2矩阵典型习题解析

双矩阵矩阵是学好线性代数的基础，对初学者来说矩阵的理解尤其重要，许多学生在初学过程中难以感觉到矩阵，也是由于矩阵中显示的内容模糊。 其实，当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动联系起来时，我们发现用矩阵来表达这些“麻烦”是多么奇怪的事情，所以当我们非常激动的时候，所有的问题都会变得非常简单！2.1知识点分析2.1.1矩阵的概念1 .矩阵的定义由mn个数构成m行n列的矩形数据表称为mn矩阵2 .特殊矩阵(1)方阵：行数和列数相等的矩阵(2)上(下)三角矩阵：将主对角线以下(上)的元素全部为零的正方矩阵称为上(下)三角矩阵(3)对角排列：主对角线以外的元素都为零的方阵(4)数量矩阵：主对角线上的要素相同的对角矩阵(5)单位矩阵：主对角线上的要素都是1的对角矩阵，记为e(6)零矩阵：元素都为零的矩阵。3 .矩阵的相等设定如果是这样的话，记作a和b相等，A=B。2.1.2矩阵的运算1 .加(1)定义：如(2)运算规则A B=B A； (A B) C=A (B C )A O=AA (-A)=0，-A是a的负矩阵2 .数与矩阵的乘法(1)定义：设k为常数(2)运算规则K(A B)=KA KB，(K L)A=KA LA，(KL)A=K(LA )3 .矩阵乘法(1)定义：设定其中(2)运算规则人二、(3)方阵的幂定义：如果是a运算规则：(4)矩阵乘法和幂运算和数运算不同。、4 .矩阵的倒置(1)定义：行列A=，调换a的行和列的要素位置，称为行列a的倒置(2)运算规则。(3)对称矩阵和反对称矩阵a称为对称排列a称为反对称阵。5 .逆矩阵(1)定义：将a作为n次方矩阵，如果存在n次方矩阵b使AB=BA=E，则将a称为可逆矩阵，将b记为a的逆矩阵。(2)A可逆的元素条件：a可逆(3)可逆阵列的性质a可逆时，A-1也可逆，(A-1)-1=A；a可逆，k0时kA可逆，且a可逆，AT也可逆，且a、b全部可逆的话，AB也可逆，而且。(4)伴随矩阵定义：其中的代数馀子表达式性质：I) ii )；iii )；iv)a是可逆的、可逆的和利用伴随矩阵求逆矩阵式2.1.3平方矩阵的行列式1 .定义：由n次方阵a的要素构成的n次行列式(各要素的位置不变)称为方阵a的行列式，或记为detA。2 .性质：(1)、(2)为(3)、(4)3 .特殊矩阵的行列式和逆矩阵(1)单位阵列e :(2)数量矩阵kE :当(3)对角阵列：如果是这样的话4 .上(下)三角矩阵设定如果是这样，则仍然是上(下)三角矩阵2.1.4矩阵的初等变换和初等矩阵1 .矩阵初等变换(1)定义：以下3种转换2行交换(列)某行(列)乘以非零常数k将某行(列)的k倍加到另一行(列)上，称为矩阵的初等变换。2 .初等矩阵(1)定义：将n次单位矩阵e进行一次初等变换后的矩阵称为初等矩阵。记为交换I、j2行(列)、E(i、j )将第I行(列)乘以非零的常数k作为E(i(k ) )。第j行的k倍与第I行相加，并且E(j(k)i；(2)初等矩阵的性质头阵列是可逆阵列，反阵列还是同类型的头阵列然后呢(3)方阵a可逆与初等阵的关系当方阵a为可逆时，存在有限个初等矩阵(4)初等矩阵的行列式(5)初等阵营的作用：将矩阵a进行一次初等行(列)变换相当于将矩阵a乘以对应初等矩阵左(右)且3 .矩阵的等价(1)定义：矩阵a经过有限次初等变换变化为矩阵b时，a与b等价(2)A和b等价的3个等价说法是A经过一系列初等变换后变为b由于存在几个初等阵营存在可逆序列p，q，PAQ=B2.1.5块矩阵1 .块矩阵的定义以子块为要素形式的矩阵称为块矩阵。2 .块矩阵的运算(1)a、b为同型矩阵，采用相同的分法则(2)(3)设置块成分如果列数等于每个行数，则在此3 .准对角阵列(1)定义：形式Ai为ni的正方阵的矩阵称为准对角矩阵。