普通物理力学中平动非惯性系的处理方法

差和第一光学平行差都是由? ? “ 决 定 , 所以屋脊棱与屏上坐标轴重合 , 象征双象 差的两个干涉 中心斑不仅对称于屋脊棱也 对称于屏上 的坐标轴 。 用纸片挡住入射到一个屋脊面的入射 光线 , 如果挡住入射面的右半部分 , 此时 若右边干涉图样中心斑消失 , 则屋脊棱镜 的双象差?为正 , 即屋脊角大于? ? 。? 如果 挡住左半部分 , 则屋脊角小于? ? 。, 其双 象差为负 。 五 、 测 皿实例 屋脊棱镜? ?一? ? 。 的测量数 据 为 ? ? ? ?士? ? ? , ? ? ?士。 。 ? ? , ? ? ? 。 ? , ? 一? ? ? ?土? 。 ? ? , 测件双象差 ?平均值 ? ? , ? , ? ? 公式中分母略去? 便于简化计算? 弘旦 华嘿二二 夕?。 ? ?一 艺?七 “ ?工 ?通荃些丝兰丝? ? ? ? ? 一 ? ? 名 ? ? ?秒 测件双象差平均值与实际值的相对误差为 邑 ? ? ? ? ? ? 测件双象差平均值与实际值的绝对误差为 昼 ? ? ? ?秒 所以测件双象差的实际值为 ? ? ? 。 ?土 ? 。 ? ?秒 冀东学刊 ? ? 年第?期 普通物理力学中平动非惯性系的处理方法 马 继云 一 有今 在力学教学中 , 因 牛顿第二定律只适 用于惯性参照系 , 而 非惯性系的处理方法 作为惯性系方法的补充 , 对深刻理解力学 规律 、 拓展解题思路 , 使有些问题的处理 简化大有 帮 助 。 同 时 , 非 惯性系 问题和近 代物理发展联系紧密 , 所以 , 熟悉和掌握 这个方法也很有必要 。 下 面就平动非惯性 系的处理方法 总结如下 ? 一 、 在非惯性 系中运 动学规律不变 非惯性系中运动学问题的实质是相对 运动问题 。 设有惯性系?和非惯性系? 产, ? ,相对于?有加 速度 ? 。, 按经典力学 时 空 观 , 质点在?时刻相对 于?系的位置矢量 、 速度 和加 速度分别为 ? 、 ? 、 ? , 相对 于? 产 系的位置矢量 、速 度 和加速度分别为 ?尹、 记 、 ? , , ? 系坐标原点。 相 对于?系 的位 置矢量 、 速度和加速 度分别 为 ? 。 、 ?叫卜 ? 。 、 ? 。, 按相对运动结果 , 一 ?卜 ?卜 ?洲卜, 卜 ? ? ? 。 ? ?, , ? ? ? 。 ? , 一?卜?卜?卜 ? ? ? ? ?, 以上基本关系是 运动叠加的必 然结 果 。 在已知位置矢量运用微分方法求解速 度 和加速度的过程 , 或已知初始条件运用 积分方法求解速度和位置矢量的过程 ,?。 、 ? 。、 ? 。 和 ?, 、 ?、? 都是 可以分别进行计 算再合成 的 。 不 同 的参照系 , 对于质点的 运动描述 不 同 , 但说明的 问题是一样的 。 在诸如相 碰 、 追及等 问题 中 , 对于 所要解 决的问题可以在? 产 系中显示 , 此时 可不 涉及质点在?系中的运动 , 只在? 产系 中就 能表述 或求 解 。 关于在非惯性系中的求解方法 , 它 和 在惯性系中求解方法一样 , 只是把所使用 的各物理量变成相对非惯性系的就可以 了 。 下面以常见的一维匀变速直线运动为 例 , 推证在非惯性系中如何使用已掌握的 规律 。 一质点在惯性系?的?轴上作 加速 度 为 ? 的匀变速直线运动 。 按常用的符号及 其意 义表达 , 其运动规律为 ? ? ? ? , ? ? ? ? 一? ? ? ? ? ? ? , ? , , ? ? 一? , ? 工 ?, ? ? ? 一? “ 、? 一 ? ? ? , ? 卜 二 ? 比较可知 , 只要将位移 、 速度和加速 度都取作在非惯性系中的值 , 匀变速直线 运动规律与在惯性系中一样 。 一维 运动情 况如此 , 作为一个分量出现 , 二维 、 三维 的运动问题也能解决 。 二 、 非惯性的动 力学问题 ? 。 