定积分的概念及性质PPT精选文档

1,第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,2,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的性质,定积分的概念及性质,第五章,3,教学目的与要求：,理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点：定积分的概念,4,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积A.,矩形面积,梯形面积,5,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,6,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,7,曲边梯形如图所示，,8,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,9,解决步骤小结:,1)分割(大化小)：,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)以直代曲：(常代变),在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,10,3)求和(近似和)：.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,11,元素法,1分割(化整为零),2以直代曲(以常代变),3求和(积零为整),y=f(x),.,.,分法越细，越接近精确值,曲边梯形的面积,f(i),.,12,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1分割(化整为零),2以直代曲(以常代变),3求和(积零为整),曲边梯形的面积,.,f(i),13,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,分法越细，越接近精确值,1分割(化整为零),2以直代曲(以常代变),3求和(积零为整),曲边梯形的面积,f(i),S,.,.,.,S=,.,.,14,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程s.,已知速度,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,15,解决步骤:,1)分割(大化小).,将它分成,在每个小段上物体经,2)以直代曲(常代变).,得,n个小段,过的路程为,16,3)求和(近似和).,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“分割(大化小),以直代曲(常代变),求和(近似和),取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,17,二、定积分的定义,1.定义,18,记为,积分上限,积分下限,积分和,19,注意：,20,定理1,定理2,2.可积的充分条件:,21,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3、定积分的几何意义,各部分面积的代数和,22,几何意义：,23,例1利用定义计算定积分,解,24,25,注利用,得,两端分别相加,得,即,26,例2利用定义计算定积分,解,27,28,例3.用定积分表示下列极限:,解:,29,说明:,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将a,b分成n等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),30,(梯形公式),为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森,公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,31,证明,利用对数的性质得,32,极限运算与对数运算换序得,33,故,34,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,1、基本内容,三、定积分的性质,35,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,36,证,性质2,37,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,性质3,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,38,证,性质4,性质5,39,解,令,于是,40,性质5的推论：,证,（1）,41,证,说明：可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,42,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,43,解,44,解,45,46,例4.试证:,证:设,即,故,即,47,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,48,使,即,积分中值公式的几何解释：,49,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,50,例5.,计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:已知自由落体速度为,故所求平均速度,51,解,由积分中值定理知有,使,52,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,53,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,54,思考题1,将和式极限：,表示成定积分.,55,思考题1解答,原式,56,思考题2,57,思考题2解答,例,58,3.P233题3,4.P233题8(2),(4),题8(4)解:,设,则,即,59,练习题1,60,61,练习题1答案,62,练习题2,63,64,65,练习题2答案,66,67,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,68,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,69,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,70,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,71,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,72,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,74,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,75,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,76,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,77,观察下列演示过程，注意当分割加细