(2)准对角矩阵的行列式和逆矩阵如果设定，则Ai可逆，a可逆，且(3)特殊准对角阵列(I )、A1、A2如可逆；(ii)a1、A2是可逆的(iii )是的然后呢(iv )、和2.2经典问题类型分析2.2.1矩阵的运算一、若c=解：由得=0、=4-1 2b 6=-1得到b=-3，=-7因此c提示：对于最基本的矩阵四则运算，我们要熟悉。把2、a作为三次矩阵，然后解答：易出错的提示：本问题特别是关于基本矩阵的基本性质的类型问题，考生易犯的错误是忘记计算矩阵行列式时的次数。3、a为33行列，b为44，然后解答：容易出错的问题，本问题是一样的，但我们应该注意的是，计算时我们经常犯的错误。4、制定规则解答：易出错的提示：注意这个问题的关键在于，虽然是矩阵，但是是数字算了再算，算式相当麻烦。5、设置、要求解答：方法1 :数学归纳法因为一般来说原则所以，有归纳法。方法2:a为初等矩阵，相当于对单位矩阵实施n次初等列变换(将第一列加到第三列)。方法3 :利用对角矩阵和主对角线上零上三角矩阵的幂特征进行计算.令其中再见。出了事故提示：除上述方法外，本问题还可结合以后的特征值计算，方法也不少。 读者只需选择一些适合自己的简单方法。6 .设置行列，求出。解： a的特征多项式有一，-一(双)根。如果是这样的话然后呢代数中能被整除的性质我解开那个。所以嘛。本问题可以说是一个综合而有力的问题。 要解决这类问题，读者不仅要掌握牢固的基础知识，而且要有各知识点前后相连、能够融通的能力。 所以，我们平时学习要多动脑筋，好好思考，养成好好整顿的习惯。7、设定、要求。解：由块矩阵可知，其中2220再见2220等级是1，有因此2.2.2矩阵的逆(逆矩阵)及其运用1、a为三次方阵，a的伴随矩阵，计算解：因为，所以。容易出错的提示：提交2时，请务必记住k是矩阵的次数。2 .已知矩阵a满足关系式，求。解：因为，想法提示：遇到这样的问题时，我们首先考虑分析问题的原因，问题就容易变多。3、设n次可逆矩阵为n维列向量(I=1，2，n )是n维非零列向量，且与全部正交可逆。解：为了证明矩阵b是可逆的，这里只需要证明向量组的线性是无关的。因此，我们下令：，把两边搭在一起，(I=1，2，n-1 )以及我们可以这么说另外，a是可逆矩阵与线性无关。不论线性此外，还表明矩阵是可逆矩阵。构想提示：对于此矩阵，可逆矩阵的方法也不少。 在这里，我想用事先知道的线性方程式进行联系。 这对我们特别熟悉并把握矩阵和线性方程式的关系，今后只有对求解线性方程式有帮助。 事实上，对于mn矩阵a，可将其各列看作一列向量(记作)，A=()已经成像地转换为线性方程问题，但A=()可逆向量组不是线性的。4、设a为n次实矩阵，设a为正定矩阵，则a为可逆矩阵。证明：使用反证法假设a是不可逆矩阵n维列向量是然后呢，因为我们知道它的存在但是，这与a是正则矩阵相矛盾，假设不成立这说明a是可逆矩阵。对于一些证明问题，当我们感到手不及时，可以试试反证法。 反证法也许也不是光明之路。 关于如何解释矩阵a是正则矩阵，我们必须把握以下几个等价定理(1)定义法(最基本、最常用的，本问题是利用以下方法证明矛盾的)。(2)说明a的所有特征值都大于零(3)说明a的顺序的主君式全部大于零(此方法在给出具体的矩阵表现形式时经常使用)。(4)a=；(5)存在正交矩阵，A=；(6)由于存在正交矩阵。5 .已知的次级类型(1)写出该二次型的行列式(2)用正交矩阵的方法将该二次标准化，写出对应的正交矩阵。解答：(1)f的行列式为：灬从(2)(1)可以看出，该二次型矩阵是，a的特征方程是，由此，a的特征量：对应的特征向量为的双曲馀弦值。对应的单位特征向量如下：的双曲馀弦值。可以得到正交矩阵如果对二次型f进行正交变换，则该二次型可以是标准型的双曲馀弦值。评分：化学二次行为标准形式的二次型矩阵最常见的问题类型在研究生入学考试中也是重要的考察知识点，但问题一般很难，解答事业有一定的模式，但要注意处理，决不能懈怠。6、二次曲面s在空间正交坐标系中的方程式，进行直角坐标变换，将其作为标准方程式，指出s是怎样的二次曲面解：首先把方程左端的二次项部分正交变换成标准形。 二次型矩阵a是，此外，根据上述问题