武汉大学2009数学(非数学类)竞赛模拟试题(2)及解答

武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2） 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2） 一、填空题 1、若有 一、填空题 1、若有 333 1 1 12 n n i x i= = + ? ，则，则lim = n n x 2、已知 2、已知 + = = 24 2 2 3 0 1 ln(1)0 tan2( ) 0 x tx t edtx xf x ax 在在0 x=处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值。 3、设函数 的值。 3、设函数( )f x可导，且，可导，且，00( )f= 1 0 ( )() x nnn F xtf xtd = t，则，则 2 0 ( ) lim n x F x x = 4、级数 4、级数 2 113 33() mmn mn m n nm = + 的和为： 的和为： 5、已知 5、已知 23 4 1 1 1 () y dxydxy dxy dxdx y += ，则，则( )xf y= 二、若 二、若( )f x满足，且对时有满足，且对时有11( )f=1x 22 1 ( ) ( ) fx xfx = + ，证明：，证明：lim( ) x f x 存在，且值小于存在，且值小于 1 4 +。 三、设 。 三、设 1 ( )sin n k k f xak = =x，且，且|( )| |sin|f x x)，又为常数，试证 ，又为常数，试证 1 2(, , i ain=?1| n k k ka = 四、 设函数在闭区间上连续， 在开区间内大于零， 并且满足四、 设函数在闭区间上连续， 在开区间内大于零， 并且满足( )f x0 1 , 0 1( , ) 2 3 2 ( )( ) a xfxf x=+ax（为常数） ， 又曲线 （为常数） ， 又曲线( )yf x=与所围成的图形与所围成的图形1,xy=0S的面积值为 2，求函数的面积值为 2，求函数( )yf x=；并问为何值时，图形；并问为何值时，图形aS绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 ox 五、若为内的连续函数，且满足 五、若为内的连续函数，且满足 ( )f t(,) + 2222 2223 3( )()|(,) xyzt f tfxyzdxdydztt + =+ + ，试确 定 ，试确 定 3 1 4 ()f 与与 3 1 2 (f) 的值。 六、已知，求级数。 的值。 六、已知，求级数。 111 111 10 nnn nnn nnn na xna xa x + = = 1 n n n a x = 七、设二阶常系数线性微分方程七、设二阶常系数线性微分方程 x ypyqyle+=的一个特解为的一个特解为 2 1() xx yex=+e，试确定常数，试确定常数, ,p q l，并求 该方程得通解。 八、设函数 ，并求 该方程得通解。 八、设函数( )f x在上可导，且满足方程在上可导，且满足方程,ba)0, 0(ba)()()(2 2 )( bfabdxxfe ba a bxbx = + + 证明：存在使 证明：存在使),(ba0)()(2=+ff成立。 九、证明： 成立。 九、证明：2( ) ( ) L y xf y dydx f x ? 0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L 22 1()()(xayaa+=正向，正向，( )f x连续取正值。 连续取正值。 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 一、填空题 1、若有1、若有 333 1 1 12 n n i x i= = + ? ，则，则lim = n n x 解：由 333 1 121 2 ()ii i+=+? 2 22 1 121 2 ()(ii i+=+?) 所以 3332 11 11 2 1 1212 () () nn n ii x i i ii= = 1 1 n i= + + ? 1 111 22 1 11 ()( n i iin = = + ) 故有： 2lim n n x = 2、已知2、已知 + = = 24 2 2 3 0 1 ln(1)0 tan2( ) 0 x tx t edtx xf x ax 在在0 x =处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值。 的值。 