那么只有一解； 如果ab，则有两解； （2）若sinabA=，则只有一解； （3）若sinabA，则无解。 （以上解答过程详见课本第 910 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习 1随堂练习 1 （1）在ABC 中，已知80a=，100b=， 0 45A =，试判断此三角形的解的情况。 （2）在ABC 中，若1a=， 1 2 c=， 0 40C=，则符合题意的 b 的值有_个。 （3）在ABC 中，axcm=，2bcm=， 0 45B=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。 （答案： （1）有两解； （2）0； （3）22 2x+， ABC是钝角三角形。 随堂练习 2随堂练习 2 （1）在ABC 中，已知sin :sin:sin1:2:3ABC=，判断ABC 的类型。 （2）已知ABC 满足条件coscosaAbB=，判断ABC 的类型。 （答案： （1）ABC是钝角三角形； （2）ABC 是等腰或直角三角形） 例 3例 3在ABC 中， 0 60A=，1b=，面积为 3 2 ，求 sinsinsin abc ABC + + 的值 分析：可利用三角形面积定理 111 sinsinsin 222 SabCacBbcA=以及正弦定理 sinsin ab AB = sin c C = sinsinsin abc ABC + + 解：由 13 sin 22 SbcA=得2c=， 则 222 2cosabcbcA=+= =3，即3a=， 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 15 页页 共共 63 页页 从而 sinsinsin abc ABC + + 2 sin a A = 随堂练习 3随堂练习 3 （1）在ABC 中，若55a=，16b=，且此三角形的面积220 3S=，求角 C （2）在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 222 4 abc S + =，求角 C （答案： （1） 0 60或 0 120； （2） 0 45） 课堂小结 课堂小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 （五）评价设计（五）评价设计（课时作业） （1）在ABC 中，已知4b=，10c=， 0 30B=，试判断此三角形的解的情况。 （2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。 （3）在ABC 中， 0 60A=，1a=，2bc+=，判断ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 2 5760 xx=的根， 求这个三角形的面积。 解三角形应用举例 第一课时 （1）教学目标 解三角形应用举例 第一课时 （1）教学目标 (a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际 问题，了解常用的测量相关术语 (b)过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其 次结合学生的实际情况， 采用 “提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈 训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同 时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点 和矫正 (c)情感与价值： 激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值； 同时培养学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 （2）教学重点、难点 教学重点： （2）教学重点、难点 教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的 解 教学难点： 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 （3）学法与教学用具 （3）学法与教学用具 让学生回忆正弦定理、 余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形， 让学生尝试绘制知识 纲目图。 生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理， 因此系统掌握前一节内容是学 新人教高中数学必修新人教高中数学必修 5 教案全集教案全集 第第 16 页页 共共 63 页页 好本节课的基础。 解有关三角形的应用题有固定的解题思路， 引导学生寻求实际问题的本质 和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。 直角板、投影仪（多媒体教室） （4）教学设想 （4）教学设想 1、复习旧知 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境2、设置情境 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥 不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在古代， 天文学家没有先进的仪器就已经估算出 了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度 等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等等不同的方法， 但由于在实际测量问题的真实背景下， 某些方法会不能实 施。 如因为没有足够的空间， 不能用全等三角形的方法来测量， 所以， 有些方法会有局限性。 于是上面介绍的问题是用以前的方