抛物线线及抛物线的性质

佛山学习前线教育培训中心 抛物线的定义及性质一、抛物线的定义及标准方程抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。标准方程（）（）（）（）图形焦点准线对称轴轴轴顶点离心率例1、 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2） 【练习1】1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程。2、若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程。3、设抛物线过定点，且以直线为准线。求抛物线顶点的轨迹的方程；二、抛物线的性质例2、若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A B C D【练习2】1、抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A B C D2、若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。A B C D3、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( )A、 B、 C、 D、4、 设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( ) (A) (B)8 (C) (D) 16三、抛物线中的最值问题例3、若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小的坐标为（ ）A B C D【练习3】1、设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）A B C D无法确定2、若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小距离为 3、在抛物线上求一点p，使这点到直线的距离最短，则点P坐标为 。4、已知，抛物线上的点到直线的最段距离 5、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点M到A、F的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.四、抛物线的应用例4、抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（ ）A B C D【练习4】1、设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 122、设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为（ ）8 18 43、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。四、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦AB的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得，两式相减、分解因式，再将代入其中，即可求出直线的斜率。4.弦长公式:( k为弦AB所在直线的斜率)例题分析1、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ ）A. 3B. 4C. 3D. 42.（2004全国卷文、理）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ）A B C D43（2006辽宁文）方程的两个根可分别作为（）一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率4（2006四川文、理）直线3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（ ）（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.5.(2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A. B. C . D. 6（2004全国卷理）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A B C D7（2005湖北文、理）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）A B C D8. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ( )(A)2 (B)3(C)4 (D)4 9（2002北京文）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD10（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_12(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 13.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 14.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线 与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .15（2010，惠州第二次调研）已知圆方程为：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.16（2010，惠州第三次调研）已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。17（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （）求椭圆C的方程； ()若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程.18（2010，珠海市一模）如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上。过点作直线与抛物线相交于两点，且满足 ()求直线和抛物线的方程；()当抛物线上一动点从点向点运动时，求面积的最大值19(2010,广东六校第四次联考）已知动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点的距离的等差中项为.（1）求曲线的方程；（2）直线过圆的圆心与曲线交于两点，且(为坐标原点)，求直线的方程.20（2010，珠海二模文）已知两圆和，动圆P与O1外切，且与O2内切（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）过点M(5，0)作直线与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线的