解： 由 + + = + 2 2 44 2 2 24 0 32 000 ln(1)d 2ln(14) lim ( )limlim 26 x t x xx xxx tet xe f x x ex ex e 4 6 8 x = + 22 444 2424 2624 00 88 limlim 368(68) xx xxx xx x ex e x ex ex ex = 4 而( )f x在处连续， 故0 x = 0 (0)lim( ) x ff x = 所以有 4 3 =a 3、设函数3、设函数( )f x可导，且，可导，且，00( )f= 1 0 ( )() x nnn F xtf xtd = t，则，则 2 0 ( ) lim n x F x x = 解：令，则 n uxt= n 00 11 ( )() ()( ) n xx nnnn F xf xtd xtf u du nn = = 故有 1 0 2221 0000 1 1 1 22 ( ) () ( )() limlimlimlim n x nn n nnn xxxx f u du f xnx n n F xf x n xxnxn = x 0 101 0 22 ()( ) lim( ) n n x f xf f nxn = 4、级数4、级数 2 113 33() mmn mn m n nm = + 的和为： 的和为： 解： 222222 1111111111 11 33333333333 3333 () ()()() mmnmmnnmmnnmnmn mnmnmnmnmn m nm nm nmnmn nmnnmmnnmnm = = + + 等式右端第二式正好是左端将与对调的结果，所以其和相等，故 mn 2 2 11111 11 33323 323 () () mmnnmn mnmnn m nmnn nm = = + 利用 2 100 1 11 ()() () nnn nnn dd nxnxxxx dxdxxx = = x 则有 2 222 2 11111 1 1111 3 3 1 33323 32322 432 1 3 ()( ) () () mmnnmn mnmnn m nmnn nm = = + 9 = 5、已知5、已知 23 4 1 1 1 () y dxydxy dxy dxdx y += ，则，则( )xf y= 解：由题设条件，注意到： 42 111()( 3) yyyyy=+，可有 4 4 11 1 11 () () yy dxdx yy = 考虑 1 1() ()Ydxdx Y = ，显然0Ydx ，且 1 0dx Y ，从而有 1 dx YYdx = 1 （*） 对（*）式两边求导数得： 2 1 () Y YdxY YYdx = 两边再求导数得： ,ln, c YYYY YYxcY x Y = = = ln 即： 4 4 11 11 ()( ln;ln c)ycy xx yy = 二、若二、若( )f x满足，且对时有满足，且对时有11( )f=1x 22 1 ( ) ( ) fx xfx = + ，证明：，证明：lim( ) x f x 存在，且值小于存在，且值小于 1 4 +。 。 证：有积分公式，知 1 1( )( )( ) x f xffx dx= 由题设知，故0( )fx( )f x在1 ,)+上是增函数，又11( )f=，故当时， 所以有： 1x 1( )f x 1 222 111 11 1 1 ( )( )( )arctan| ( ) xxx x f xffx dxdxdxx xfxx = + 4244 arctan x =，故 当5a = 时旋转体的体积最小。 五、若五、若( )f t为内的连续函数，且满足 为内的连续函数，且满足 (,) + 2222 2223 3( )()|(,) xyzt f tfxyzdxdydztt + =+ + ，试确 定 ，试确 定 3 1 4 ()f 与与 3 1 2 (f) 的值。 的值。 解：由题设知（利用球坐标） 2222 2 22232323 0000 331( )()|( )|( )| tt xyzt 2f tfxyzdxdydztddf r r drtf r r drt + =+=+= + 2 显然，当时， 00( )f=0t 232 0 12123( )( )( )( ) t f tf r r drtftt f tt=+= + 此为( )f t的一阶线性微分方程， 解之得： 22 331212 244 11 11 3 44 ( ) t dtt dt tt 3 4 1 t f tet edtceecc e =+=+= + 由得00( )f= 1 1 4 c =，故 3 4 3 11 11 444 ( )()()() t f tefe = 1 0 12123( )( )( )()() t 当时， 0t ba)()()(2 2 )( bfabdxxfe ba a bxbx = + + 证明：存在使 证明：存在使),(ba0)()(2=+ff成立。 成立。 证明：由)()()(2 2 )( bfabdxxfe ba a bxbx = + + ，积分中值定理得： 22 2 2 ( )( )( ) a b bx a ef bef x dx ef ba + = 令，则)()( 2 xfexF b =( )( )F bF =，微分中值定理得：在),(b中至少存在一点使0)(=F 即：0)()(2=+ff 九、证明：九、证明：2( ) ( ) L y xf y dydx f x ? 0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L 22 1()()(xayaa+=正向，连续取正值。 正向，连续取正值。 ( )f x 证明：设,( ( ) y )PQxf y f x = =，则有 1 ( ) ( ) QP f y xyf x =+ ，由格林公式，得 1 ( )( ( ) ( )( ) LD y xf y dydxf ydxdy f xf x =+ ? ，由区域的对称性，有 (