加进 惯性力后 , 牛顿第二定律在非 惯性系中不变 适用于惯性系的 牛顿第二定律可 表示 为 ? ? ?自?口 ? 了、 、 ?了、 ? ? 一 ? , ? , ? ? ? 一?一? ?,?, ? 委 ? ? , ? ? ? ? 一? ? ? 另有一非惯性系? , 其? 轴和? 系的?轴 重合 , ? 尹系原点? , 相对?系原点?有恒定 的加速度 ? 。 ?, 、 ?两时刻质点分别位于 ?系的? 工、 ? ? 两点 , 速度分别为 ?, 和 ? ? , ?月卜 ? 卜 ?外一? ? ? ?卜 ? 对? ,系 , ? ? , ?两时刻分别位于? , 、 ? ? 两点 , 速度分别为 , , 和 , ?, ? , 系原点。 在 ?, 、 ?两时刻分别 位 于?系中的 ? 。, 、 ? 。 ?, 速度分别为 ?。, 和 ?。?, 在?系中将 匀变速直线运动规律分别用于质点和。 点 , 有?一?式和 ,。? ? ? 。, ? ? 。 ? ? 一? , ? 其中 , ?外为质点所受的合外力 , 。为质 点的质量 , ? 为质点在惯性系 中的加速 度 。 如在非惯性系中考察质点的运动 , 且 保持牛顿第二定律的形式 , 须 在 质 点上 加一惯性力 。 ?惯? 一? ? 。 ? 其中 , ?。为非惯性系相对于 惯性系的加速 度 , 把以上两式相加 , 得 ?叫卜 一刁卜 ?外十?惯? ? ? ?卜 ? 一? 。? ? 神刁卜 ? ?尸 ? 。 ? ? ? 。? ? ?。 , ? ? 一? , ? ? 由上式可知 , 在非惯性系中加进 惯 性力 后 , 按牛顿第二定律求出的加速度正是质 点相对于非惯性系的加速度? , , 即加进惯 性力后 , 牛顿第二定律在? ,系中 形 式 不 变 。 可见 , 从非惯性系看来 , 加进惯性力 引起的质点运动效果是叠加上一个 加 速 度 , 它 正好等于非惯性系相对 于惯性系的 加速度的负值 。 在处理非惯性系动力学间 题时 , ? 。 通常是给定的或能求出的 , 应用 ? ? 一 ? ? ? 了 、 了 、, 一 勺 八匕 了、? 、 ? ? 一?, ? ? ? “? ? 。 ? 。 ? 一? 。一? ? 由相对运动知识 可得 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? 一? ? ?式和运动学规律就可以在非惯性系 中进行有关问题的处 理 了 。 ? 。 加进 惯性力后 , 动量定理 、 动量守 恒定律在非 ?质性 系中形式不变 。 在? ?时间内 , 质点所受合外力和惯性 力 的元 冲量为 质点系在一个过程中相对于非惯性系的动 量增量 , 等于质点系所受外力和惯性力的 总 冲量 。 关于 动量守恒定律 , 在惯性系中 , 如 果质点系 不受外力或所受外力的和为 零 ? 一争 ?卜一卜 ? 产 ?外? 惯 ? ? 时 , 动量守恒 。 ? 仓 ?”一 即 ?一卜 ? ?, ? ? ? 。 ? 。二 二二二一?二 ? ? ? 将上式和 ? 、 ? 两 式代入 ? , ? ?一 ? ? 。 ? ? ? , ? 一? 。? ? 式 中 , ? 为质点在惯性系中的动量 , ? 产 为在非惯性系中的动量 , 它等 于质点的质 量和 在非 惯性系中速度的 乘?积, 上式 表 明 , 质点相对 于 非惯性系的动量的 微分等 于质点所受的合外力和惯性力在? 七时 间内 的元 冲量 , 将上式两边 积分 即 得 如以非 惯性系讨论 , 因每个质点都 加进 了 惯性力 , 它们方向相同 , 合成结果不为零 。 所以从非惯性系来看 , 动量不 再守恒 。 对 于在惯性系看来不守恒的 , 如加进 惯性力 后能够满足 ?月卜? ?一卜 艺?外 ? ?艺?惯?一。 即质点系所受外力 和惯性 力的 总和为零 时 , 有 艺? ? 子 万? ? ? 一事 以上说明 , 在非惯性系 中 , 将质 点的 速度 改 为相对 于 非惯性系中的速 度 , 求 冲量 时 , 要将质 点所受合 外力 和惯性力的 冲量 都考 虑进去 , 大家熟知的适于惯性系的质 点的动量定 理在非惯性系中形式 一样 。 