数值分析试卷及答案

模拟试卷(1)一、填空问题(每小题3分，共计30分)1.有3个不同节点的高斯求积式的代数精度如下.2.则=_.3.y=f(x )的平均差(差商)， 已知平均差=.4.n=4时Newton-Cotes求积式的系数分别为=. 5 .求解初始值问题的改进欧拉法是阶法6 .求解线性代数方程式的高斯-单元迭代式， 取.7.求方程式根的牛顿反复形式为以.8.整数点为节点的Lagrange插补基函数时，求解方程式的单纯反复形式收敛的充分条件为. 10 .时，3次牛顿插补多项式的误差推定式为. 2，综合问题(每个问题10分合计60分钟) 1 .满足一阶不超过四阶多项式：2.构造代数精度最高形式的积式，求其代数精度.用Newton法求方程区间内的根的要求.4.用最小二乘法求形式的经验式， 拟合以下数据： 19253535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353 535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353 3 . 4 . 5.2 6 .(0.02，0.22，0.1543 )7. 8 . 九. 10 .二、合议问题1 .差商表： 11121515572042722228其他方法：作为命令，求a和b. 2。 正确成立公式，时、左右公式时、公式左、公式右8756； 式的代数精度.3.这个式子在区间内只有一个根，在区间(2，4 )内。 于是，Newton法的反复式为取得、取得。 4 .解方程式，其中，解：所以.5.解是通过矩阵乘法求出的，有解下三角方程式.从再解上三角方程式得到的原方程式的解是， 6解初始值问题等价于以下形式.可以利用辛普森求积式.3.因为写了证明问题，所以反复形式收敛的根.模拟试卷(二)一、填空问题(每小题3分，共30分)一.分别用2.718281和2.718282计算的近似值， 如果将有效位数分别设定为有位数和位数2 .则对于=_，=. 3 .方程式，雅可比迭代法的迭代矩阵如果设定为： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5.已知， 因为求条件数_.6.2点的数值的式子代数精度最高，所以求其积的基点是： _ _ _ _ _ _ _ _，解的初始值问题的近似解的梯形式是8 .求方程式根的弦切片法的反复式是9 .计算积分，取4位的有效数字，以梯形式计算的近似值是， 辛普森公式计算的结果是10 .任何非奇异矩阵的条件数=，它必定是二，综合问题(每个问题10分，总共60分) 1证明方程式在区间有一根根，利用二分法求其误差不超过近似解，重复多少次？ 2已知常微分方程初始值问题：用改进的Euler法计算的近似值，用步骤3矩阵的分解法求解方程式. 4用最小二乘法求形式的经验公式，并将其与以下数据拟合. x1. 01.41.82.22.6 y0. 9310.4730.2970.2240.1686方法求矩阵模型最大特征量的近似值，取初始向量，分两阶段求近似值. 3、证明问题(10点)已知迭代公式证明：对于所有序列均为单调递减，迭代过程收敛.参考解答1、填充问题1.6、7； 2. 9、 3 . 4.1、0； 5. 9； 六. 7 . 8 . 9.0.4268，0.4309； 10.1、2、统合问题1解令的话，区间内只有一个根据。 如果用二分法求出其误差不超过的近似解，就可以解出这个不等式，所以重复14次就可以了。 2、解： 3解可以通过矩阵乘法求出，解.故求出的经验式为. 5解(1)，因此有内在的根，不通过雅可比迭代法收敛.2)，因此高斯-赛尔迭代法利用收敛. 6解，结果得出， 3，证明问题的原因是： 模拟试卷(三)一、填空问题(每小题3分，共计30分)1.作为真值的近似值，有位有效位数，相对误差有限2 .用二分法求方程式区间 1，2 内的根，如果要求正确到3位的小数，就需要分级。 3 .具有n个节点的高斯求积公式的代数精度如下：4.为了局部收敛重复格式，假定可能的值范围是5 .线性方程具有唯一的解，则在不考虑系数矩阵的扰动的情况下，如果方程的右边项的扰动存在相对误差， 给出一定能保证解的相对误差的6 .线性方程式，求解该线性方程式的雅可比迭代式是Gauss-Seidel迭代式为7 .插值型积分式的积系数之和为8 .数值求解初始值问题的龙格-科特式的局部截止误差为9 .已知函数，将该函数表作为牛顿插值多项式时， 假定对角线元素是正下三角矩阵以允许分辨率，则内插多项式的系数为10 .能取的值的范围为正。 二、综合问题(每个问题10分，共60分)用Newton法求方程式区间内的根，设定要求.2.方程式，知道其中有解，如果右端有小扰动，估计由此产生的解的相对误差。 用Simpson公式计算积分的近似值，估计截止误差。 4 .函数假定区间 0，3 有4次连续导数，用Hermite插值法求出次数为3以下的多项式使其满足，并写出误差推定式。 5 .给出经典雅可比法求出的特征值的第一次迭代演算。 6 .用梯形法求解初值问题，证明其近似解，并证明其收敛于初值问题的正确解。 三、证明问题(十分)有不同实根的，证明.参考解答一、填空问题1. 3； 2. 10； 3 . 4 . 5 . 6.7 . 8 . 9. -2.4； 10 .二、综合问题1 .该方程在区间内只有一个根，而且在区间(2，4 )内。 于是，Newton法的反复式为取得、取得。 2 .可以根据给定条件用插值方法从解、表达式、有效3 .以及截止误差的给定条件来确定多项式，重复地应用罗尔定理(从问题意识到决策保留函数，辅助函数：顶部存在四阶导数并且顶部具有至少5个零点(双零点) )，从而得到至少一个零点误差估计公式是。 5 .先拿走，所以，2222222222222222222222222220000气体气体气体气体气体653 2.3 .设定的根附近存在连续的二次导数，且迭代过程线性收敛时，迭代过程收敛于平方。 4 .如果满足5 .列主要像素消去法求解线性方程式，则在第k-1步消去原始像素时，在放大矩阵的第k列取主要像素。 6 .已知函数求解=的二阶牛顿插值多项式7 .方程。 如果可以表达式，则满足用单纯反复法求根，近似根系列必定收敛。 8 .点插值型数值积分式的代数精度至少次，不超过最高次。 9 .写初始值问题上Euler计算形式10 .求解初始值问题的梯形方法为阶法2，综合问题(1题10分，合计60分)1.证明方程式在区间 1，2 内唯一有根x*，用牛顿迭代法求x*。 2 .用列主要像素消去法解线性方程式3 .给定的数据x=0，1，2，3，对应函数值分别为y=1，3，2，4，求拉格朗日或牛顿插值多项式。 4 .设置矩阵用“规范化”方法求模型的最大特征量和对应的特征向量(注：求迭代4次即可)5.用改进的Euler法求初始值问题，给出.6.数据，求最小二乘多项式。 三、证明问题(10点)线性方程(1)用雅可比迭代法和高斯-塞尔迭代法求解该方程、同时收敛还是发散(2)同时收敛时，比较它们的收敛速度。 参考解答1，填空问题1 . 2.6、6； 三. 4 . 5 . 6.2、1、 7 . 八. 9. 10、综合问题1 .从牛顿迭代公式中取x0=1.2进行取得或取得，因此.2.因此.3.或4 .取得或以幂法取得，5 .改进的Euler法取得或计算取得： 已计算：已计算： 计算： 计算： 计算结