等差数列的概念.ppt

等差数列,同学们好,教学目标及重点难点,教学目标1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。重点难点1.等差数列概念的理解与掌握2.等差数列通项公式的推导及应用3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用,复习导入,请看以下几例：4，5，6，7，8，9，10，3，0，-3，-6，-9，-12，1/10,2/10,3/10,4/10,5/103，3，3，3，3，3，3，,你还记得吗？,数列的定义给出数列的两种方法,创设问题情境，引入新课,得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。,返回,等差数列的公差,公差d1.an-an-1=d(n2)（数学表达式）,3.d的范围dR,2.同一常数如2，3，5，9，11就不是等差数列,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,例:已知三个数2，x，98成等差数列，求x,等差数列的通项公式,如果等差数列an的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：a2-a1=d,a2=a1+d,由此得到an=a1+(n-1)d,返回,an-a1=(n-1)d,an-an-1=d,a4-a3=d,a3-a2=d,an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,a3=a1+2d,(题型一)求通项an,例1：a1=1,d=2,则an=?,解：an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求an及a20,解:由题a1=8,d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习1：已知等差数列3，7，11，则an=_a4=_a10=_,4n-1,15,39,an=a1+(n1)d(nN*),(题型二)求首项a1,例2：已知等差数列an中，a20=49,d=3，求首项a1,解：由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习2：a4=15d=3则a1=_,6,an=a1+(n1)d(nN*),例3：判断400是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？,解：a1=5,d=4，an=5+(n1)(4),假设-400是该等差数列中的第n项，则400=5+(n1)(4),所以400不是这个数列的项,an=a1+(n1)d(nN*),(题型三)求项数n,练习3：100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.,an=a1+(n1)d(nN*),(题型四)求公差d,例4：一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。,分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,解：由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7,从而可求出a2=33+7=40(cm)a3=40+7=47(cm)a4=54(cm)。,an=a1+(n1)d(nN*),总结：在an=a1+(n1)d，nN*中，有an,a1,n,d四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d(nN*),（题型五）综合,例5：在等差数列an中已知a3=10,a9=28,求a1、d及an,an=4+(n1)3=3n+1,an=a1+(n1)d(nN*),解法1：由an=a1+(n1)d,猜想：任意两项an和am(nm)之间的关系：,证明:am=a1+(m1)d,an=a1+(n1)d(nN*),an=a1+(n1)d,a1=am-(m1)d,=am-(m1)d+(n1)d=am+(n-m)d,an=am+(n-m)d,例5：在等差数列an中已知a3=10,a9=28,求an,an=am+(nm)d(n、mN*,nm),an=a3+（n-3）3,解法2：a9=a3+(93)d(nN*),28=10+6dd=3,=10+（n-3）3=3n+1,等差数列的应用,例1.1）等差数列8，5，2,的第20项是几？2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？,解：1）由题意得，a1=8,d=-3,2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401,an=a1+(n-1)d,n=100-401是这个数列的第100项。,a20=a1+19d=8+19(-3)=-49,-401=-5+(n-1)(-4),课堂练习（二）,1）求等差数列3，7，11的第4项与第10项。,答案：a4=15a10=39,2)100是不是等差数列2，9，16的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。,答案：是第15项。,3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。,解：a1=0,d=-3.5,-20不是这个数列中的项。,n=47/7,-20=0+(n-1)(-3.5),等差数列的应用,例2.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。,解：由题意，a5=a1+4da12=a1+11d,解之得a1=-2d=3,若让求a7，怎样求？,即10=a1+4d31=a1+11d,课堂练习（三）,1.在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12,答案：a12=0,2.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8,解：由题意得，a1+d=3,a1+3d=7,a6=a1+5d=1+52=11a8=a1+7d=1+72=15,a1=1,d=2,课堂练习,在等差数列an中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an,解：a10=a1+9d=2+93=29,2）已知a1=3,an=21,d=2,求n,解：21=3+(n-1)2n=10,3）已知a1=12,a6=27,求d,解：a6=a1+5d,即27=12+5dd=3,4）已知d=-1/3,a7=8,求a1,解：a7=a1+6d8=a1+6(-1/3)a1=10,课堂练习：,2.求等差数列2，9，16的第10项,100是不是这个数列的项。如果是，是第几项？,1.等差数列-5，-1，3的公差是（）,A.4B.-4C.8D.-8,3.等差数列中，已知a3=9,a9=3,则a12=_,4.数列an中,a1=,an+1=an-(nN*),则通项an=（）,5.已知等差数列的前三项依次为：a-1,a+1,a+3,则此数列的通项为（）,A.an=2n-5B.an=a+2n-3,C.an=a+2n-1D.an=2n-3,A,0,B,A.,B.,D.不能确定,C.,C,1.求出下列等差数列中的未知项:,(1)2，a，6(2)8，b，c，-4,(3)8，b，-4，c,2.已知a,b,c成等差数列，求证：b+c,c+a,a+b成等差数列,例1：在等差数列an中已知a3=10,a9=28,求an,an=am+(nm)d(n、mN*,nm),an=a3+（n-3）3,解法2：a9=a3+(93)d(nN*),28=10+6dd=3,=10+（n-3）3=3n+1,思考:等差数列an中,（m、n、N+）,若m+n=p+q则am+an=ap+aq?,【说明】上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3吗？,例2、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=？,（一）等差数列的基本性质：,3、项数成等差数列的项也构成等差数列。4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和也构成等差数列。5、两个等差数列的和、差还是等差数列即an，bn是等差数列，anbn也是等差数列，pan、anc也是等差数列（p，c为常数）。,2、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,1、在等差数列an中，若m+n=p+q，则.,am+an=ap+aq,（二）等差数列的证明：,例3、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，p，q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？,应用延伸,例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？,解：由题意得，a6=a1+5d0a7=a1+6d0,例4.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。,解：a12=30+11d0a11=30+10d0,d