另 外 , 由 一卜 式 也就是 , 非惯性系中动量守恒 。 所以 , 在 非惯性系中 , 考虑了惯性力的影 响及守恒 条件的变化 , 惯性系中的动量守恒定律在 非惯性系中不变 。 此 时 , 质点系质心相对 于惯性系的加速度和非惯性系的加速度大 小相 等 , 方向相同 。 ? ? 加进惯性力后 , 动能定理在非惯性 系中形式不变 在? ?时 间内 , 质点在惯性系中的位 ?刃 移? ?等 于牵连位移?。和 相 对 位移? ?产之 和 , 即 ?惯 ? 一 ?刁 万 ? 一 ? ? 。? ? ? 二? ? 。 十? ?, 可以看出 , 惯性力的冲量的物理意义 是由 于非惯性 系的 速度即牵连速度的变化所引 起的质点相 对 于 非惯性系的动量变化 , 它 等于质点质量 和牵连 速度增量 乘积的负 值 。 注 意 了上述 的动量和 冲 量的求法 , 容 易得 出 , 非惯性 系 的质点系的动量定理为 计算非惯性系内 , 质点在? ? 产 位 移内 , 质 点所受合外力和惯性力的元功 ? ? , ?外? ?惯? ? ?, 一卜 ?卜 ? 又m 布下一 m 片下 Qta m (d y 一 d y 。 ) 月卜 U ) 。 v 产 d t 一卜 一 V , 护J卜 户卜 J卜 ( v 一 v 。 ) 。 v, =md y , v , =d ( 粤 mv 2 ) 艺 质点从p点沿任意曲线运 动到 Q点的 过程 中 , 合外力和惯性力的功为 Q v乙 A /一 丁 A , 一 丁 d( 合 m一) P vP 1 :二= IUV 2 口 , : 一 上m v, “ 2 P 如把由相对速度决定 的质点动能叫相对动 能 , 上式表明 , 在非惯性系中 , 一个过程 中合外力和惯性力的总功等于质点相对动 能的增量 。 可见 , 加进惯性力后 , 非惯性 系的质点动能定理在形式上 和惯 性系一 样 。 非惯性系质点系的动能定理在形式上 也和惯性系一样 。 非惯性系中 , 质点系 的 动能增量等于质点系所受外力和内力以及 惯性力作功的总和 。 4 。 引进和惯性力相关连的势能 , 功能 原理在非惯性系中形式不变 关于功能原 理在非惯性系中的应用 , 由 等效原理知 , 一个加速场可以和一个引 力场等效 。 既然质点时刻都受到惯性力的 作用 , 可以认为质点处 于一引力场中 , 该 场对质点的引力作用表 现为质点所受的惯 性力( 一 m a 。 ) , 其等势面为与a 。 垂直的 平面 , 并将惯性力视为质点和该引力场的 保守内力 , 那么 , 对质点系中的 第i个 质 点在该场中的势能可表示为 E P:= 土m 111 ( 一a 。 ) 惯性力背向零势面 , 则取负号 。 由此规定 了质点在引力场的势能 , 连同重力势能 、 弹性势能等加在一起定义为质点的势能 , 和相对动能加在一起定义为在非惯性系中 的机械能 。 那么 , 非惯性系的功能原理就 可以表述为 , 系统的机械能的增量等于系 统所受外力的功 和 非保守内力的功的代数 和 , 此 时 , 这个系统应 包括 质点系 、 地 球 、 弹簧等 和 引进的引力场 。 可见 , 引进 和惯性力相关联的 引力场后 , 功能原 理在 非惯性系中的形式和惯性系 一样 。 在此基 础上 , 如 系统不受外力和非保守 内力作 用 , 或所有外力和非保守内力在过程 中的 任意dt时间内所作元功的代数和为零时 , 在整个过程 中 , 非惯性系的 机械能守恒 。 这和惯性系中的形式一样 。 总之 , 经过 一定的附加处理后 , 惯性 系中的力学规律 , 如运动学公式 、 牛顿第 二定律 、 动量定理 、 动量守恒定律 、 动能 定理 、 功能原理 、 机械能守恒定律等在非 惯性系中仍然适用 。 三 、 应用举 例 例题 : 如图一所示 。 一辆质量 为M的 平板小车 , 在光滑的水平轨道上以速度 , 作直线运 动 。 