张宇最后一套数学二

1 2017 年考研数学张宇最后一套卷 （数学二） 一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的。 （1） 设函数 3 2 ln(1) ,0 arcsin 1 ( ) 1 2 ,0 sin 6 x x x xx f x exx x x x ， 1 2 1 arctan ( ) 1 x x e x g x e ,则极限 0 lim( ) x f g x = （A）-3（B） 3（C） -6（D）6 （2）函数 2 0 (2) ( ) (3) x tt t f xedt t （A） 有 1 个极小值，1 个极大值，1 条渐近线 （B） 有 1 个极小值，1 个极大值，2 条渐近线 （C） 有 2 个极小值，1 个极大值，2 条渐近线 （D） 有 2 个极小值，2 个极大值，2 条渐近线 （3）曲线lnyx的最大曲率是 （A） 2 3 1 3 （B） 2 3 2 3 （C） 3 2 1 3 （D） 3 2 2 3 （4）设 1 2 2 00 1,sin, nn nn axx dx btdt 则极限lim n n n na b = （A）1（B）0（C）-1（D） （ 5 ） 设( , )F x y在 00 (,)xy的 某 邻 域 内 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 00000000 (,)0,(,)0,(,)0,(,)0 xxxy F xyFxyFxyFxy ，则由方程( , )0F x y 在 00 (,)xy某邻域内确定的隐函数( )yy x在点 0 x处 2 （A）取得最大值（B）取得极小值 （C）不取极值（D）无法判断 （6）设 22 ( ),( )23f xxfxxx 且( )0 x，则 2 3 1 11 lim() ( ) n n i ini nnx （A） 1 12 （B） 1 6 （C） 1 3 （D） 2 3 （7） 设 A 为 n 阶方阵， 1 ， 2, ， n 为n个线性无关的n维向量， 则秩 r(A)=n是 A 1 ， A 2, , A n 线性无关的 （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分也非必要条件 （8）设矩阵 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa A aaaa aaaa ， 14131211 24232221 34333231 44434241 aaaa aaaa B aaaa aaaa , 1 0001 0100 0010 1000 P ， 2 1000 0010 0100 0001 P ，其中A可逆，则 1 B等于 （A） 1 12 A P P （B） 1 12 P A P （C） 1 12 P P A（D） 1 21 P A P 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9）设摆线 sin 1 cos xtt yt （0t ）上任意一点(x,y)处的切线的倾斜角为，则 cos _. y （10）设 1 112 32313 n n k u kkk ，则lim_. n n u 3 （11）设 fx在, 内有定义，且对任意x, ，y, ，成立 yx fxyfx efy e，且 0 f 存在等于a,0.a 则 fx=_. （ 12 ） 设 函 数,fx y的 一 阶 偏 导 数 连 续 ， 在1,0的 邻 域 内 有 2 2 ,121f x yxyoxy 成 立 ， 记 , y z x yf exy， 则 (0,0) ,_.dz x y （ 13 ） 设( )f x在,) （-上 可 导 ， 且 其 反 函 数 存 在 为( )g x， 若 ( ) 00 ( )( )1 f xx xx g t dtf t dtxee ，则当x 时，( )f x=. （14） 1321 1331 1521 _. 23321 211321 n nn nn nn D nn nn 三、解答题：15-23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本题满分 10 分） 设函数( )f x在ba,上一阶导数连续， 222 12 ( )( ) ( ),tan,tan, f af b fxrx ab 计算 2 1 2 2( )( ). b a f x dxrd （16） （本题满分 10 分） 设 cos(arcsin ),f xx （I）证明： 2 (1)( )( )( )0.xfxxfxf x （II）求 ( ) 0 ,1,2 n fn （ ）， （17） （本题满分 10 分） 设曲线, 0 2 dtey x t （I）求y的全部渐近线.（II）求曲线y与其全部渐近线及y轴所围图形的面积. 4 （18） （本题满分 10 分） （I）证明方程xx tan在）（ 2 , nn内存在实根,1,2, n n （II）求极限 1 lim(). nn n （19） （本题满分 10 分） 在曲线 222 1 4 3 xyz L xyz 上求点, ,x y z（）使得Wxyz分别为最大值与最小值，并求出 此最大值与最小值. （20） （本题满分 11 分） 在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体并将容器水平放置，如果椭圆方程为 2 2 1(), 4 x ym单位： （I）液面在的函数关系是什么？与积处时，容器内液体的体yVyy) 11( （II）如果容器内储满了液体后，以每分钟 0.16时，端抽出，当液面在的速率将液体从容器顶0 3 ym液面下降的速率是每分钟 多少米？ （III）如果液面的密度为）（ 3 /1mN，抽完全部液体需做多少功？ （21） （本题满分 11 分） 设 1 2 0 1 ( )0,10,1( )( ). 3 f xf x dxf 在上连续，证明：（），使得. （22） （本题满分 11 分） 已知齐次线性方程组（）为 . 0 , 0 432 321 xxx xxx 齐次线性方程组（）的基础解系为 TT ）（，）（1 , 1 , 0 , 14 , 2 , 1 , 1 21 （）求方程（）的基础解系