今在车板前缘放上一质量为 二相对地面静止的物体 , 设物体与车板之 间的摩擦系数为协 , 为使物体不致从 车板 上跌下去 , 问车板的长度最短应为多少? 从物体放上车板到与车有共同速度的 时 间 为多少? 解以地 面 为参照系 , 并以车前进方 、 5 2 一 一洲! 一来, : 。洲 式中 , 1 , 为第i个质点在 a。 方向上 到零势 面(在非惯性系中任意选取)的距离 , 式 中正负号的判别方法是:从质点所在位置 看 , 若惯性力指 向零势面 , 则取正 号 ; 若 f去汗.二1 一) 寸 图1 尹二0 一3 Z f一一一一J 、 场 一万 图2 向建X轴 , 物体放在小车上后 , 由于相 对 运动 , 物体受小车的滑动摩擦力f二 协mg 作 用 , 将从静止开始作加速运动 , 加速度 为 a= 卜g , 小车受物体的滑动摩擦力f - 一卜m g作用 , 作减速运动 , 加速度 为a o 方法 二 , 以非惯性系(小车)为参照 系 因小车相对 于地面有加速度 , 则以水 车为参照系 时 , 应按非惯性系方法处理 , 物体除受f作用外 , 还应受F 惯= 一 m a 。 ;g 影 作用 。 始末两状 态物体的相对速度 II 分别为 , , - 一v 和v :一 。 。 从物体开始运动到 相对 小车静止所需 时 间 可用非惯性系 的动量定理求出 I I (f+ F惯) t= m v:一 m v ; =m v = 一卜丽g o 当物体的运 动速度与 小 车的 M v M v 运动速度相同时 , 物体就相对于小车 静止 而不跌下来 。 方法一 , 以惯性系 (地 球 )为参照系 按动量守恒定律 , 可 得 M v一 (M+ m ) v: t一杯命一江 百 灭丽不石了 物体相对于小车的加速度为 _z_ f+ f惯 一 一 m 一。g “+ 箭 用运动学公式 , 可求物体在车板上吮 M v ” 丽干而 位移 物 体与小车具有相同的速度v , 所 需时 间为 x , 业二卫二 三一一二卫二一- _ v, _ M v a ;g ( M+m ) Z a , 2件9 2 , . I n 、上下丽 在 间t内物体相对于地面 运动的距 离 为 M vZ 2拼g ( M+m) V t S : 一止-二 2a , 2 M Z 2卜轰 二 (M+m) 即车板的最小长度 L X 产 与此 同时 , 小车前进 的距离为 M vZ 2补g (M十 m ) 。 二 1 02=V t十aot 一 = 艺 v2 豌 另 , 还可用非惯性系的动能定理求 X , M( Z M +m ) (M +m) 盆 为使物体不从车板跌下去 , 车板的最小长 度应为 1 _ , 1 气十恻 口鑫 一丁m v “一 了爪 v X , 1 夏一且几V “ 艺 一 坏了面 “ M , 2 一2协g ( M +m ) L=S , 一 5 . 二 二一 艺拼g M vZ (M +m) 如用功能原理求解 , 须 引入一 引办 场 , 其等势面为与a 。 方向垂直的平面 , 保 守内力为 一 m a 。, 如图二所示 。 规定过车 板前缘的等势面为零势面 , 在物体运动过 程 中 , 其势能为正 , 始未两态非惯性系机 械能分别为 I I 反 , 作负功 , 将 E机扩E机 , 代入 1 一 m “ 一 百m v 一 = 一 “ 1 _ _ 叫-二一 I UV . 艺 一 扣 : “十。一 扣 “L= 一 m a 。 +f M v “ “2林g( M+m) : +m L ( 一a 。 ) ,机,机 E E = 一 m a 。 L 由非惯性系的功能原理 , 可得 I I E机二E机 , 一 f L 式中负号的意义是f和物体的位移方向相 以上总结了平动非惯性系质 点运动学 和动力学的处理方法 , 对于具体问题是否 采用 , 要由题目具体情况而定 。 对于 非惯 性系的刚体定轴的运动学 问题 , 其方法和 注意事项 可以比照采用 , 普通物理力学 中 有关转动的动力学